第二三章15几种常见的概率分布

1、第第2 (3)2 (3)章章 概率和概率分布概率和概率分布& 2.1 & 2.1 概率的基本概念概率的基本概念& 2.2 & 2.2 概率分布概率分布( (略略) )2.2.1 2.2.1 离散型概率分布离散型概率分布( (略略) )2.2.2 2.2.2 连续型概率分布连续型概率分布( (略略) ) & 2.3 & 2.3 几种常见的概率分布几种常见的概率分布& 2.3.1 0-1& 2.3.1 0-1分布分布( (略略) )& 2.3.2 & 2.3.2 二项分布二项分布( (略略) )& 2.3.3 & 2.3.3 泊松分布泊松分布( (略略) )& 2.3.4 & 2.3.4 正态分布

2、（正态分布（p50p50）& 2.3.5 & 2.3.5 中心极限定理（中心极限定理（p57p57）确定性现象：确定性现象：不需要概率论和统计学不需要概率论和统计学非确定性现象：非确定性现象：统计学研究统计学研究随机现象，无简单的因果关系，如动物出生随机现象，无简单的因果关系，如动物出生的体重的体重.某个样本推断总体时某个样本推断总体时推断错误的可能性有多大？推断错误的可能性有多大？置信度有多高？置信度有多高？非确定性现象是有规律的。非确定性现象是有规律的。研究偶然现象本身研究偶然现象本身规律规律的科的科学称为学称为概率论概率论.概率论和统计学，是以随机试验为研究对象的。概率论和统计学，是以随

3、机试验为研究对象的。2.1 2.1 概率的的基本概念概率的的基本概念2.1.1 概率的古典定义（略）概率的古典定义（略） 例：掷一颗均匀的色子，求例：掷一颗均匀的色子，求“掷出偶数的概率掷出偶数的概率” 例例:在在10尾鱼中，有尾鱼中，有6尾健康鱼，尾健康鱼，4尾病鱼。求尾病鱼。求“从中抽从中抽2尾均为病鱼尾均为病鱼”的概率。的概率。以等可能为前提以等可能为前提（1）随机试验中，基本事件的总数）随机试验中，基本事件的总数n为有限个为有限个（2）各基本事件的发生是等可能的（各基本事件等概率）各基本事件的发生是等可能的（各基本事件等概率）这类随机现象的概率类型称为古典概型。则事件这类随机现象的概率

4、类型称为古典概型。则事件a的概率：的概率： p（a）=a中包含的基本事件数中包含的基本事件数/基本事件总数基本事件总数=m/n表2.1 在相同条件下水稻种子发芽试验结果试验粒数试验粒数(n) 5 10 50 100 200 500 1000发芽粒数发芽粒数(a) 5 8 44 91 179 452 901发芽频率发芽频率(a/n) 1.0 0.8 0.88 0.91 0.895 0.904 0.9012.1.2 概率的统计定义概率的统计定义课本p27表2.1.3 概率的基本性质概率的基本性质:3、不可能事件（、不可能事件（v）的概率等于）的概率等于0,即即: p(v)=01、任何事件（、任何事

5、件（a）的概率都在）的概率都在0与与1之间之间 0p(a) 12、必然事件（、必然事件（w）的概率等于）的概率等于1,即即: p(w)=1概率是事件在试验结果中出现可能性大小的定量计量，是事件的固概率是事件在试验结果中出现可能性大小的定量计量，是事件的固有属性。概率有以下明显性质：有属性。概率有以下明显性质： 假定在相似条件下重复进行同一类试验假定在相似条件下重复进行同一类试验,调查事调查事件件a发生的次数发生的次数m与试验总次数与试验总次数n的比数称为的比数称为频率频率(m/n),则在试验总次数则在试验总次数n逐渐增大时逐渐增大时,事件事件a的频率愈的频率愈来愈稳定的接近一个定值来愈稳定的接

6、近一个定值p，则定义为事件，则定义为事件a发生的发生的概率概率.记为记为p(a)=p=m/n在实际问题中，由于试验次数在实际问题中，由于试验次数n不可能无限增大，因此，常不可能无限增大，因此，常将将n充分大时，事件充分大时，事件a发生的频率作为其概率的近似值。发生的频率作为其概率的近似值。1.加法法则加法法则任意事件任意事件a、b，有：，有： p(a+b)=p(a)+p(b) p（ab）若事件若事件a和和b互斥，则：互斥，则： p(a+b)=p(a)+p(b) 例如例如 在一鱼池中，放养草鱼鲢鱼和鲤鱼各在一鱼池中，放养草鱼鲢鱼和鲤鱼各100尾。尾。草鱼草鱼 主要吃植物性食料，鲢鱼吃浮游生物，而

7、鲤主要吃植物性食料，鲢鱼吃浮游生物，而鲤鱼则为杂食性，求这一鱼池中单食性鱼的概率。鱼则为杂食性，求这一鱼池中单食性鱼的概率。2.1.4 概率的运算概率的运算2.条件概率条件概率在同一个样本空间在同一个样本空间 中的事件或者子集中的事件或者子集 a 与与 b，如果随机从如果随机从 中选出的一个元素属于中选出的一个元素属于 b，那么下一，那么下一个随机选择的元素属于个随机选择的元素属于 a 的概率就定义为在的概率就定义为在 b 的的前提下前提下 a 的条件概率，记为的条件概率，记为p（a/b）。）。 p(a/b)=p（ab）/p(b) 课本课本p29例例2.2，缩小了样本空间，缩小了样本空间3.

8、概率乘法法则概率乘法法则: p(ab)=p(a) p(b/a) p(ab)=p(b) p(a/b)a和和b是两个独立事件是两个独立事件(事件事件a的发生并不影响事件的发生并不影响事件b发生的发生的概率概率),则则: p(ab)=p(a) p(b) 若一批玉米种子发芽率为若一批玉米种子发芽率为0.9,发芽后能出土的概率发芽后能出土的概率为为0.8,求这批种子的出苗率求这批种子的出苗率?p(ab)=p(a) p(b)=0.90.8=0.72例例: : 在在1010尾鱼中有尾鱼中有3 3尾雌鱼，尾雌鱼，7 7尾雄鱼。按不放回抽样从中抽取尾雄鱼。按不放回抽样从中抽取2 2尾，每次抽取尾，每次抽取1 1

9、尾，求尾，求“第一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼第一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼”的概率。的概率。设设a表示表示“第一次抽得雄鱼第一次抽得雄鱼“，b表示表示”第二次抽得雌鱼第二次抽得雌鱼”，则则p（a）=7/10，p（b/a）=3/9p（ab）=7/10*3/9若按放回抽样从中抽取若按放回抽样从中抽取2 2尾，每次抽取尾，每次抽取1 1尾，求尾，求“第一次抽得雄第一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼鱼，第二次抽得雌鱼”的概率。的概率。4. 独立事件的概率独立事件的概率若事件若事件a的发生，并不影响事件的发生，并不影响事件b的发生的概率，则的发生的概率，则称称a与与b是独立事件。是独立事件。 事件事件a的概率

10、为的概率为p(a),那么对立事件那么对立事件b的概率为的概率为: p( b )=1-p(a)若一批种子发芽率为若一批种子发芽率为0.9,0.9,则不发芽率的概率为则不发芽率的概率为1-0.9=0.11-0.9=0.1例例: : 在一鱼池中，草鱼、鲢鱼和鲤鱼所占比例分别为在一鱼池中，草鱼、鲢鱼和鲤鱼所占比例分别为50%50%、30%30%、20%20%，其病鱼率分别为，其病鱼率分别为1%1%，2%2%，4%4%。求从此鱼池中任意取出。求从此鱼池中任意取出1 1尾尾是病鱼的概率。是病鱼的概率。计算复杂事件的概率时，常需将它们分解为一些较简单的事件，计算复杂事件的概率时，常需将它们分解为一些较简单的

11、事件，再应用概率的法则再应用概率的法则设设a1a1、a2a2、a3a3分别表示分别表示“取出鱼是取出鱼是草鱼草鱼”、“取出鱼是鲢鱼取出鱼是鲢鱼”和和“取出取出鱼是鲤鱼鱼是鲤鱼”，b b表示表示”任意取出一条是病鱼任意取出一条是病鱼”,a,a之间互斥之间互斥, ,和为全和为全样本样本. .p(b/a1)=0.01, p(b/a2)=0.02, p(b/a3)=0.04据全概率公式得据全概率公式得:p(b)= p(a1b)+p(a2b)+p(a3b)p(a1)p(b/a1)+p(a2)p(b/a2)+p(a3)p(b/a3)=0.05*0.01+0.3*0.02+0.2*0.04=0.019&2.

12、2 &2.2 随机变量的概率分布随机变量的概率分布2.2.1 2.2.1 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 若随机变量若随机变量x x只取数轴上有限个或无限个子孤立只取数轴上有限个或无限个子孤立x x1 1,x,x2 2,x,x3 3x xn n , ,并且这些值对应的概并且这些值对应的概p p1 1,p,p2 2,p,p3 3p pn,n,则称则称x x是离是离散型随机变量散型随机变量. .其其概率函数概率函数为：为： p p（x x）= p= p（x=xx=x）或表示为或表示为px=xpx=xi i=p=pi i ,i=1,2,i=1,2,. . 其中：其中：p p（x x

13、）0 0 ， p p （x） =1=1。大写字母表示随机变量，小写字母表示第大写字母表示随机变量，小写字母表示第i i次观测值次观测值随机变量（随机变量（random variable）就是在随机试验中被测定的量。）就是在随机试验中被测定的量。将随机变量将随机变量x的一切可能值的一切可能值x1，x2，x3.以及取得这些值的以及取得这些值的概率概率p1，p2，p3.排列起来，就构成了离散型随机变量的排列起来，就构成了离散型随机变量的概率分布图概率分布图。（。（p31）p(x) x1 x2 xn常用离散型随机变量的分布常用离散型随机变量的分布:0-1:0-1分布；分布；二项分布；二项分布；泊松分布

14、泊松分布离散型离散型 随机变量的随机变量的分布函数分布函数是指随机变量小于等于是指随机变量小于等于某一可能值某一可能值xi的的概率概率。0)()()(00 xxiixxpxpxf2.2.2 2.2.2 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 如随机变量可取某一（有限或无限）区间内的任何数值，称为连续如随机变量可取某一（有限或无限）区间内的任何数值，称为连续型随机变量。如小麦株高。型随机变量。如小麦株高。在研究连续型随机变量是，实际观测值只能是落在一在研究连续型随机变量是，实际观测值只能是落在一定的区间内，落在一定区间内的概率可定的区间内，落在一定区间内的概率可 以不为以不为0，但，但

15、区间可以很小。随机变量区间可以很小。随机变量y的值落在区间（的值落在区间（y, y+y）内的概率为内的概率为p （yyy+y)。当。当y0时，时， 的极限表示随机变量的极限表示随机变量y在点在点y处的概率密度，用处的概率密度，用f(y)表表示，称示，称f(y)为随机变量的概率密度函数。为随机变量的概率密度函数。yyyyyp)(yyyyypyfy)(lim)(0f(y)为随机变量的为随机变量的概率密度函数概率密度函数正态分布概率密度函数概率密度函数： 2)(2121)(xexf分布函数（累积分布函数）分布函数（累积分布函数）：是随机变量：是随机变量y y取得小于取得小于y y0 0值的概率，是对

16、概率密度的积分。值的概率，是对概率密度的积分。 1)(, 0)()(00ffdyyfyypyfy分布曲线在区间分布曲线在区间(-,y)所夹的面积。所夹的面积。 badxxfbxapba有：对任意,-3 -2 -1 0 1 2 3 t或或u0.40.30.20.1f(x)ab概率概率p（axb)就是区间就是区间(a,b)夹的曲线下面积。夹的曲线下面积。概率密度的图形，称为概率密度的图形，称为分布曲线分布曲线。& 2.3 & 2.3 几种常见的概率分布几种常见的概率分布& 2.3.1 0-1& 2.3.1 0-1分布分布& 2.3.2 & 2.3.2 二项分布二项分布& 2.3.3 & 2.3.3

17、 泊松分布泊松分布& 2.3.4 & 2.3.4 正态分布正态分布（p50p50）2.3.12.3.1 0-1 0-1分布分布若随机变量若随机变量x x只能取只能取0,10,1两个值两个值, ,且且 p(x=1)=p, p(x=0)=1-p=q,(0p1),p(x=1)=p, p(x=0)=1-p=q,(0p1),则称则称x x服从参数服从参数为为p p的的0-10-1分布分布. . 若一随机试验只有两种可能若一随机试验只有两种可能, ,则称该试验为伯努利试验则称该试验为伯努利试验. . =0q+1p= p=0q+1p= p2 2= =pp（x)(x- )x)(x- )2 2=(0-p)=(0

18、-p)2 2q+(1-p)q+(1-p)2 2p= pqp= pq xxxpxe)(2.3.22.3.2 二项分布二项分布例例1:1:某养殖场鱼烂鳃病的发生率为某养殖场鱼烂鳃病的发生率为0.8,0.8,求在随机抽求在随机抽取的取的1010尾鱼中尾鱼中,(1),(1)恰有恰有4 4尾发病的概率尾发病的概率;(2);(2)最多有最多有8 8尾发病的概率尾发病的概率;(3);(3)发病的平均尾数与方差发病的平均尾数与方差. .例例2.2.课本课本p41p41例例3.13.11. 1. 二项分布的概率函数：二项分布的概率函数：特点：总体特点：总体x只能出现非此即彼两种对立的结果。只能出现非此即彼两种对

19、立的结果。nkqpckxpknkknn,.,2 , 1 , 0,)(假定某事件假定某事件a发生的概率为发生的概率为p,不发生的概率为不发生的概率为q，则做，则做n次独立性试验次独立性试验(独立进行独立进行n次伯努利试验次伯努利试验)，发生，发生k (0kn)次次的概率为的概率为(或参课本或参课本p35表示表示)：则随机变量则随机变量x服从参数为服从参数为n和和p的二项分布，记为的二项分布，记为xb(n,p).knkmkknnqpmkpmxpc0)3(21212121)5(mmqpmkmpmxmpknkmmkknncknknmkknnqpmkpmxpc)4(2. 2. 二项分布的特点：二项分布的

20、特点：(1) p(x=k)=pn(k)0(2) 二项分布概率之和等于1.(展开式各项是事件a发生n次的概率)1n)(0qpxpnx二项分布由二项分布由n n和和p p两个参数决定，其特点是：两个参数决定，其特点是：当当p值较小且值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如的增大，分布逐渐趋于对称，如图图31所示。所示。对于固定的对于固定的n及及p，当，当x增加时，增加时，pn(x)先随之增加先随之增加并达到某极大值，以后又下降。并达到某极大值，以后又下降。当当p值趋于值趋于0.5时，分布趋于对称，时，分布趋于对称，图图32所示。所示。3.3.

21、服从二项分布的随机变量的特征数服从二项分布的随机变量的特征数b.b.二项分布的总体方差二项分布的总体方差: : 2 2 =npq =npq 表示取值的离散度或变异大小表示取值的离散度或变异大小 npqa.a.二项分布的总体平均数二项分布的总体平均数 表示做次独立试验，某事件平均出现的表示做次独立试验，某事件平均出现的次数为次数为次次3.3.二项分布的概率计算应用二项分布的概率计算应用 例例1 1：有一批芽接苗，其成活率为：有一批芽接苗，其成活率为0.850.85，今从中，今从中随机抽取随机抽取6 6株种植，求（株种植，求（1 1）正好有）正好有5 5株成活的概率？株成活的概率？(2)(2)最少

22、有最少有4 4株成活的概率？株成活的概率？(3)(3)最多有最多有4 4株成活的概株成活的概率？率？(4)(4)平均成活数？平均成活数？(5)(5)平均变异？平均变异？ 223500439525015085015085042444004006624464.nnnnxnxxxnbbxnxxxnqpqpqpxpqpxpcccccc 399301508505115566.)( cp（5 5）总体方差）总体方差: : 2 2 =npq=6 =npq=60.850.850.15=0.7650.15=0.765 表示成活株数平均差异表示成活株数平均差异0.870.87 87. 0765. 02（4 4）总

23、体平均数）总体平均数np=0.85np=0.856=5.16=5.1 随机抽随机抽6 6株，平均株，平均5.15.1株成活。株成活。 泊松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单泊松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位时间或空间里的位时间或空间里的稀有稀有事件的概率分布。事件的概率分布。 例：正常生产线上单位时间生产的不合格产品例：正常生产线上单位时间生产的不合格产品数，每毫升饮水内大肠杆菌数，意外事故，自然数，每毫升饮水内大肠杆菌数，意外事故，自然灾害等。灾害等。2.3.3 2.3.3 泊松分布泊松分布当某事件出现的概率当某事件出现的概率p p很小，而试验很小，而试验n n很大时很

24、大时(n(n+ +，p-p-0,np-0,np-时时) )，二项分布，二项分布b(n,p)b(n,p)的极限分布，即泊松分布，记为的极限分布，即泊松分布，记为x xp()p()。 pxekekxpk7182. 2!并记为其中 当二项分布在当二项分布在p0.1和和np5时，可用泊松分布近似。时，可用泊松分布近似。1.泊松分布定义泊松分布定义2.2.特点：在概率函数内的特点：在概率函数内的,不但是它的平均不但是它的平均数数, ,而且是它的方差而且是它的方差. .2 2其概率分布条形图的形状决定于其概率分布条形图的形状决定于。用用=np=np进行有关计算。进行有关计算。3. 3. 应用实例应用实例(

25、 (课本课本p41,p41,例例3.5)3.5)2.3.4 2.3.4 正态分布正态分布、正态分布的、正态分布的密度函数密度函数和和分布函数分布函数-3 -2 -1 0 1 2 3 两头少，中间多，两侧两头少，中间多，两侧对称。数据的这种分配对称。数据的这种分配规律称为正态分布规律称为正态分布又称高斯（又称高斯（gauss)分布分布,是连续性随机变量的一种是连续性随机变量的一种最重要的理论分布，最重要的理论分布，是生是生物统计学的重要基础。物统计学的重要基础。正态分布曲线正态分布曲线: : 正态分布密度函数的图像称为正态曲线。正态分布密度函数的图像称为正态曲线。(1) 正态分布概率密度函数概率

26、密度函数： 2)(2121)(xexf如果随机变量如果随机变量x x的概率密度函数满足上式，则的概率密度函数满足上式，则称称x x服从正态分布，记为服从正态分布，记为2,nx x : 所研究的变数所研究的变数; :x的函数值的函数值,称为概率密度函数称为概率密度函数; :总体平均数总体平均数; :总体标准差总体标准差)(xf其中其中 , 是两个常数是两个常数,正态分布记为正态分布记为n( , ) , 2表示具有平均数为表示具有平均数为 ,方差为方差为 的正态分布。的正态分布。22 （样本中的观察值总合叫变数，（样本中的观察值总合叫变数，变数中每个成员为变）变数中每个成员为变）（1 1）单峰曲线

27、）单峰曲线 （2 2）左右对称（）左右对称（x x）（3 3）在）在x x处曲线各有一拐点处曲线各有一拐点（4 4）曲线图形由）曲线图形由、确定。总体标准差确定。总体标准差表示表示 曲线展开程度。曲线展开程度。（5 5）xx （）（）0 0（6 6）曲线与横坐标所夹的面积等于（）曲线与横坐标所夹的面积等于（100100）(2)(2)正态分布曲线正态分布曲线( (正态分布密度函数的图象正态分布密度函数的图象) )特点：特点： xexfx,21)(222)(密密度度函函数数(3) 正态分布的正态分布的分布函数分布函数( (累积分布函数累积分布函数) )： dzedzzfxxpxfzxx222)(2

28、1)(是随机变量是随机变量x x取得小于取得小于x x的值的概率的值的概率概率密度函数概率密度函数：正态分布曲线正态分布曲线: : 正态分布密度函数的图像称为正态曲线。正态分布密度函数的图像称为正态曲线。累积分布函数累积分布函数：是随机变量：是随机变量x x取得小于取得小于x x值的概率，是对值的概率，是对概率密度的积分。概率密度的积分。 xeyfx,21)(2)(21分布曲线在区间分布曲线在区间(-,y)所夹的面积。所夹的面积。 1)(, 0)()(00ffdyyfyypyfy对于任何正态分布对于任何正态分布, ,随机变量随机变量x x的值落入任意区间的值落入任意区间(a,b)(a,b)的概

29、率为的概率为: : badxxfbxap xexfx,21)(2)(21密密度度函函数数-3 -2 -1 0 1 2 3 t或或u0.40.30.20.1f(x)ab2、正态分布的概率计算、正态分布的概率计算 根据正态分布的性质，变量在两个定值间根据正态分布的性质，变量在两个定值间取值的概率等于曲线与其取值的概率等于曲线与其x轴在该区间围成轴在该区间围成的面积。的面积。 因此概率的计算即正态分布概率密度函数因此概率的计算即正态分布概率密度函数的定积分计算。的定积分计算。 是一个曲线系统。为了一般化的是一个曲线系统。为了一般化的应用，需将应用，需将正态分布标准化正态分布标准化。),(2n (1)

30、 标准正态分布：标准正态分布： =0， =1时的正态分布称为标准正态分布时的正态分布称为标准正态分布记作记作n（0，1）22121)(ueu（u） 称为标准化正态分布称为标准化正态分布密度函数密度函数，即，即 232521)(22附表查函数记为标准正态分布概率分布pduexuupuuuu 232521)(22附表查函数记为标准正态分布概率分布pduexuupuuuu从表中可以查出从表中可以查出(u)(u)的值的值. .其值等于标准正态曲线从其值等于标准正态曲线从-到到u u所夹的曲线下面积。该曲线下的所夹的曲线下面积。该曲线下的面积面积表示随机变量表示随机变量u u落入区落入区间（间（ -，u

31、 u）的）的概率概率。（1 1）在）在u=0u=0时，时， 达到最大值达到最大值（2 2）左右对称，）左右对称，（3 3）在）在u u-1-1和和u=1u=1处曲线各有一拐点处曲线各有一拐点（4 4）曲线图形由）曲线图形由、确定确定（5 5）xx （）（）0 0（6 6）曲线与横坐标所夹的面积等于（）曲线与横坐标所夹的面积等于（100100）标准正态分布特点：标准正态分布特点：)(u)(u)( u-3 -2 -1 0 1 2 3 t或或u0.40.30.20.1f(t)或或 (u)u分布分布t分布分布(df=1)图图4.3 t4.3 t分布及其与标准正态曲线的比较分布及其与标准正态曲线的比较常

32、用标准正态曲线下的面积（概率）常用标准正态曲线下的面积（概率）积分得积分得 u = u =1.961.96，= +1.96= +1.96（面积）概率为（面积）概率为9595 u=u=2.5762.576，=+2.576=+2.576（面积）概率为（面积）概率为9999在统计学上称两尾的概率之和在统计学上称两尾的概率之和5 5为为5 5的显著水准的显著水准1 1为为1 1的显著水准的显著水准 12212, 1:,1 , 0uuuuupuuunu内取值的概率为在则53. 134. 056. 258. 264. 1upupupup例查 正态分布表的查法正态分布表的查法 p325附表附表30389.

33、034. 053. 153. 134. 010468. 0005234. 0256. 2256. 200490. 058. 258. 205050. 0)64. 1(64. 1upupupup例查 正态分布表的查法正态分布表的查法 p325附表附表正态分布的单侧临界值正态分布的单侧临界值附表附表3 正态分布上侧临界值正态分布上侧临界值由由查查u u值值由由u u 查查值值附表附表2附表附表3查当查当=0.05=0.05时的时的u u值值的上侧临界值称为uuup)(1.645x的下侧临界值称为则若u，uup)(的双侧临界值称为若22)(uuup96. 1205. 0u规定规定:uu)(2双侧或u

34、u表示表示的上侧临界值的上侧临界值表示表示的下侧临界值的下侧临界值表示表示的双侧临界值的双侧临界值 由于正态分布图形随由于正态分布图形随，不同而变，不便不同而变，不便比较，将比较，将x x转化为转化为u u值值: : xxxu即把原正态分布转化为标准正态分布。即把原正态分布转化为标准正态分布。（2） 正态分布的标准化正态分布的标准化xxx即新的随机变量服从标准备正态分布即新的随机变量服从标准备正态分布从从n( , 2 )到到 n(0,1),从几何意义上说，仅仅是将变量从几何意义上说，仅仅是将变量x作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。右图左图33x)()(xx

35、x：p即经过标准变换后，经过标准变换后，x x的分布函数的分布函数)()()(xupxxpxxp)(x),(2xp54p54例例2.1 2.1 已知高梁品种已知高梁品种“三尺三三尺三”的株高的株高y y服从正态分布服从正态分布n n（156.2, 4.82156.2, 4.822 2） ，求求：（：（1 1）y161cmy164 cm y164 cm 的概率；的概率； （3 3）y y在在152152162 cm162 cm的概率。的概率。)164(1)164(ypyp)82. 42 .15616482. 42 .156(1yp52062. 094738. 01)62. 1 (1)82. 42

36、 .156164(1u例例2.22.2 250250株小麦的高度分布服从正态分布株小麦的高度分布服从正态分布n n（63.3363.33，2.882.882 2），问：），问：(1)(1)株高在株高在60cm60cm以下的概率？以下的概率？(2)(2)株高在株高在69cm69cm以上的概率？以上的概率？(3)(3)株高在株高在6264 cm6264 cm之间的概率？之间的概率？(4)(4)株高在多少株高在多少cmcm以上的占全体的以上的占全体的95%95%？例例2.32.3已知某作物株高增量（已知某作物株高增量（cmcm）服从正态分布）服从正态分布n n（250250，1.581.582 2）

37、若）若p p（xlxua)=a2.3.4 2.3.4 中心极限定理中心极限定理x1=光强x2=光质xi=光质x6=氧气x5=水x4=nx3=px1+x2+x3+.=x 已证明已证明,随机变量和的分布趋于正态分布随机变量和的分布趋于正态分布,故故x趋于正态分布趋于正态分布当当n n充分大时充分大时( (极限的原理和方法极限的原理和方法) )，无论各个，无论各个xixi的的分布是什么，这个部分和的分布是近似正态的分布是什么，这个部分和的分布是近似正态的. . 假设被研究的随机变量假设被研究的随机变量x,x,可以表示为许多可以表示为许多相互独立相互独立的的随机随机变量变量xixi的和。如果的和。如果

38、xixi的的数量很大数量很大，而且每一个别的，而且每一个别的xixi对对x x所所起的作用又很小，则随起的作用又很小，则随机变量机变量x x（和）（和）可以被认为服从或近可以被认为服从或近似地服从正态分布。据此定理才能从单个样本的似地服从正态分布。据此定理才能从单个样本的n n个数据所个数据所得到的统计量对总体进行估计得到的统计量对总体进行估计. .1、中心极限定理基本内容、中心极限定理基本内容2 2、中心极限定理重要推理：、中心极限定理重要推理：若已知总体平均数为若已知总体平均数为,标准差为标准差为,那么那么, ,不论该总体不论该总体是否是否正态分布正态分布, ,对于从该总体所抽取的含量为对

39、于从该总体所抽取的含量为n n的样本的样本, ,当当n n充分大充分大时时, ,其其平均数平均数渐近服从正态分布渐近服从正态分布n(n(, 2/n)-公式推导证明见公式推导证明见p57-p58，实例证明见，实例证明见p59例例3.11从一个从一个正态总体中正态总体中抽取的样本，不论样本含量的大抽取的样本，不论样本含量的大小，其样本数均服从正态分布小，其样本数均服从正态分布),(2nn实例证明见实例证明见p63图图3-15总体总体y：非正态分布，呈正偏的偏态分布：非正态分布，呈正偏的偏态分布n=2n=4n=8n=32n=16样本平均数的分布：随样本含量的增加，逐渐趋于正态分布样本平均数的分布：随样本含量的增加，逐渐趋于正态分布y例如，设有一个例如，设有一个n=4的有限总体，其变的有限总体，其变量值为量值为2、3、3、4。总体的平均数、方差和标准差总体的平均数、方差和标准差707. 02/ 12/ 14/) 34 () 33 (33 () 32 (/)(34/ ) 4332 (222222）nxnx 当以样本容量当以样本容量n=2进行独立抽样，进行独立抽样，抽取的所有可能样本数抽取的所有可能样本数 ,其平均数、方差和标准差如下表。其平均数、方差和标准差如下表。1642nn样本观察值样本观察值x2222333333334444234