人教版九年级上册数学全册导学案（2021年8月修订）

1、第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.自主学习一、知识链接1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？2.下面式子哪些是方程？2+6=8； 2x+3； 5x+6=22；x+3y=8； x-50 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根；(3)当p0时，则，方程的两个根为，；

2、当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根x1=x2=n；当p0.要注意式子b24ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式我们把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即= b24ac.判别式的情况根的情况练一练 按要求完成下列表格.的值根的情况典例精析例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2 不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 3x2+4x3=0； (2) 4x2=12x9

3、； (3) 7y=5(y2+1). 方法总结：现将方程变形为一般形式ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可.例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A. q4 B.q4 C.q16【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A. k1 B. k1且k0 C. k1 D.k1且k0方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx22x1=0有实数根，则k的取值范围是( )

4、A. k1 B.k1且k0 C.k1 D.k1且k0探究点3：用公式法解方程由上可知，当0时，方程ax2+bx+c=0 (a0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.典例精析例4 (教材p11例2)用公式法解下列方程：(1) x24x7=0； (2) 2x2+1=0； (2) 5x23x=x+1； (4) x2+17=8x.要点归纳：公式法解方程的步骤：1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b24ac的值；4.判断：若b24ac0，则利用求根公式求出；若b24ac0，

5、即824q0.解得q16，故选C.【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b24ac0，即(2)2+4k0.又二次项系数不为0，可得k1且k0，故选B.【变式题】A 思路分析：分k=0或k0两种情况进行分类讨论.探究点3：用公式法解方程例4 解：(1)a=1，b=4，c=7，b24ac=(4)241(7)=440.方程有两个不相等的实数根即.(2)a=2，b=，c=1，b24ac=()2412=0.方程有两个相等的实数根，即.(3)方程化为5x24x1=0，a=5，b=4，c=1，b24ac=(4)245(1)=360.方程有两个不相等的实数根即.(4)方程化为x28x+17=0，a=

6、1，b=8，c=17，b24ac=(8)24117=40.方程无实数根.当堂检测1.解：(1)a=2，b=3，c=4，b24ac=3242(4)=410.方程有两个不相等的实数根.(2)a=1，b=1，c=，b24ac=(1)241=0.方程有两个相等的实数根.(3)a=1，b=1，c=1，b24ac=(1)2411=30.方程无实数根.2.解：这里a=1，b=7，c=18，b24ac=7241(18)=1210.3. 解：去括号，得x23x2 + 6x = 6，化为一般式为3x27x + 8 = 0，这里a=3，b=7，c=8，b24ac=(7)2438 =4996=470.原方程无实数根.

7、4.这里a=2，b=，c=3，b24ac=()2423=30.5.(1)m1 (2)解：化为一般式(m1)x22mx+m2=04m24(m1)(m2)0，且m10，解得且m1.6.解：，方程有两个实数根.能力提升解：关于x的方程x2+(b+2)x+6b=0有两个相等的实数根，所以=b24ac=(b2)24(6b)=b2+8b20=0.所以b=10（舍去）或b=2.所以ABC 的三边长为2，5，5（2，2，5不符合三边关系，舍去），其周长为2+5+5=12.第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法 学习目标：1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一

8、些特殊的一元二次方程.3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.重点：运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.难点：根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.自主学习一、知识链接1.用公式法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.用学过的方法解一元二次方程(x3)(x5)=0.课堂探究二、要点探究探究点1：因式分解法解一元二次方程问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?思考1 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程10x4.9x

9、2=0？思考2 解方程10x4.9x2时，二次方程是如何降为一次的？要点归纳：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.试一试 下列各方程的根分别是多少？(1)x(x2)=0； (2) (y+2)(y3)=0； (3) (3x+6)(2x4)=0； (4) x2=x.典例精析例1 (教材P14例3)解下列方程：(1)； (2) 练一练 解下列方程：(1) (x+1)2=5x+5； (2)x2-6x+9=(5-2x)2拓展提升：十字相乘法=_.解：分解因式得_=0,_=0，或_=0.x1=_,x2=_.试一试 解方程x2+6x-7=0.x2 + 6x -7

10、xx7-1-x+7x=6x练一练 解下列方程：(1)x2-5x+6=0； (2)x2+4x-5=0；(3)(x+3)(x-1)=5； (4)2x2-7x+3=0.探究点2：灵活选用方法解方程例2 用适当的方法解方程：(1) 3x(x+5)=5(x+5)； (2) (5x+1)2=1；(3) x212x=4； (4) 3x2 = 4x + 1.要点归纳：解法选择基本思路:1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否

11、容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.三、课堂小结因式分解法内容概念当右边=0时，将方程左边因式分解.原理如果a b=0，那么a=0或b=0.步骤简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解当堂检测1.填空. x23x+1=0； 3x21=0； 3t2+t=0； x24x=2； 2x2x=0； 5(m+2)2=8； 3y2y1=0； 2x2+4x1=0； (x2)2=2(x2).适合运用直接开平方法 ；适合运用因式分解法 ；适合运用公式法 ；适合运用配方法 . 2.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；再选择适

12、当的方法求解，得方程的两根为x1= ， x2= . 3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程(x5)(x+2)=18. 解：原方程化为： (x5)(x+2)=36. 由x5=3，得x=8；由x+2=6，得x=4； 所以原方程的解为x1=8或x2=4.4.解方程. (1) ； (2) ； (3)2x2-5x+1=0； (4)x2+4x-2=2x+3； (5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=05.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径.挑战自我(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，

13、则这个三角形的周长是_;(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为_;(3)已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是_.参考答案自主学习1、 知识链接1.变形：化已知方程为一般形式；确定系数：用a，b，c写出各项系数；计算：b24ac的值；判断：若b24ac0，则利用求根公式求出；若b24ac 0,.当堂检测1. 2.x2+x2=0 -2 13.解: 原方程化为： x23x28= 0， (x7)(x+4)=0， x1=7，x2=4.4.解：（1）化为一般式为x22x+1 = 0.因式

14、分解，得( x1 ) 2 = 0.有 x 1 = 0，x1=x2=1.（2）因式分解，得( 2x+11 )( 2x11 ) = 0.有 2x +11= 0或2x11= 0，（3）a=2，b=-5，c=1，=(-5)2-421=17（4）整理，得x2+2x=5，x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，（5）解法一：方程整理得9m2-9m=0.分解因式，得9m(m-1)=0.解得m1=0，m2=1解法二：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.3m+2-2=0，或3m+2-5=0，解得m1=0，m2=15. 解：设小圆形场地的半径为r，根据题意 ( r + 5 )2=2r2.因式分解

15、，得于是得（舍去）.答：小圆新场地的半径为挑战自我 （1）11或12 （2）13 （3）12第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.自主学习一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b24ac来判断一元二次方程根的情况？课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系算一算 解下列方程并完成填空：(1)x2+3x4=0；

16、(2)x25x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想 方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？一元二次方程两根关系x1x2x2+3x4=0x25x+6=02x2+3x+1=0猜一猜1. 若一元二次方程的两根为x1，x2，则有xx1=0，且xx2=0，那么方程(xx1)(xx2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？2.通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？要点归纳：一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)如果ax2+bx+c=

17、0(a0)的两个根为x1、 x2，那么，.(前提条件是b24ac0)探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用典例精析例1 (教材P16例4)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1) x26x15 = 0； (2) 3x2+7x9 = 0； (3) 5x1 = 4x2.方法总结：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.例2 已知方程5x2+kx6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 变式题 已知方程3x218x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x1=0的两根的平方和、倒数和.练

18、一练 设x1，x2为方程x24x+1=0的两个根，则：(1) ， (2) ，(3) ， (4) .方法总结：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.例4 设x1，x2是方程 x22(k1)x + k2 =0的两个实数根，且4，求k的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足0.三、课堂小结根与系数的关系的内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、 x2，那么，.根与系数的关系的应用当堂检测1已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为2和1，则p = ， q = .2.如果1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = .3.已知方程 3x219x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.4.已知x1，x2是方程2x2+2