2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题和答案_全国1卷

1、专业资料word格式可复制编辑A.C.绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后， 用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答

2、案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。1 已知集合 A x|x 1 , B x|3x 1，则2如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是B.-8D.43.设有下面四个命题1P1 :若复数z满足 R，则z R ;zP3 :若复数Z1,Z2满足Z1Z2 R，则乙其中的真命题为A. AI

3、B x|x 0B. AUB RC. AU B x|x 1D. AI B专业资料word格式可复制编辑A P1, P3B. P1, P4P2 :若复数Z满足Z2R，则zR ；Z2 ；P4:若复数ZR，则zR .C. P2, P3D.P2,P4专业资料word格式可复制编辑4.记Sn为等差数列an的前n项和.若a424 ,48，则an的公差为A. 1B. 2C. 4D. 85 .函数f(X)在()单调递减，且为奇函数.若则满足 1f(x 2)1的x的取值范围是A. 2,2B- 1,1C.0,4D.1,36. (1 2)(1X)6展开式中x2的系数为xA. 15B. 20C. 30D. 357某多面

4、体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B. 12C. 14D. 16&右面程序框图是为了求出满足 3n 2n 1000的最小偶数n，那么在和-两个空白框中，可以分别填入A.A 1000和nn1B.A 1000和nn2C.A 1000和nn1D.A 1000和nn29 .已知曲线G : ycosx,C2面结论正确的是:y Sx勺，则下A.把G上各点的横坐标伸长到原来的单位长度，得到曲线C2B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,C.个单位长度，得到曲线 C

5、2把C1上各点的横坐标缩短到原来的1-倍，纵坐标不变,2单位长度，得到曲线C22倍，纵坐标不变,6再把得到的曲线向左平移再把得到的曲线向右平移n12专业资料word格式可复制编辑专业资料word格式可复制编辑n12A. 440B. 330C. 220D. 11013.已知向量a, b的夹角为60,| a|=2 , | b|=1，则 | a +2 b |=.14设x,y满足约束条件x 2y 12x y 1，则z 3x 2y的最小值为x y 02 215已知双曲线C:务爲 1（aa2 b20,b 0）的右顶点为 A以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M N两点。若 MAN 6

6、0，则C的离心率为1D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2个单位长度，得到曲线 C210.已知F为抛物线C : y2 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线h, J，直线h与C交 于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，贝U |AEB+| DE的最小值为A. 16B. 14C.12D. 1011设xyz为正数，且2x3y 5z,则A. 2x 3y 5zB.5z2x3yC. 3y 5z 2xD.3y2x5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问

7、题的答案：已知数列 1, 1 , 2, 1 , 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1 , 2, 4, 8, 16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N:N 100且该数列的前N项和为2的整数幕。那么该款软件的激活码是、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。16如图，圆形纸片的圆心为O半径为5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC勺中心为 O DE、F为圆O上的点， DBC ECA FAB分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形。 沿虚线剪开后，分别以 BC CA AB为折痕折起 DBC ECA FAB使得

8、 D E、F 重合，得到三棱锥。当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cmf）的最大值为专业资料word格式可复制编辑每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.(12分) ABC的内角A B,C的对边分别为a, b, c,已知 ABC勺面积为2a3sin A18.(2)若 6cos BcosC 1,a3，求 ABC的周长.(12 分)90o.19.(12 分)16个产的零件的尺寸服从正态分布N( , 2).零件，并测量其尺寸(单位:(1)假设生产状态正常,三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,(一)必考题：共

9、60分。(1)求 sin BsinC;(2)若 PA=PD=AB=DC APD 90o，求二面角 A-PBC 的余弦值.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望;(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii) 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.951

10、0.129.969.9610.019.929.9810.04如图，在四棱锥(1)证明：平面专业资料word格式可复制编辑2已知椭圆C：笃a当)，P4( 1,10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 x Jxi 9.97 , sU(16x2 16X2)20.212,16 i iYl6 i iYl6 i i i其中Xi为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2, ,16.用样本平均数x作为 的估计值？，用样本标准差s作为的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3? 3?)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01).附：若随机变量

11、 Z服从正态分布 N( , 2)，则P( 3 Z 3 )0.997 4 ,0.997 4160.959 2 ,. 0.0080.09 .20.(12 分)2汁(ab0)，四点 P (1,1 (0,1)/ (- 1，)中恰有三点在椭圆 C上.2(1) 求C的方程；(2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 -1，证明：I过定点.21.(12 分)已知函数 f(x) ae2x (a 2)ex x(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x)有两个零点，求a的取值范围.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

12、的第 一题计分。22.选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x 3cos ( e为参数)，直线l的参数方y sin ,程为x a 4t(t为参数).y 1 t,(1 )若a=- 1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到I的距离的最大值为，求a.23.选修4 5 :不等式选讲(10分)已知函数 f(x)x2 ax 4, g(x) |x 1| |x 1|(1 )当a 1时，求不等式f (x) g (x)的解集；专业资料word格式可复制编辑(2)若不等式f (x) g (x)的解集包含-1, 1，求a的取值范围专业资料word格式可复制编辑1. A 2.B

13、3. B4. C5. D6. C7.B8.D9.D10. A11. D12. A_、填空题: 本题共4小题，每小题5分， 共20分。13.2,314.-515.2.3316. 4、15cm3三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,、选择题：本题共17. （12分） ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,已知 ABC的面积为2a3sin A1由题设得一acsin B22a3sin A，即1-csin B2a3sin A由正弦定理得sin C si n B2sin A3sin A由题设及(1 )得 cosBcosC sinBsinC即 co

14、s(BC)3sin A，即 bc由余弦定理得b22 2c bc 9，即(b c)3bc 9，得 b c 332017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有（一）必考题：共 60分。(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cosBcosC=1, a=3,求厶 ABC的周长.故sin BsinC(2)2所以B c ，故A 31由题设得一 bcsi nA2故ABC的周长为3.3318. (12 分)解:项是符合题目要求的。每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。专业资料word格式可复制编辑平面PAD

15、所以J2 uuu,0, RAB (0,1,)uuu n PCuuu n CB0,即02x2y 0y z 0,urnPAuuuAB0,即0/2宁,0(1)由已知 BAP CDP 90，得 AB AP , CD PD由于AB/CD，故AB PD ,从而AB 平面PAD又AB 平面PAB，所以平面 PAB(2)在平面PAD内作PF AD，垂足为F 由(1)可知，AB 平面PAD，故AB 可得PF 平面ABCDuur以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向位长，建立如图所示的空间直角坐标系F72由(1)及已知可得 A( ,0,0), P(0,0/), B( ,1,0), C( ,1,0)2 2 2 2u

16、uu22 uuu _ULWPC ( R, RCB ( 2,0,0),PA(x, y,z)是平面PCB的法向量，则可取设m (x, y, z)是平面PAB的法向量，则可取 m (1,0,1)19.(1)贝V cos n, m所以二面角A(12分)解:n m|n|m|/33PB C的余弦值为抽取的一个零件的尺寸在(3 ,3 )之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在专业资料word格式可复制编辑专业资料word格式可复制编辑又由11 132 ab2a24b2知,11,因此b2解得a2132 14b2b22 a故由题设知 C经过P3,P4两点C不经过点R，所以点P,在C上41(3 ,3 )之外的概

17、率为0.0026，故X B(16,0.0026)，因此P(X 1) 1 P(X 0)10.9974160.0408X的数学期望为EX 16 0.0026 0.0416(2) (i )如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 )之外的概率只有 0.0026 ,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3 ,3 )之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上 述监控生产过程的方法是合理的。(ii )由X 9.97, s 0.212，得的估计值为？ 9.97,的估计值为？ 0.2

18、12，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(？ 3 ?, ? 3 ?)之外，因此需对当天的生产过程进行检查。剔除(？ 3?, ? 3?)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(16 9.97 9.22) 10.0215因此的估计值为10.02162 2 2Xi16 0.21216 9.971591.134i 1剔除(？ 3?, ? 3?)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为1 (1591.134 9.222 15 10.022) 0.00815因此的估计值为、0.008 0.0920.( 12 分)解:2故C的方程为y214(2)设直线P2A与直线P，B的斜率分别为k1,k2如果I与x轴

19、垂直，设l :x t，由题设知t 0，且|t| 2，可得A, B的坐标分别为(1)由于F3,P4两点关于y轴对称,专业资料word格式可复制编辑4 t22. 4 t222t2t1，得t 2，不符合题设从而可设丨:ykx m(m 1)，将 ykx2X2m代入 y 1得4由题设可知(4 k21)x28kmx4m2216(4 k1)设人（洛，）, B（X2, y2）,XiX28 km4k21，X1X224m 44k2 1k1k2X1y 1X2kx1 m 1 kx2 m 1X12kx-ix2 (m 1)(x1 x2)x1x2由题设k1k2故(2 k 1)x“X2(m1)(X1 X2)0即（2 k4m2

20、 41)7(m8km解得k当且仅当m1时,0,于是所以I过定点(2, 1)21.（ 12 分）解:（1） f（x）的定义域为（)，f (x)2xxx2ae (a 2)e1 (ae1)(2ex 1)(i )若 a 0，则 f (x)0,所以f（x）在（）单调递减（t，孚附）2 2(ii )若 a 0，则由 f (x)0 的 x ln a当 x (, ln a)时，f (x) 0 ；当 x ( ln a,)时，f (x) 0专业资料word格式可复制编辑x 4y 3 0,y2 1解得3,或21252425从而C与I的交点坐标为(3,0),(21 2425, 25所以f(x)在(，In a)单调递减，在(Ina,)单调递增。(2) (i )若a 0,由(1)知，f(x)至多有一个零点(ii )若 a 0,由(1 )知，当刍xIn a时，f (x)取得最小值，最小值为f( In a)1 - I na