考点23数列求和及综合应用

1、圆学子梦想铸金字品牌温馨提示：此题库为 Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word文档返回原板块。考点23数列求和及综合应用一、填空题1.（2015 新课标全国卷n理科T16）设S是数列an的前n项和，且ai=-1,a n+i=SS+i,则S=.【解题指南】 由an+1=Sn+1-S n=S+1 Sn,j jF两边同时除以 S+1 Sn,得一-=-1,构造数列*,求S1.20111 1I 1 I【解析】由已知得an+1=Sn+1-Sn=S+1 S,两边同时除以Sn+1S,得得1 ,构造数列，求Sn.Sn 卅SnGJ1 11 【解析】由已知得an SnSSn

2、1 Sn,两边同时除以Sn 1 Sn，得1,故数列 .是Sn*SnlSn J11以-1为首项，-1为公差的等差数列，则 一 =-1 -（n -1） - -n，所以Sn =-.Snn答案:-r2. (2015 江苏高考 T11)数列an满足3=1,且 亦-a n=n+1(n N*),则数列 1 的前10项和为an【解题指南】 利用累加法求出数列an的通项公式，再利用裂项相消法计算 1 的前10项和.an【解析】an=(a n-a n-1 )+(a n-1 -a n-2 )+ +(a 2-a 1)+a 1=n+(n-1)+( n-2)+2+1= n(n 1)21所以一二an2n(n -1),所以a

3、a的前10项和击亦10（10 1）2(1丄1_丄.丄丄.丄22 3 3 410 答案：20113.（2015 福建高考理科T15） 一个二元码是由0和1组成的数字串X1X2xn(n N),中Xk（k=1,2，,n）称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发11 -an12(n 1)w an 1W(n N*)，即可得证.葩前圆学子梦想铸金字品牌生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码X1X2X7的码元满足如下校验方程组：= 0, 卜2也 Xg念沟=6 lxiX3XSX7 = 0.其中运算定义为 ：0 0=0,0 1=1,1 0=1,1 仁0.现已知一个这

4、种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.【解题指南】根据题中所给信息解题.彳101 =1【解析】 根据题意，列出检验方程组，艸001 = 01011 = 1显然第一个式子和第三个式子错误，第二个式子没有影响，所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元，只有X5,验证一下把X5换成0,上式检验方程组都成立，所以X5出错了，即k=5.答案：5二、解答题4.(2015 浙江高考理科T20)已知数列an满足且an+1=an-話(n N).2*(1) 证明:1 2(n N*).+1715口1 设数列U；的前n项和为S

5、,证明(n N).2n+2 n 2(n+l)【解题指南】(1 )首先根据递推公式可得 an 1,2 1 ,从而得证；(2 )由 汕和1 w w 2得，K - 2，从而得an + ananan +an1an，再由递推公式变形可知 旦 亚巧2an 十 an an2 1【证明】(由题意得，an1-an-an w 0，即an 1 an ,a.w ，由an =(1-and)a2 得2或熬圆学子梦想铸金字品牌1an = (1 an)(1 an/)(1 耳)1 * 30，由 0 an =得,anan -1l1,2.l1 _ ai(2)由题意得,2an = anan 1，所以由丄1an 1an丑和1Wan 1

6、丑w 2得,an 11w1 w 2 ,an 1an所以nW an 1 2n an所以2( n +1)(n N*)，n 2由得1 W ! W2(n+2) n2(n 1)5. (2015 广东高考理科.：2),证明：数列bn的前 n 项和 Sn满足 Sn1),所以f(x)在(1,+ a)上是增函数又 f(1)=0 即 f(x)0,又 k 2 且 k N 时,1k -1Ik1丿k -1k 一1-1 -0即 nkk -12 11 3山3,.丄in2 nnn -12即有1 1 ：n - l n3 . n n inn.23 n 12n 121111： 2 2in2I23nJ剪圆学子梦想铸金字品牌6. (2

7、015广东高考文科T19)设数列an的前 n项和为 S,n N.已知ai=1,a2= ,a3=,且当n 224时,4S n+2+5Sn=8Sn+l + Sn-1 .(1)求a4的值证明二：为等比数列（3）求数列a n的通项公式【解题指南】（1 ）令n = 2可得a4的值；（2）先将4Sn .2 5Sn =8Sni Sn（n 一2）转化为4a1 2 - an =4an 1，再利用等比数列的定义可证an1an是等比数列;2（3）先由（2）可得数列1 -丄务的通项公式，再将数列2的通项公式转化为数列吟是等差数列，进而可得数列曲的通项公式.【解析】(1)当 n =2 时，4S4 5S2 =8S3 V，

8、即 4 1 ? 5 a4 j5 1 3 =8 V 3 51 ,解124 丿I 2丿12 4丿得：a4 =78(=1为首项，公比为一的等比数列，所以 )因为 4Sn.2，5Sn =8SnSn(n 一2),所以 4& 仝 -4Sn -4Sn .1 - 4Sn ( n 2 ),5即 4an 七 +a“ = 4a1 ( n 兰 2 ),因为 4a3 +a0,由已知,有2q2 -3d =2,4q -3d “0,消去 d 得 q4-2q2-8=0,解得 q=2,d=2,所以艰舶勺通项公式为 an=2n-1 ,n N*,：毎的通项公式为bn=2n-1,n N*.由Cn = 2n 一1 2,设Cn 的前n项和

9、为S ,则5=1 20 3 21 5 22 2n-1 2nJ,123n2Sn =1 23 25 2 亠 亠2n -12 ,两式相减得_Sn =1 2 2 232n _ 2n_1 2n = P2n_3 2n _3,所以 Sn = 2n - 3 23.n n*.13. （2015 新课标全国卷I理科T17）（12分）Sn为数列an的前n项和.已知an0, :+2an=4S+3.（1）求a n的通项公式.I 设bn=,求数列b n的前n项和.S 3| . 0,可得 an+1 -a n=2,又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1（舍去）,a 1=3.席圆学子梦想铸金字品牌所以an是首项为3,公差为

10、2的等差数列，通项公式为an=2n+1.1 1 111由an=2 n+1可知bn()anan+(2n +1)(2n+3)2 2n+1 2n+3设数列b n的前n项和为Tn,则1 1 1 1 1Tn 内 b2r 石(3-5)(5 万)(12n 112n 3)2n3(2n 3)14. (2015 四川高考理科T16)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和S满足S=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列(1)求数列a n的通项公式1、 1 设数列，的前n项和为Tn,求使得|Tn-1| 2 时,有 an=S-Sn-1 =2an-a 仁(2a n-1 -a 1)则 an=2an-1 (n 2)

11、,an=2(n 2),an _1则Qn堤以a1为首项,2为公比的等比数列又由题意得 2a2+2=a1+a3? 2 2a1+2=a1+4a1? a1=2,则 an=2n(n N)11*由题意得-(n N),an2n由等比数列求和公式得=1-( )n,剪圆学子梦想铸金字品牌1 n1n1-1| =卜()| =(22n=10 时,210=1024,n=9时,2 9=512,1所以|T n-1|1时，记Gn ,求数列c n的前n项和Tn.bn【解题指南】（1）由题意可列出方程组穿严叫求解首项、公差、公比,再代入通项公式即可求得.（2）由（1）结合d1,可得an=2n-1,b n=2n-1 ,于是Cn =

12、劣,易发现:c n的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.【解析】（I）由题意有,10a1 45d =100,a1d =2,2a1 9d =20,a =2,2d%.故an害bn =2.1 (2n79),9(U)由d 1，知 a. =2n -1 ,bn =2n，故2n 1nd,于是2 22 23 24Tn=1 +3 +2 +=_卡+2n j3*12TnJ 3 5 7 9 笃1-可得故 Tn =6E+2+”+具杏=3卄n -2n2 22n2n 316. （2015 湖北高考文科T19）设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为

13、q.已知 b=a1,b 2=2,q=d,S 10=100.求数列n,b n的通项公式当d1时,记Cn二an ,求数列c n的前n项和Tn. bn【解题指南】（1）由题意可列出方程组10a145d =100,求解首项、公差、公比，再代入通ad 二 2,项公式即可求得.（2）由（1）结合d1,可得an=2 n-1,b n=2n-1,于是Cn =韦，易发现:Cn的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的2,直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.【解析】（I）由题意有,10a1 45d =100,312,即 231 9d 二20,a =2,fa -1冋=9,解得a1或 2Id =2,d .LL

14、 91an (2n79),或 9|bn =9 (?)nJ9(U)由 d 1，知 a. =2n -1 ,bn =2nl，故2n 1Cn =，于是-13 ： 23 ； 21，-可得1Tn =2 +1 +丄+丄一叱=3-叱22 222门2 2门2门故 Tn =62n 317. （2015 重庆高考文科T 16）已知等差数列春满足盯2,前3项和2专.（1）求玄?的通项公式;（2）设等比数列 % !满足b,二印匕=a15,，求fbn1的前n项和人.【解题指南】（1）直接利用基本量法求解数列的通项公式即可，（2）根据 云的通项公式可求出等比数列廟的公比，进而利用公式求解的前n项和Tn.【解析】（1）设；n

15、汕勺公差为d，则由已知条件得3乂2931a12d= 2,3a13 2d= 9,化简得a12 2, a13,解得a1 = 1,d= -，2 222故內？的通项公式务=1 nJ2 2(2)15+1由(1)得 b -1, b4 = 3i58.设 *.bn f 的公比为 q ,则q3=直=8,从而q =2,故 g 的前n项和(17)=1 (仁2)= 2n-1.E1-q1-2 18.(2015 福建高考文科T17)(本小题满分12分)等差数列an中,a 2=4,a 4+a?=15.(1)求数列a n的通项公式. 设 bn= -+n,求 b+b2+b3+be 的值.【解题指南】(1)用等差数列通项公式计算

16、.(2)分组求和【解析】fat d = 4设等差数列an的公差为d.由已知得a, 3dd =15a = 3解得 1 所以 an=a1+(n-1)d=n+2.d =1(2)由(1)可得 bn=2n+n.所以 b1 +b2+b3+ +b102310=(21)(22)(23)L (210)2310-(22223L210)(12 3L 10)102(1 2 ) (1 10) 10= r 1-2 2P211 -2) 5511=253 =2101n*19. (2015湖北高考理科T22)已知数列an的各项均为正数,b n=n(1+ ) an(n N),en为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-e

17、 x的单调区间,并比较(1+ )n与e的大小.n计算b1 , b1b2 , b1b2b3，由此推测计算盹也的公式,并给出证明.a2ai 82833182 an1(3)令Cn =(a1a/ an)n ,数列a n,c n的前n项和分别记为 S,Tn,证明:Tn0,即 x0 时,f(x)(x)0 时,f(x)的单调递增区间为(-当 x0 时,f(x)vf(0)=0,1b1 =1a1(1 1)11 2i n-(H)2a2 恥7(1_)na21、nnn(-%，+ X ),f (x)=1-e单调递增;单调递减.%,0),单调递减区间为x即 1+xe、.即(1 1)nn:e.(0,+ %).b1b2 =b

18、1b2=2 2(1=(2 1)32;aa2aa?2bib，b3 ai a2 a3bid daia22=3 a3,1 3,333(1 3) -(3 1) -4 .由此推测:bbbnn1n- =(n 1).a1a2 anF面用数学归纳法证明.(i )当n=1时，左边二右边=2,成立.(ii )假设当n=k时，成立，即b1b2bk =你.1)k.a1a2 akJ当n=k+1时,b k+1=(k+1)(1+)*8+1,由归纳假设可得折圆学子梦想 铸金字品牌k .1见 bkbk bn 一1n(n 1)n(n 1)6 bk1 屮 1)k(k 1)(1 . 1 jk1 =(k 2)k1a1a akak 1

19、a1a2 ak ak 1 所以当n=k+1时,也成立.根据（i ）（ ii ）,可知对一切正整数n都成立.,b n的定义及得1 1杞2玄3）3（印玄2 an）n（3）由Cn的定义，,算术-几何平均不等式1 1Tn =C +Q +C3 卡+Cn =（a，+心卫2尸1 1 1(bj1gb2)2(bbbJ3(b1b2bn)=+十+234n 1J .b1 b2b1 b2 b3 . . b1 b2bn1 22 33 4n(n 1)=bi 11-122 3:-一1IM-11n(n 1)2 33 41 1旳（1一冷叫：bl亠，bn. =(1 1)1a1(112n1eai+ea2+ean=eS.即 TneSn.20. （2015 重庆高考理科T 22）在数列gj中,3i二 0( n N ).（1）若丸=0,4=-2,求数列%的通项公式;(2)若一丄(k N .,k。_2)-1,证明：2ak01ko3k0 1：2詁【解题指南】（1）由题意结合递推关系可以直接证明数列laj为等比数列,从而可求出数列a?的通项公式（2）利用题意及放缩法证明【解析】(1)由 - 0,- -2,有 a. & = 2an2(n N ).an0j =0,，重复上述过程可得若存在某个n N .，使得a% =0,，则由上述递推公式易知a0,，此与印=3矛盾，所以对任意n，N