粘性流体力学第一章

1、粘性流体力学 第一章第一章 粘性流体的基本概念粘性流体的基本概念 第二章第二章 粘性流体力学的基本方程粘性流体力学的基本方程 第三章第三章 层流层流NS方程的精确解方程的精确解 第四章第四章 不可压流体层流边界层不可压流体层流边界层 第五章第五章 层流不稳定性和转捩层流不稳定性和转捩 第六章第六章 湍流基本理论湍流基本理论 第七章第七章 不可压缩流体湍流边界层不可压缩流体湍流边界层 第八章第八章 射流与尾迹射流与尾迹 第九章第九章 内部流动内部流动 第一章第一章 粘性流体的基本概念粘性流体的基本概念 第一节第一节 粘性流体力学的发展粘性流体力学的发展 第二节第二节 两种基本流态两种基本流态层流

2、、湍流层流、湍流 和雷诺数和雷诺数 第三节第三节 流体的传输性质流体的传输性质 第四节第四节 应变率张量和应力张量应变率张量和应力张量 第五节第五节 广义牛顿定律广义牛顿定律 第第一节 粘性流体力学的发展1、研究流体粘性的意义、研究流体粘性的意义n流体存在着粘性，粘性是流体阻止其本身流动的性质。当流场中存在速度梯度时，流体就会产生阻力，这就是粘性。n在求解运动物体在流体中的阻力，以及涡旋的扩散、热量的传递等问题时，粘性会起主导作用不能忽略。n粘性流体力学就是研究在粘性不能忽略情况下的流体的宏观运动，以及流体和在其中运动的物体之间相互作用所遵循的规律。2 2、粘性流体力学的发展、粘性流体力学的发

3、展 粘性流体力学在理论上的发展首先是纳维（Navier 1827年在欧拉方程中加上了粘性项。 经过柯西（Cauchy）、泊松（Poisson 1829年）和维纳特（Vanant 1843年）等人的研究。最后由斯托克斯（Stokes 1845年）完成粘性流体运动的动量方程（NavierStokes方程）。 1904年普朗特（Ludwig Prandtl）提出了边界层理论，才把实验与理论分析结合起来。以后粘性流体力学主要在边界层理论和湍流理论两个方面发展起来。3 3 边界层理论的发展概况边界层理论的发展概况 边界层理论的建立边界层理论的建立 1904年普朗特提出了边界层理论，把流体分成两个区域，离

4、物面很近的区域，速度梯度很大，粘性力起很大作用，但这层流体很薄，称作边界层，而外层按无粘性流动处理。 1905年普朗特和1908年布拉休斯（Blasius）对平板边界层引入了相似性解。 积分关系式法积分关系式法 1921年卡门（Von Karman）和波尔豪森（Pohlhauses）引入了动量积分方程。从而提出了边界层的动量积分关系式解法。 湍流边界层的积分关系式解法有多种，其中用的比较广泛的是希德法（Head 1958年），此法的主要缺点忽略了边界层上游的历史影响。 有多种改进和推广此法的方法，其中格林法（Green 1973年）考虑了雷诺应力的变化以及上游的历史影响，总的精度有明显的提高。

5、以后依斯特（East 1977年）把Green法发展成解湍流边界层的逆方法，以便预估分离流动，得到了较好的结果 积分关系式法在跨边界层积分时不可避免的要失掉很多边界层的信息，不能反映边界层的湍流结构，如切应力的分布，而且它需要对边界层的速度剖面进行假设，所以此法不适用边界条件突然变化和分离等情况。 但是在流体机械中，为了工程上的需要，此法还要进一步发展以适用于三维边界层、非定常边界层、可压缩边界层及温度边界层等分析计算的要求。 微分解法微分解法 60年代以后随着计算机的发展，边界层的微分解法也发展起来。1968年斯坦福（Stanford）大学举行了一次专门会议估计常用的湍流边界层计算方法的精度

6、，确认了偏微分方程的解法比积分关系式方法更精确，更普遍。 有层流边界层的SC法（Smith and Clutter 1963年）和湍流边界层的CS法（Cebeci and Smith 1967年）。 有关三维边界层和边界层分离计算仍在不断发展。 有关湍流计算的模式理论等仍适用边界层的计算，有关边界层流动的研究也是这些理论和方法发展的动力。 边界层的实验测量边界层的实验测量 在湍流边界层计算的发展中，边界层的实验测量，其中最主要的是对速度分布规律的研究，这方面的成果有普朗特（Prandtl 1933年）的内层律，卡门的外层律（Karman 1930年），克劳塞（Clauser 1954年，195

7、6年）压力梯度对外层律影响的修正，科尔斯（Coles）的尾迹律, 以及1960年代克兰（Kline）开始用氢气泡技术观察到的边界层猝发(burst)现象。 三维边界层计算和边界层的逆解法三维边界层计算和边界层的逆解法 边界层的计算主要集中发展了三维边界层计算和边界层的逆解法的研究。 三维边界层的积分关系式法三维边界层的积分关系式法 主要是把Head法推广到三维边界层的计算，其中有Moore. J （1973）计算径流叶轮的轮毂、外缘和叶片面的三维边界层；Akakawa et al（1980）计算了轴流泵叶片的三维边界层，并得出叶片后缘的脱流区；Lakshminarayance（1981）计算了

8、透平叶片的三维边界层；Furakawa et al计算水泵叶轮环面和叶片面边界层。差分法求解三维边界层差分法求解三维边界层 用差分法求解三维边界层较晚。 Nash. J. F.（1972）用一阶精度的显式差分求解了机翼三维边界层，Nash. J. F.（1976），Cebeci. J . et al(1977), Melean J. D. (1977), Tassa A. et al(1982)用隐式差分求解了三维边界层。 Vatsa V. N (1984)导出了非正交旋转坐标系中的三维边界层方程，引入了二维LevyLess变换，用零方程湍流模型方程封闭，并用分块因子法求解。Anderson

9、O. L. (1987)计算了叶轮叶片面三维边界层。 边界层逆解法边界层逆解法 边界层计算的另一个活跃领域是边界层的逆解法。对于二维定常分离边界层，当给定时，边界层方程在分离点是奇点，用正解法无法求解。 D. Catherall et al（1966）首先提出了二维边界层积分型逆解法。在二维边界层上主要应用East（1977）的逆解法。 三维边界层在分离现象、判别和模拟方面比二维复杂，J. Cousteix(1981)提出了三维边界层的逆解法。以后Le Ballear（1981），Delery J and Formery（1983），Radwan S. F. （1984）和Edwards D.

10、E.（1987）等都进行边界层逆解法的计算，并取得了满意的结果。 大尺度分量与流动的边界条件和外力性质有关，如湍流中动量和热量的交换，对于工程问题很重要。在这方面对于管流、渠道、自由湍流和边界层做了很多试验，在试验基础上产生了湍流的半经验理论。这个理论主要包括2030年代产生的Prandtl的混和长度理论，Taylor的涡量传输理论和Karman的相似性理论。这些半经验理论基于湍流微团运动和分子运动的类比。4 4、湍流理论发展概况、湍流理论发展概况 致力于湍流大尺度分量的描述致力于湍流大尺度分量的描述 在半经验理论基础上60年代以后进一步提出模式理论湍流计算模型主要有代数型零方程模型，包括CS

11、（Cebeci and Smith 1968）、PS（Patankar and Spalding 1968）和MH（Mellor and Herring 1968）等模型；等效粘度模型（EVM），如常见一个方程和两个方程（k-）模型；以及应力代数模型（ASM），应力微分模型（DSM），在应力模型方面周培源教授有重大的贡献。 构造湍流模式总须引进封闭假设和待定常数。促使人们考虑直接从Navier-Stokes方程出发模拟湍流，这就是湍流的直接数值模拟(DNS),也称完全湍流数值模拟（FTS）和大涡模拟（LES）。湍流的数值模拟方法 湍流研究方法 统计平均法 大涡模拟(LES) 直接法(DNS)

12、雷诺平均法(RANS) 统计法 格子 Boltzmann 法(LBM) 谱方法 伪谱法 涡动力学法 雷诺平均湍流模式理论 涡粘性模型 代数涡粘模型 单方程模型 双方程模型 Reynolds 应力模型 二阶矩应力方程模型 代数应力方程模型(ASM) Reynolds 平均理论 重整化群 k标准 k 研究原因：初始条件的微小扰动，经过一段时间的发展可以完全改变湍流运动的细节；但是高雷诺数的完全发展湍流的统计平均行为是稳定的。完全发展湍流的这一特征决定了统计理论在湍流研究中的地位。小尺度湍流分量的描述小尺度湍流分量的描述 在湍流的统计理论中1922年L.Richardson提出了能量串级过程，G.

13、Taylor1935年引入了均匀和各向同性湍流的概念。1941年Kolmogorov提出了小尺度分量的新的相似性假设和局部各向同性湍流的理论。根据这些假设推出了一些定律，直至60年代才能得到实验的验证。 周培源1976年研究了网后均匀各向同性湍流的衰减规律。同时在统计理论方面对湍流的封闭性做了很多工作，主要有准正则近似理论、Kraichnan的直接相互近似（DIA）和应用非平衡统计力学方法解决湍流的封闭性问题。 湍流的拟序结构。湍流的拟序结构。70年代以来湍流的拟序结构成为了研究湍流结构的新的起点。湍流的特征是间歇有序性，即拟序结构的触发是不规律的，但一旦触发，它以近乎确定的规律发展。这方面的

14、研究包括发现和证实拟序结构，如边界层中的猝发现象、混合层中的大涡；利用现代信息处理技术（条件采样，模式识别）检测和分析拟序结构；定量描述和了解拟序结构的生成和发展，应用它控制湍流，和构造湍流模式。 现代混沌理论。现代混沌理论。70年代以来湍流发表的另一个重要的方面是现代混沌理论（Chaos），从1963年Lorenz开始，将NavierStokes方程简化成三个一阶常微分方程组成的非线性动力系统。随着参数的变化它会经历稳定解、周期解、具有间歇性的解和湍乱无章的混沌解，这正是湍流发展过程和完全发展了的湍流所具有的特征。 粘性流动存在两种流态粘性流动存在两种流态层流和湍流层流和湍流 第二节 两种基

15、本流态层流、 湍流和雷诺数1 1、层流和湍流、层流和湍流 ReynoldsReynolds在在18831883年的著名试验研究了这一现象。年的著名试验研究了这一现象。 试验装置如图11所示。当大容器T中的流体处于某一温度之下，阀门K开度很小时，玻璃管G内流体以极低速度流动；此时，如让另一种与容器T内流体比较相近似的有颜色的流体自小容器B通过细管和尖针流入玻璃管G，可以看出此股有颜色流体的流束与周围的流体不发生混杂。此时流体做层状流动，这种流体分层的流动状态叫做层流。流体层间只有分子级的动量交换，而看不出流体间的混掺。图11 雷诺试验 如果试管内流速逐渐提高，可以看出颜色流束逐渐波动，但还与周围

16、流体没发生混杂。随着流速的进一步提高，颜色流束开始断开，发生了局部混杂。当到某一流速Vcr（上临界流速）时，颜色流体在尖针出口即与周围流体发生混杂，整个玻璃管呈淡的颜色流。可以认为此时层流流态已完全破坏，流体微团间发生强烈的动量交换，液流呈不规律的湍乱状态，称为湍流。如果实验开始是湍流，逐渐减小管内流速，到某一临界值Vcr（下临界速度,Vcr Recr 时为湍流， 当 Re Re Recr时，可以是湍流也可以是层流，工程上多按湍流处理。圆管中的临界雷诺数为：Recr 2300和 Recr 800012000。crcrV dRecrcrV dReVdRe 对于确定的流体，温度固定（即粘度确定）时

17、，其流态决定于临界速度。因此引用下列量纲为1的组合数作为判别流态的准则，对于管流： 均匀流动流过一个二维圆柱（半径为R）的理想流动的解是一个均匀流U与一个偶极子叠加而得到的势流解。2222cos (1)sin (1)rRuUrRuUr 22(14sin)2ppU22()14sin12pppCU 2 2、粘性的影响、粘性的影响 图12 圆柱绕流的势流解 势流（theoretical） 亚临界（subcritical） Re1.86105超临界（supercritical） Re6.7105Re =Ua/ 图13 圆柱绕流压力系数Cp 图14 粘性流体绕圆柱时的流态 如图14所示：（a）在极小雷诺

18、数范围（Re1）流动不分离，前后左右对称；（b）在小雷诺数（35Re3040）流动是定常的层流，在背风面出现有限“对涡”回流区；（c）3040Re8090时，对涡仍然存在，流动是层流，但尾流开始作不定常流动，但由于粘性尾流衰减很快而消失（d）卡门涡阶段（8090Re150300），流动基本上是层流，圆柱两侧涡旋先后周期性从圆柱表面脱落，在尾流中形成交替排列的两列涡旋。这一现象首先由Karman（1921）理论上加以阐述，称为卡门涡街；（e）“亚临界”阶段（150300Re1.3105），圆柱迎风面的层流边界层先转捩为湍流边界层，然后与圆柱表面分层，分离点位置比亚临界阶段明显偏后，而尾迹变得比较

19、狭窄。 图15圆柱绕流的阻力 圆柱绕流的阻力由两部分组成，摩擦阻力和压差阻力，由图13所示，在粘性绕流的情况下迎风面的压力比背风面的压力大的多而形成压差阻力。图15为阻力系数(D为阻力)随雷诺数Re变化的曲线。 在图在图1 14 4中：中： （a）的阻力主要是摩擦阻力，CD的数值很大，D与 成正比， 称为蠕流。（b）（c）的阻力中，摩擦阻力与压差阻力同样重要。（d）（e）（f）的阻力主要是压差阻力，占总阻力的90，CD与Re无关，阻力D与 的平方成正比。随着雷诺数增加，由亚临界阶段向超临界阶段的过渡是突然发生的，此时阻力会有一个突然的降落称为“阻力危机”。当来流湍流度较高或表面粗糙时，阻力危机

20、会提前发生。UU从这个经典的例子可以看出：（1） 实际的粘性流动与无粘流动有很显著的不同：如流速分布，壁面应力等。其中重要的不同就是粘性流动中有切应力存在及物面的粘附条件（无滑移条件）。（2） 随着雷诺数不同，可以有不同的流态，流谱，压力、流速分布，形成不同的边界层和尾流。第三节 流体的传输性质 动量传递现象 粘性流体在流动过程中会产生动量传递，这是粘性的本质。流体的分子运动可以解释流体的粘性。流体的分子除了有与流动方向一致的平均前进速度，还伴随着微观不规律的热运动。 在相邻流体层之间会发生某些物理量的传输（或称输运）：动量输运、热量输运、质量输运。 流体与壁面之间的动量传输。在固体壁面附近，

21、流体分子一撞到固体壁面就失去了动量的平均前进分量，它在固壁处的平均速度为零，这就是无滑移条件。从固体表面反射的流体分子通常和距离固壁只有平均自由程的其它分子发生碰撞而得到动量的前进分量，再次碰撞固面，又失去前进的动量分量。另一方面，由于和固面反射的分子相碰撞而使平均速度减慢了的流体分子，再与远离固体表面处的流体分子发生碰撞，也会进行动量交换。这样，随着离开固体表面距离的增加，流体分子的平均速度会逐渐增加。事实上，只要流体分子的平均速度有差异，即有速度梯度，就会有上述流体分子间的动量传递现象。 流体之间的动量传输。进一步可以认为速度不同的相邻质点间也会发生动量交换。假设质量为m，速度分别为u1和

22、u2（u1 u2）的两个流体质点在相邻的两层中运动，它们之间产生动量交换后，速度分别变成为u1+u和u2u。那么流体质点的动量变化率为mu,相应于这个动量变化率就是质点间存在切应力。所以在粘性流体中，只要有速度梯度，在流体中任何切面两侧就会存在大小相等、方向相反的切应力。 此项动能将变成分子热运动的能量。在流体的动能转换为热能不可逆过程中将产生压力损失。 在层流中，流体的动量交换是通过分子热运动而进行的。当流速很大时，流动变得不稳定，宏观的质点也将开始不规律地运动，由于流体质点之间混合，将进行动量交换，这种动量交换比分子运动而引起的动量交换大得多，为湍流。0)(21)(211222212221

23、uuuumuuuumuum 流体质点在做动量交换时，动量是守恒的，但只要是非完全碰撞，就会有u1+uu2，全部动能会减少，这个减少量为： 热量（能量）传递粘性系数 当流场有速度梯度时，将会产生动量的传递。速度梯度（变形率）与切应力间的关系，遵循牛顿内摩擦定律： (15)式中动力粘性系数的单位为泊（p）或厘泊（cp） dydu21110101MSNSPap2 ms 运动粘性系数为： 动力粘性系数随温度与压力而变化，但压力的影响甚微。液体的粘性系数随温度升高而减少，而气体的随温度的升高而增加。因为液体分子的自由程小，粘性系数决定于分子碰撞的时间，而温度升高，液体分子的碰撞时间减少。气体的分子自由程

24、大，粘性决定于分子碰撞的次数，温度升高，热运动加强，使气体分子碰撞的次数加多。（16） 式中为液体密度，运动粘性系数的单位为涻（st）或厘涻（cst）： stscm2scmst2112000022096. 003368. 011tt 水在一个大气压下，不同温度的粘性系数见表11，干空气在一个标准大气压下，不同温度的粘性系数见表12。对于水，在一个大气压下，不同温度的粘性系数 用亥姆霍兹关系式表示：（17）式中 为一个大气压下，0时的动力粘度系数，t为摄氏温度。o表11：水在一个大气压下不同温度时的粘性系数表12：干空气在一个大气压下不同温度时的粘性系数 表13：几种气体在一个大气压下 和萨瑟兰

25、常数o/Ts Ko 对于各种气体的粘性系数可以近似采用幂次公式表示： (18) 式中T0=273.16 K, 为一个大气压下，0时气体的动力粘度系数，n为温度指数，如空气n0.76，氢n0.69，二氧化碳n0.95，在估算时，高温可取n0.5，低温时n1.0。准确些还可用苏士南(Sutherland)公式计算： (19) 式中T0=273.16 K，TS为苏士南系数。表13列出了几种气体在一个大气压下的粘性系数及苏士南常数TS。00nTTSSTTTTTT0230002、导热系数K 流体的传输性质除了粘性以外还有传热和扩散，传热是流体运动中热量传递的度量，而扩散是标志流体的传递。 当流场具有温度

26、梯度时，将会产生热量的传递，温度梯度与热流量的关系遵循傅利叶(Fourier)定律： (110) 式中q为单位面积的热流矢量，T为温度，K为导热系数，单位通常用W/(mK)。对于各向同性的流体，K无方向性，仅随温度和压力而变化。导热系数也有类似于式（18）和式（19）的公式： 32000SSTTKTKTTT00nKTKTKT q(1-11)(1-12) 流体中的扩散有两种形式：一种是发生在同一种流体中，在某一指定的体积内，总会不断跑出一些分子，同时进来一些分子，该体积内质量一直是变化的，称为自扩散。另一种是发生在含有两种或两种以上流体的混和物之间的质量交换，最终可以成为宏观上均匀的混和物，这是

27、一种二元（或多元）的扩散。 在后种扩散中容积浓度的梯度（i表示第i组流体）与质量传输量Mi的关系遵循费克（Fick）定律： (113) iiDA M 3 3、质量扩散系数、质量扩散系数 式中 为在容积浓度减少的方向，在单位时间内第i组的质量在面积A上的质量传输量；D为质量扩散系数，SI单位为m2/s。 单位面积的质量传输量，可以写成容积浓度 (单位体积内某i组流体的质量)和速度的乘积： (114) 速度 称为扩散速度。另外 (混和介质的密度)为常数时，还可以用质量浓度 得出费克公式的另一种形式：()iiiiDA MViMiViiC (115) 严格地讲，存在压力梯度或温度梯度，也可以有质量的传

28、输，即： (116) 式中Dp和DT是由于压力梯度及温度梯度所引起的质量传输的扩散系数。通常后两者较第一项为小。(ln)iiDC V(ln)ln( )(ln)iipTDCDpDT V第四节第四节 应变率张量和应力张量应变率张量和应力张量 由柯西亥姆霍兹（流体微团的运动分解）定理可知：流体微团的运动可以分解为三部分：平移、旋转与变形（线变形和剪切变形）。 1 1、应变率张量、应变率张量 图16 流体微团运动的分解 柯西(Cauchy)亥姆霍兹（Helmholtz）分解 图16中M0为流体微团中的一点，M0的速度为V0。M点为此微团M0的邻域上任一点，M的速度为V，那么可以表示为： 式中 为应变率

29、张量， 为微团旋转角速度。第二项为流体微元象刚体一样旋转所造成相邻点的速度增量，第三项是由于流体微元的变形而造成相邻点的速度增量。0dd VVrr117 如果流场是连续的，速度的各阶导数存在，那么M点的速度可用Taylor级数展开，在直角坐标系x1，x2，x3中表示为（忽略了二次以上的高阶项）： 或： (118)112233dddduuuVeee0123123dddxxxxxxVVVVV0123123ddddxxxxxxVVVVVVdV V的三个分量为：du1，du2，du3，式中e1、e2和e2为x1，x2，x3方向的单位矢量。11111231123ddddduuuuxxxuxxxr， 22

30、221232123ddddduuuuxxxuxxxr33331233123ddddduuuuxxxuxxxr111123112222212333333123dddddduuuxxxuxuuuuxxxxuxuuuxxx 用矩阵表示： 简写成： (119) 式中 叫变形率矩阵。可以把变形率矩阵分解成一个对称矩阵和一个反对称矩阵： ddijuxVrijux311211213132122122323331213233112211221122ijuuuuuxxxxxuuuuuuxxxxxxuuuuuxxxxx 312121313122213233123132110221102211022uuuuxxxx

31、uuuuxxxxuuuuxxxx 式中右边第一项称为应变率张量(二阶张量) ，第二项为刚体自转率张量 ，而 。上式可以简写为：kijke12Viijijkkjuex （120）ij式中eijk是levycivita排列符号。 为角速度分量。k323121000ijkke ddd Vrr01 , ,1, ,ijkei j ki j k任两个下表相同 如果按123、231和312排列如果不按顺序排列 应变率张量 应变率张量 为二阶张量，共有9个分量，应变率可分为两类：一种是伸长率，另一种是切变率。伸长率为单位时间内单位长度的微元的伸长或压缩，当伸长时为正，压缩时为负；在直角坐标系中，,和 为x1,

32、x2和x3方向的伸长率：312112233123 uuuxxx112233 在x1方向的伸长率由图17（a）表示。图中 为dt时间间隔内，dx1长度在x1方向的伸长，那么伸长率可用（121）式表示。（1-21）111d dux tx112233e（1-22） 图 1.7 流体运动的种类 图17（b）中流体微元受到的切应力作用可产生剪切变形，那么微元在单位时间的角改变量（角变形）为： 定义流体微元的剪切变率为角的改变量，用 ， 和 表示，那么： (123)122112122uudtxx122331311331233223122112212121xuxuxuxuxuxu 那么应变率张量可以用矩阵表

33、示为：111213222123333132000 由上式可见张量是一个对称张量，有9个分量，其分量的大小不仅与时间和微团的位置有关，还与坐标系的选择有关的。但是应变率张量表示的是流场中一位置上的微团的应变率状态，此状态与坐标的选择无关的，故必定存在三个应变率张量的不变量与坐标系的选择无关。应变率张量的第1、2和3不变量分别用I1、I2和I3表示： 321,xxx3322111I2312232121133332222112IijI3（1-24）（1-25）（1-26）I1是微元的体积膨胀率。I2是与微元的耗散相联系的。根据对称张量的性质，存在一个使非对角线上的分量为零的坐标系，这个坐标系叫主轴坐

34、标系。三个主轴坐标系的主轴用 表示，那么在主轴坐标系中，切变率皆为零，应变率张量可以简化为：123000000（1-27） 2 应力张量 图18 P的应力状态 静止流体和理想流体中，某一点的应力（表面力）只用一个标量压力表示，流体内微元的表面力永远沿作用面的内法线方向，其大小与作用面无关。 粘性流体中，应力除了上述正应力以外还有粘性切应力，所以一个表面上的总应力一般不垂直于此表面，而且在不同方向上的应力也不相等。 考虑粘性流体中一点P的应力状态，在P点附近取一个微元（立方体），此微元共有6个表面，每个表面用外法线单位矢量表示，如图18所示。每一个表面的应力可以分解成三个应力分量。如ABCD平面

35、可以用其外法线单位矢量表示，此面上的总应力为 , 沿x1,x2, x3方向的三个应力分量分别为3e3 (前面脚标表示作用面的外法线方向，后一个脚标表示应力分量的方向)，那么 为：333231,331 132233 3eee3（1-28） P点附近一共存在六个表面力，可以用动量矩定律证明，当此微元趋近无穷小时，上述六个表面力，两两大小相等，方向相反。那么此微元趋近于无穷小时，可用 和 表示此微元的应力状态，也就是说用9个应力分量表示。这9个应力分量不仅与空间位置和时间有关，还与作用面的方向（即坐标轴的选择）有关，组成一个二阶张量1,2 3 所以二阶应力张量 是矢量的并积。应力张量是对称张量。11

36、121311 1 112 1 213 1 321222321 2 12222232331323331 3 1323233 3 3e ee ee ee ee ee ee ee ee e11 1 112 1 213 1 321 2 13333e ee ee ee ee e 过N点任何平面上的应力n 图19 作用在微元四面体上的面积力 设此平面的外法线方向的单位矢量为 ， 的三个分量为 。可以表示为： 上式用约定求和表示为： 即同一项中不同变量的相同下标j表示j1，2，3 三项相加。其中 。 如果在P点附近取一个四面体，根据静力学平衡条件马上可以得出上述表达式： jjnjjnjjnnnnnnnnnn

37、nnn333322311332332222112213312211111nn123,nnn1 1223 3nnnneeejjnne11cos( , )n e n（1-29） 即过N点任何平面上的应力等于此平面外法线的单位矢量与此点应力张量的点积。 同样也可以得出一个张量与矢量的点积，例如： jijie ejjjijijjjjiijjiinnnn ee eeeee123 nnnnn jijiiijiijnn ne e ee（1-30）（1-31）（1-32） 当张量为对称二阶张量时，上述两种点积的结果相同。非对称二阶张量则不然。根据上述点积概念同样可以定义张量的散度 。其中汉密尔顿符号可以表示为

38、： 123123jjxxxx eeeejijijjijijjiijjjxxxee eeeee （1-33）（1-34） 流体微元中单位质量的流体所受的表面力 图110 微元体上的应力张量 图110所示为流体微元在x1方向上所受的表面应力，那么此微元在x1方向所受全部表面力之和为dF1： 32122221231fxxxxx3111211123123123123dd d dd d dd d dFx xxx xxx xxxxx31111211123123d1d d dFfx xxxxx 由此可见流体微元中单位质量流体所受的表面力的合力为 即为二阶张量的散度。11223311fff efee1（1-35）第五节 广义牛顿定律 广义牛顿定律（广义牛顿粘性公式）表示的是粘性流体应力张量和应变率张量之间的关系。此定律是牛顿内摩擦定律的推广。 牛顿提出了关于粘性流体做直流层状运动时，两流体层间的切应力与层间速度梯度成正比，即：1212ddux21212（1-36a）（1-36b）图111 流体的直流层状运动 斯托克斯(Stokes)把牛顿内摩擦定律推广到粘性流体的流动中，他根