【公开课】函数的基本性质方法归纳-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、3.2 函数的基本性质【重点解读】一、增减函数定义1、增、减函数定义中的须满足三个特征任意性，即不能用区间中的特殊值代替，如若函数满足，不能说函数在区间上单调递增；有大小，即或，否则不能说单调性；同一区间，即需在同一区间内。2、函数单调性的等价变形若为增函数，则；若为减函数，则；为增函数对任意的，都有； 为减函数对任意的，都有3、同一函数，其单调区间不能用并集（）符号连接，应用“和”或“，”连接，如反比例函数的单调性的描述；单调区间端点的开闭没有严格规定，若函数在区间端点有意义，则写成开区间或闭区间都可以，若函数在区间端点没有意义，应写成开区间。 二、函数的最值1、问题：函数的最大（小）值的定

2、义中，两个条件能缺少吗？ 分析：不能，两个条件缺一不可。以最大值为例，若只有第一个条件，M不一定是最值，如函数，对，都有成立，但3不是此函数的最大值；而第二个条件说明了最值一定是函数值。2、若函数在开区间上是单调函数（单调增函数或单调减函数），则在该区间上不存在最值。3、若函数在闭区间上是单调函数，则在该区间上存在最值，当是增函数时，最小值为，最大值为；当是减函数时，最小值为，最大值为。三、奇偶函数定义1、定义域特征：奇偶函数的定义域都关于原点对称，即某个数若在定义域内，则其相反数必在定义域内。 判断奇偶函数时，应遵循定义域优先原则。2、若奇函数在原点处有定义，则必有.3、奇偶函数的图象特征

3、奇函数函数图象关于原点中心对称； 偶函数函数图象关于y轴对称。四、常见函数单调性与奇偶性 一次函数反比例函数二次函数定义域RR值域R时，值域时，值域单调性时，是R上的增函数，增区间为；时，是R上的减函数，减区间为时，在和上均为减函数，减区间为和；时，在和上均为减函数，减区间为和时，在上为减函数，在上为增函数；时，在上为增函数，在上为减函数最值无最大值，也无最小值无最大值，也无最小值时，时，有最小值时，时，有最大值奇偶性当时，是奇函数；当时，是非奇非偶函数无论或，均为奇函数当时，为偶函数五、对勾函数解析式对勾函数图象特别的，当时，单调减区间：，单调增区间：，定义域集合表示：；区间表示：值域集合表

4、示：区间表示：证：当时，当且仅当时等号成立；当时，故，当且仅当时等号成立，所以时，；综上的值域为单调性在区间，上单调递增，在区间，上单调递减。奇偶性对勾函数都是奇函数六、函数的对称性和周期性说明：高中阶段函数学习四种性质，单调性、奇偶性、对称性、周期性1、对称性（1）若函数满足，则函数关于直线对称；（2）若函数满足，则函数关于直线对称；（3）若函数满足，则函数关于点中心对称；（4）若函数满足，则函数关于点中心对称。小结：若所给函数关系式中的自变量相加没有x，则函数具有对称性。2、周期性（1）若函数满足或，则是函数的一个周期；（2）若函数满足，则是函数的一个周期；（3）若函数满足，则是函数的一个

5、周期。小结：若所给函数关系式中的自变量相减没有x，则函数具有周期性。【方法归纳】一、判断函数的单调性1、方法法一：定义法（1）取值，在定义域内任取，令（或）；（2）作差变形，将或化简变形，如因式分解、配方、通分、分母有理化等，最终化为几个因式相乘或相除的形式，便于判断其符号；（3）定号，确定或的正负，若不能直接确定差的符号，通常需分类讨论或将定义域再次细分，直到能确定差的符号为止；（4）判断，根据定义判断是增函数还是减函数。法二：图象法根据函数的升、降趋势判断其增减性法三：结论法（1）函数与函数的单调性相反 若为增函数，则为减函数；若为减函数，则为增函数。（2）函数的单调性与函数的单调性相同

6、增，则增；减，则减。（3）当时，函数与函数的单调性相同； 当时，函数与函数的单调性相反。（4）若，则函数与函数，的单调性相同。（5）当的值恒为正或恒为负时，函数和函数的单调性相反；但当的值有正有负时，函数的单调性应重新判断。（6）在公共定义域内，若均为增函数，为减函数，则为增函数；，为增函数；，为减函数。小结：，2、例题例1 求证：函数在区间上为减函数。证：在上任取，则 （乘积形式，便于判断正负） ，又，故，所以函数在区间上为减函数公式：，例2 判断函数的单调性。解：函数定义域为，任取，则 （函数问题遵循定义域优先原则） ，故，即所以函数是递增函数。二、复合函数的单调性1、原理与解法（1）原理

7、同增异减，即内层函数和外层函数在公共定义域内有相同的单调性（同增或同减），函数在该区间内为增函数；内层函数和外层函数在公共定义域内有相反的单调性（一增一减），函数在该区间内为减函数。（ ，）（ ，）（ ，）（ ，）增增减减增减增减增减减增（2）解法确定复合函数定义域； （定义域优先原则）写出内层函数和外层函数；判断并写出和的单调性；根据“同增异减”原则得到的函数的单调性。技巧：练习时可用列表法判断复合函数单调性（格式见下列例题）2、例题例1 判函数的单调性。解：定义域优先原则函数定义域满足，即 分别判断内层函数和外层函数的单调性函数在定义域内为增函数；函数的在区间上递增，在区间上递减判断符合函

8、数单调性根据“同增异减”原则可得在上递增，在上递减。答题格式（草稿样式）例2 判断函数的单调性。解：定义域优先原则函数定义域满足，即判断内层函数和外层函数的单调性函数的递减区间为，；函数递增区间为，递减区间为，判断复合函数单调性根据“同增异减”原则可得的递增区间为，递减区间为，草稿样式三、分段函数的单调性1、方法分段函数递增若分段函数在R上单调递增，则函数满足两点：（1）在上单调递增，在上单调递增；（2）.分段函数递减若分段函数在R上单调递减，则函数满足两点：（1）在上单调递减，在上单调递减；（2）.易错：分段函数在R上单调和在某个区间上单调都满足两点“第一，各个段上具有相同的单调性，第二，分

9、段点处的函数值满足对应单调性”；分段点处函数值的比较易忽视，是高频易错点。2、例题例 若函数在R上单调递增，求实数b的取值范围。分析：因为函数在R上单调递增，根据分段函数递增性的定义可知满足三个条件：在上递增，又为一次函数，故可得，解得；在上单调递增，又对称轴为直线，故有，解得； （结合图象理解）分段点处满足，即，解得；（此点可画图理解）所以实数b的取值范围为上述三个条件的交集，即.解：函数在R上单调递增，解得b的取值范围为四、抽象函数的单调性题型一：已知抽象函数单调性和定义域；抽象函数等量关系式，求解的相关不等式，如解法：（1）赋值，通过对等量关系式中的变量赋值，得到，求出c值；（赋值技巧：

10、常见的赋值有0，1，2；倍数赋值） （2）转化，根据等量关系式对问题中的不等式变形，使之成为的形式；（3）列式，由题可知，然后取其交集即为原不等式的解；（4）作答，所以x的取值范围为.易错：第三步列式时如果根据第二步转化后的不等式关系列式，容易扩大或缩小参数的取值范围，列式应遵循原始式原则。例1 已知是定义在区间上的增函数，且，如果x满足，求x的取值范围。解析：以下是本题的分析过程，不达标解答步骤。（1）赋值 令可得，求得（2）转化 ，故原不等式可化为（3）列式 是定义在上的增函数 ，解得（4）作答 综上，x的取值范围为问题思考：本题满足的条件是否可以写成？为什么？分析：不能。条件和的区别在于

11、定义域满足的关系，而定义域的考虑应从原始式入手，即题目本来出现的表现形式是什么就写什么，本题中原始式为，因此是“”和“”在定义域内，即。题型二：已知抽象函数满足的关系式，证明或判断其单调性解法：定义法证明或判断单调性，即取值；作差变形；定号；判断。易错点：作差变形，抽象函数变形主要指对自变量等价变换，常见的有，等。例2 已知函数对任意的，都有，并且当时，。（1）求证：在R上是增函数；（2）若，解不等式.解析：（1）任取，且，因为，所以，则，因为，所以，（此时）又当时，故，即，也即，所以在R上是增函数。（2）此题是题型一，根据题型一解法求解。赋值 ，令得，解得转化 原不等式可化为列式 又在R上是

12、增函数，故，解得作答 综上，原不等式的解集为五、求函数的单调区间1、方法（1）图像法：给出函数图象或能画出函数图象，利用图象求单调区间（2）直接判断法：利用已知函数的性质和已有结论直接写出函数单调区间（3）定义法：利用函数单调性的定义求出单调区间（4）复合函数法：同增异减2、例题例 求函数的单调区间。解：化简函数解析式，写成分段形式，化简得判断单调区间，共两种方法，一种是根据已知函数单调性判断，另一种是画出图象判断，接下来我们用第一种，请独立用第二种。由可知在每一段上都是一次函数，因此根据一次函数单调性可知：单调减区间为，单调增区间为.六、函数单调性的应用题型一：求函数的最值/值域方法例题法一

13、：配方法例1 求函数的最大值。解析：函数定义域为R，则，因为，所以根据不等式性质可得， 所以，故函数的最大值为8.法二：图像法例2 求函数的最值。解法一：图象法，因为，即，画出题图象如右图，故函数最小值为-3，最大值为3.解法二：解析式法，因为，求出各段的最小值然后取最小得函数最小值为，求出各段的最大值然后取最大得函数最大值为3.法三：单调性法例3 求函数，的最大值和最小值。解析：令，则 因为和在上都是减函数，所以在上也是减函数 故最小值为，最大值为法四：换元法例4 求函数的最值。解析：含根式，且根式中未知数次数为1，考虑换元法 函数定义域满足，即定义域为 （定义域优先原则） 令（），则 （换

14、元后紧跟新元范围，并反解出x） 代入原式得，是关于t的开口向上的二次函数，对称轴为直线，定义域为 由二次函数性质可得时，单调递减；时，单调递增 所以原函数有最小值，最小值为，无最大值。法五：分类讨论（含参二次函数）例5 求函数在区间0，2上的最值。解析：本题是二次函数含参问题，这里需有一个概念，含参问题都需分类讨论，本题关键是分类的依据。对二次函数而言，分类依据有两类，一类是二次项系数的正负零，另一类是对称轴和所给区间的大小关系，结合具体问题选择。（分类原则：从易到难，不重不漏）分类参考：对称轴在所给区间左边；对称轴在所给区间右边；对称轴在所给区间中间。因为，开口向上，对称轴为直线，接下来我们

15、分类讨论：当时，在0，2上单调递增，最小值为，最大值为；当时，在0，2上单调递减，最小值为，最大值为；当时，在0，a上单调递减，在a，2上单调递增，最小值均为，最大值则不相同，画出其大致图象可得：若，最大值为；若，最大值为.综上，时，最小值为（或），最大值为；时，最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为.题型二：利用单调性比较大小例 如果函数对任意的实数x都有，试比较的大小。解析：的对称轴为直线，又开口向下，故规律：函数对称性，若，则函数关于直线对称；若，则函数关于直线对称。题型三：利用单调性求参数的值或范围题型：已知函数在某个区间上是增函数（或减函数），求参数的取值

16、范围，一般有两类题型 （1）分段函数，包含直接给出分段形式和含绝对值的函数两种； （2）二次函数解法：（1）分段函数各段单调性；分段点处的单调性 （2）二次函数比较所给区间的端点值和对称轴之间的关系规律：函数的图象关于直线对称，练习时可用此技巧简化运算，但应注意只含一个绝对值才能使用，如果含两个或多个绝对值，就应写成分段形式求解。例题：（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围。 （2）已知函数（）在上是增函数，求实数a的取值范围。 （3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围。解析：（1）根据分段函数单调性解法求解即可，由题得，解得，所以实数a的取值范围为.（2）函数关于直线对称，使

17、在上递增，则，解得，故实数a的取值范围为.（3）函数的对称轴为直线，使在区间上单调递减，则，解得，故实数a的取值范围为.题型四：利用单调性解不等式题型：已知函数在某个区间上的单调性；的大小关系，求x的取值范围。方法：一般列三个不等式（满足三个条件）值域在函数的定义域内；值域在函数的定义域内；根据的单调性得出与之间的大小关系。易错：忽视遗漏和定义域相关的两个不等式。拓展：不直接告诉的大小关系，而是给出某个数字，如，解答时先用赋值法得到，将不等式转化为，从而用上述解法求解。例题：已知是定义在区间上的增函数，且，求x的取值范围。解：是定义在区间上的增函数，且 ，解得，故x的取值范围为七、判断函数的奇

18、偶性1、方法方法一：定义法（1）求 定义域 （定义域优先原则）（2）判断的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数，若对称，转第三步（3）写出的表达式（4）判断与的关系：若或或，则函数为偶函数；若或或，则函数为奇函数。方法二：图象法（1）若函数图象关于原点中心对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数（2）若函数图象既关于原点中心对称，又关于y轴对称，则函数既是奇函数又是偶函数（3）若函数图象既不关于原点中心对称，又不关于y轴对称，则函数不具有奇偶性方法三：性质法（结论法）（1）在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商仍为偶函数，即偶函数+偶函数=偶函数，偶函数偶函数

19、=偶函数，偶函数偶函数=偶函数，。（2）在公共定义域内奇函数的和、差都是奇函数，即奇函数+奇函数=奇函数，奇函数奇函数=奇函数奇函数的积、商都是偶函数，即奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，（3）若函数为偶函数，则、仍为偶函数； 若函数为奇函数，则、为奇函数，为偶函数。（4）奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性 如奇函数在上单调递增，则在上单调递增；偶函数在上单调递增，则在上单调递减。（5）复合函数奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数2、例题 判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）解：（1）定义域为，不关于原点对称

20、，则既不是奇函数也不是偶函数。（2）定义域满足，解得且， 故函数定义域为，关于原点对称，且 ，故是奇函数（3）由题可知，函数的定义域关于原点对称 当时，则，； 当时，则， 综上可知，当时，都有，故为奇函数规律：判断分段函数的奇偶性的方法法一：图象法画出分段函数图象，判断其奇偶性法二：定义法写出函数解析式进行判别知识补充：函数图象的三种变换平移变换左加右减（x），上加下减（y）对称变换题型：根据图象画出的图象方法：翻折变换题型：根据图象画出的图象方法：小结对称变换和翻折变换图象画法标志：所给函数解析式中出现“|”符号判断：分析是自变量加绝对值还是函数值加绝对值画图：根据所属类型画出函数图象技巧：

21、先用铅笔画出函数的完整图像，然后对其进行相应变换，最后擦掉多余部分即可得到所求函数图象。八、利用函数奇偶性求函数解析式1、题型及解法题型：已知函数的奇偶性和在某区间上的解析式，求其在对称区间上的解析式解法：（1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间上的解析式，就设在哪个区间 （2）代入已知，即表示所求区间，则表示已知区间，写出解析式 （3）奇偶求解，即利用的奇偶性写出所求区间上的解析式2、例题例1 已知函数是R上的奇函数，当时，求的解析式。解：求谁设谁 当时，代入已知 则奇偶求解 为奇函数 当时，是R上的奇函数 （易错点，容易被忽视）综上，的解析式为九、利用函数奇偶性解不等式数形结合1、题型及解法

22、题型一：已知的定义域、奇偶性和部分图象，求或的解集。（例1）解法：图像法根据奇偶性补全的图象；根据图象写出不等式解集题型二：已知的定义域、奇偶性和部分区间的单调性，求或的解集。（例2）解法：图像法 画出的大致图象；根据图象写书不等式解集题型三：已知的定义域、奇偶性和部分区间的单调性，求或的解集。（例3）解法一：单调性法 根据奇偶性将两个自变量化为同一单调区间；根据单调性解不等式解法二：奇偶性法 不妨设求解不等式，画出函数图象；判断a到y轴的距离和b到y轴距离的大小；列出不等式（即|a|和|b|的大小关系）；求解集2、例题例1 设奇函数的定义域为，若当时，函数的图象如下图所示，则不等式的解集为

23、。解：补全图象（右图）写解集 例2 若函数是定义在R上的奇函数，且在上为减函数，若，则不等式的解集为 ，不等式的解集为 .解：（1）画出图象（右图） 说明：只需画出大致图象即可，不必一定知道其解析式（2）求不等式解集不等式的解集为不等式有两种解法法一：换元法 令，则不等式等价于， 由图象得解集为， 所以或，解得或 故不等式的解集为法二：分类讨论I. 当即时，满足，由图像得，解得II.当时，满足，由图像得，解得所以不等式的解集为例3 设函数在R上是偶函数，且在区间上单调递增，求解下列不等式或参数值：（1）；（2）若，求实数a的范围。解：本题是奇偶性和单调性的综合应用，可以用图象辅助理解（1）根据

24、奇偶性得在上单调递增，在上单调递减易错：此题常规想法是分类讨论，三种情况“”和“”都在区间上，根据单调递增求解；“”和“”都在区间上，根据单调递减求解；“”和“”一个在区间上，一个在区间上，此时会比较复杂。那么是否有一种方法，它包含了3中情况，避免分类讨论呢？技巧：我们不妨用图象理解，在定义域内的走势是先增后减（画草图），其图象关于y轴对称，观察图象发现“函数值越大，自变量越靠近y轴，函数值越小，自变量越远离y轴”，因此要解不等式可转化为“”到y轴的距离大于“”到y轴的距离，再根据距离的几何意义可得不等式。由题得，即， （含绝对值不等式解法平方法）化简得，解得，故原不等式解集为（2）错解：由得

25、，从而求解错因：和不一定是同一单调区间上的两个自变量，因此不能直接用函数单调性判断。正解：按照上题思路，若，则到y轴的距离到y轴的距离，即，如果直接平方法去绝对值会出现x的四次方，现阶段无法求解，可考虑去绝对值求解，如何去呢？分析绝对值内代数式的正负。判断和的正负法一：函数法对于函数，开口向上，且，故 对于函数，开口向下，且，故法二：配方法，去绝对值，解不等式不等式可化为 即，解得，故实数a的取值范围为十、利用奇偶性和单调性比较大小1、解法解法一：图象法解法二：转化到同一单调区间；比较大小2、例题例1 已知偶函数在区间上单调递减，则、的大小关系为 。解：由题可得在区间上单调递增，故又，故例2

26、已知偶函数，当时，都有成立，令，则实数a、b、c的大小关系为 。解：当时，都有成立是上的增函数，故是R上的偶函数 ，即十一、利用奇偶性求函数值1、题型及解法题型：所给函数的一部分是奇函数或偶函数，求原函数的某个函数值。解法：（1）逆向分析，正向求解（2）将原函数分成两部分，原函数=奇/偶函数+剩余部分，两部分各自求值。规律：多项式函数，若为奇函数，则的偶次方前的系数均为0；若为偶函数，则的奇次方前的系数均为0.2、例题例1 已知，且，求 。解：通过观察发现由奇函数“”和常数“-8”组成，则，故有，要求即求，再根据的奇偶性和已知“”求出。分解=奇函数+常数令，则是R上的奇函数，且求和 ，解得，又

27、为奇函数，故求例2 设是R上的奇函数，当时，则 。解：本题是奇偶性和周期性同时考察，先利用奇偶性得出函数的一个周期，再根据周期将转化至所给解析式的区间，然后求解。是R上的奇函数 ，所以是的一个周期当时， ，故例3 已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则 。解：本题有两个量求解和，需列两个等量关系式，给x赋值1和-1即可。分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 令和分别代入得将代入可得，解得，故说明：上述解法为此类题型的通法，可概括为3步赋值；替换；求解。对于本题而言，只需赋值x=-1即可得到，练习时应根据具体情况灵活变换。十二、利用函数奇偶性求参数的值1、解法（1）函数定义域中含参数时，

28、两端点数值互为相反数（2）函数解析式中含参数时，根据定义列等式或（3）特殊化策略（赋值法）：根据等式或难以计算参数值时，可在定义域中去两个对称点，然后列出对应关系求解，如或等。使用这种方法求出的参数值需代入解析式检验，舍去不满足条件的。（4）奇函数：如果定义域，则.2、例题例1 若函数是偶函数，定义域为，则a= ，b= 。解：偶函数定义域关于原点对称，则，解得，故计算b值有两种方法法一：特殊函数法是二次函数，且为偶函数，则对称轴为y轴（直线x=0），即b=0法二：定义法因为是偶函数，则，即，解得综上，例2 已知函数是奇函数，则 。解：本题有两种解法。法一：赋值法 由题知定义域为R，且为奇函数，则有，即，解得，故法二：解析式法 思路求当时，的解析式，然后得出的值 当时， 是R上的奇函数 ，故当时，故例3 已知函数是R上的奇函数，当时，若，则a= 。解：先求时的解析式，然后依次带入求解，再检验所求a是否符合题意。求解析式 当时， 是R上的奇函数 ，所以当时，求a并检验 当时，无解；当时，解得（舍正） 综上，a的值为.例4 设函数为奇函数，则a= 。解：函数为奇函数 ，所以，解得十三