3-2变上限积分NL公式

1、第二节第二节 微积分学基本公式微积分学基本公式 与基本定理与基本定理作业作业习题习题3.2(a) 3(4) (6) , 4(4)(5)(6)(7),6,7,10,12,(b)2,3 一、问题的提出一、问题的提出 在变速直线运动中在变速直线运动中, 已知位移函数已知位移函数)(ts与速度函数与速度函数)(tv之间有关系之间有关系:)()(tvts 物体在时间间隔物体在时间间隔,21tt内经过的路程为内经过的路程为)()(d)(1221tststtvtt .)()(的原函数称为这里tvts).()()(afbfdxxfba ?猜测：猜测：)()(tftf这里有 xadxxf)(考察定积分考察定积分

2、 xadttf)(记记.)()( xadttfx变上限积分变上限积分（函数，且可导）（函数，且可导）二、变上限积分及其导数二、变上限积分及其导数abtyo)(x xy=f(t)abxyo定理定理1 (微积分第一基本定理微积分第一基本定理)xx 证证)()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x xxxdttf)(xf )( ,xxx )(limlim00 fxxx ), 0(xx ).(xf 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导， 则则dttfxfxbxa )()()()(的的导导数数 )(xf 为为 推论推论 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dtt

3、fxfxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxf )()()()(xbxadttfdxdxf例例1 1 求极限求极限.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. ttftxfxd)()(0 例例2. ,0)(,),0)( xfxf且且内连续内连续在在设

4、设证明证明 )(xfttftxd)(0 ttfxd)(0 在在),0( 内为内为严格单调递增函数严格单调递增函数 . 证证: )(xf 20d)(ttfx ttfxfxxd)()(0 20d)(ttfx ttfxfxd)()(0 )(tx 0 .)0)(内为严格单调增函数，（在xf只要证只要证0)( xf 20d)(ttfx xfx)()( )(xf)0(x 定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的）肯定了连续函数的原函数是存在的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联

5、系间的联系.定义定义2.1 (原函数原函数)如果在区间如果在区间 i 上有上有)()(xfxf 一一个个原原函函数数中中的的在在为为则则称称 )()(ixfxf如果如果f（x)是是 f ( x ) 在在 i 中的一个原函数中的一个原函数定理定理3 (微积分第二基本定理微积分第二基本定理)则则f（x）+c是是f ( x )在在i中的所有原函数。中的所有原函数。关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原数，的原数，)(xf)(xg)(xf则则cxgxf )

6、()(（ 为任意常数）为任意常数）c定理定理 4 4（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()(xfxf afbfdttfba 故故 )(xfx cxfx afcax 得得令令newtonleibniz公式公式),()()(afxfdttfxa )()()(afbfdxxfba baxf)( 注意注意当当ba 时，时，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.例例3 3 20)1sincos2( dxxx 20cossin2 xxx .23 例例4 4 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx

7、 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 3234)(2 xxxf解解：例例5. 设设,d)(2d)()(20102 xxfxxfxxxf求求).(xf定积分为常数定积分为常数 ,d)(10axxf 设设bxxf 20d)(abxxxf2)(2 , 则则 10d)(xxfa 33x 22bx ax2 01 20d)(xxfb 33x 22bx ax2 02ab2231 ab4238 ,31 a34 b故应用积分法求此常数故应用积分法求此常数 .任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数四、不定积分四、不定积分cxfdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函数函数 f (

8、x )的所有原函数的所有原函数f（x)+c的表达式的表达式，称为称为 f ( x )的的不定积分（集合），记为不定积分（集合），记为 dxxf)( cxdxx323 cxxdxsincos cxdxxln1例如例如 dxxf)(,)()(dxxfdxxfd dxxf)(.)()( cxfxdf结论结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.1、基本性质、基本性质 dxxgdxxfdxxgxf)()()()( dxxfkdxxkf)()(dxd),(xf ,)(cxf 2 2、 基本积分表基本积分表 dxx )2(cx 111 )1( dxx21cx 1 dxx1cx

9、2 dxx1)3(cx ln kckxkdx()1(是常数是常数); dxx211)4(;cotarctancxarccxdxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx dxx211)5(;arccosarcsincxcx xdxcos)8(;sincx xdxsin)9(;coscx xdx2cos)10( xdx2sec;tancx dxex)6(;cex dxax)7(;lncaax xdxxtansec)12(;seccx xdxxcotcsc)13(;csccx shxdx)14(;cchx chxdx)15(;cshx xdx2sin)11( xdx2csc;cotcx

10、dxx211cxx21ln（16）例例1 1 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxx2113xarctan3 xarcsin2 c 例例2 2 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx 原积分原积分dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112dxx2112.lnarctancxx例例3 3 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 例例4 4 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos21

11、12 dxx2cos121.tan21cx 例例5 5 dxx2sin)1(2dxx 2cos1 xdxdxcos21cxx sin2 dxxxx422111)2(dxxxxx 22221111dxxdxx 221111cxxx 21lnarcsin dxxxx22sincos2cos)3(dxxxxx 2222sincossincosdxxdxx 22cos1sin1cxx tancot3.微积分基本公式微积分基本公式1.变上限积分函数变上限积分函数 xadttfx)()(2.变上限积分函数的导数变上限积分函数的导数)()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小结四、小结4.不定积

12、分不定积分cxfdxxf )()(例例6 6 dxeaxx)1( dxaex)(caeaex )ln()(dxxx )11(tan)2(22cxxx arctantandxxx )111(sec22 dxx3)1()3(dxxxx )331(32cxxxx 4324123解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy例例7 7例例8. 汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶 ,速停车速停车,2sm5 a解解: 设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为,0 t则此时刻汽

13、车速度则此时刻汽车速度 0v)(10sm )(sm3600100036 刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶 , 其速度为其速度为tavtv 0)(t510 当汽车停住时当汽车停住时,0)( tv即即,0510 t得得(s)2 t故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为 20d)(ttvs 20d)510(tt 22510tt (m)10 02)(36hmk刹车刹车, , 问从开始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离? 思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duuf

14、bx )(是是x的的函函数数还还是是 t与与 u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？ 思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都是都是 x的函数的函数 )()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,

15、210,)(2xxxxxf . .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxi dxnxmx sinsin，练练 习习 题题（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1i= =_ , ,2i= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1i= =_ ,_ ,2i= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3i= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3i= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求

16、导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte0220

17、22)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值 . .七、七、 设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 内的表达式内的表达式 . .八、八、 设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)( xf xaxbtfdtdttfxf)()()( , ,证明：证明： （1 1） 、） 、2)( xf ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xf在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf