化工过程系统建模课件

1、2021-8-8 1 第第1111章章 化工过程系统建模化工过程系统建模 2021-8-8 2 工业过程的基本定律与建模方法工业过程的基本定律与建模方法 11.1 连续性方程连续性方程 11.2 能量方程能量方程 11.3 传递方程传递方程 11.4 化学反应动力学化学反应动力学 11.5 过程微观动力学研究过程微观动力学研究 11.6 过程宏观动力学的研究过程宏观动力学的研究 11.7 流体力学过程的动态方程流体力学过程的动态方程 11.8 过程数学模型的确定过程数学模型的确定 2021-8-8 3 11.1 连续性方程连续性方程 总的连续性方程总的连续性方程 对于一个动态系统的质量守恒定律

2、（质量平衡）可对于一个动态系统的质量守恒定律（质量平衡）可 以表示如下：以表示如下： 在系统工程中，在系统工程中，质量的变化率质量的变化率=进入该系统的进入该系统的质量质量 流量流量-离开该系统的离开该系统的质量流量。质量流量。 上面的关系式是单位时间质量。上面的关系式是单位时间质量。对于一个系统只有一个对于一个系统只有一个 总的连续方程总的连续方程。上式左侧的变化率以数学形式表达时，可以。上式左侧的变化率以数学形式表达时，可以 用导数用导数 或偏导数或偏导数 来表示。来表示。dtd /t / 2021-8-8 4 例例11-1 下图下图11-1所示是一个均匀混合的储槽的流量所示是一个均匀混合

3、的储槽的流量 为为 其密度为其密度为 ，储槽滞料量为，储槽滞料量为 ，它的，它的 密度因均匀混合与流出的密度相同，该系统的物料密度因均匀混合与流出的密度相同，该系统的物料 平衡方程。平衡方程。 sec)/( 3 mFi )/( 3 mkg i )( 3 mV 00 )( FF dt Vd ii （11-1） 图图11-1 均匀混合储槽均匀混合储槽 )(),(ttF ii )(),( 00 ttF )( 0 t )(tV i F 2021-8-8 5 例例11-2 当流体流经一个直径不变的圆管时，如图当流体流经一个直径不变的圆管时，如图11-2所所 示。示。 当流体处于当流体处于湍流流动状态湍流

4、流动状态时，取管道长时，取管道长 一个单元，并假一个单元，并假 设无径向速度及密度梯度，而只有轴向梯度存在。因此，当流设无径向速度及密度梯度，而只有轴向梯度存在。因此，当流 体沿着轴向即体沿着轴向即Z方向流动时，方向流动时，速度速度与与密度密度将有变化，因此出现了将有变化，因此出现了 时间时间t及距离及距离Z两个变量，所以分别两个变量，所以分别 以及以及 表示。表示。),( zt ),( ztV dz 图图11-2 流体流经一圆管流体流经一圆管 dz ),( ztV ),( zt 0ZLZ dzz z 2021-8-8 6 通过通过Z+ dz 截面离开系统的质量流量截面离开系统的质量流量= +

5、 现取管截面为现取管截面为A，管段长为，管段长为 ，建立，建立质量平衡方程质量平衡方程：dz 系统内质量的变化率系统内质量的变化率= )(dzA t 通过通过Z截面进入系统的质量流量截面进入系统的质量流量= VA dzVA z )( VA 由此可得：由此可得： )()(dzVA z VAVAdzA t （11-2） 2021-8-8 7 组份的连续性方程组份的连续性方程 在化学反应过程中与单纯物料进出时不同，不同组份的质量在化学反应过程中与单纯物料进出时不同，不同组份的质量 并不是守恒的，在一个系统中发生了化学反应，如果对生成物来并不是守恒的，在一个系统中发生了化学反应，如果对生成物来 说，则

6、它的摩尔数将增加；而对于反应物来说，则反而减少。说，则它的摩尔数将增加；而对于反应物来说，则反而减少。 系统中第系统中第j个组份摩尔数的变化率个组份摩尔数的变化率=（进入该系统的第进入该系统的第j个组份的个组份的 摩尔数流量）摩尔数流量）-（离开该系统的第（离开该系统的第j个组份的摩尔数流量）个组份的摩尔数流量）+ （由于化学反应第（由于化学反应第j个组份的摩尔数生成速率）个组份的摩尔数生成速率） （11-3） 液体在流动过程中，具有液体在流动过程中，具有体积流动体积流动和和分子扩散的对流分子扩散的对流作用。作用。 对于一个系统只有对于一个系统只有n个独立的连续方程式（对于具有个独立的连续方程

7、式（对于具有n个组份而个组份而 言），通常选用总的质量平衡和（言），通常选用总的质量平衡和（ n-1）个组份的连续方）个组份的连续方 程式用于求解。程式用于求解。 2021-8-8 8 例例11-3 如图如图11-3所示，在连续搅拌的储槽内进行化学反所示，在连续搅拌的储槽内进行化学反 应，通常称为连续搅拌槽式反应器。组份应，通常称为连续搅拌槽式反应器。组份A以以不可逆的特不可逆的特 定速率定速率k形成一个产品组份形成一个产品组份B。 图图11-3 连续搅拌反应槽连续搅拌反应槽 BA k BA CCF, 00 , BA CC 00, F ,V BA，C C 2021-8-8 9 解：解：设进入反

8、应槽组份设进入反应槽组份A的浓度为的浓度为CA0， ，以及反应器内和出口的浓 以及反应器内和出口的浓 度为度为CA。若是简单的一级反应，在单位体积内组份。若是简单的一级反应，在单位体积内组份A的消耗的消耗 率将与槽内率将与槽内A的瞬间浓度成正比，列出有关项，并代入（的瞬间浓度成正比，列出有关项，并代入（11-3） 式。式。 流入系统的流入系统的A=F0CA0；(F0为进料量为进料量，V为反应体积为反应体积) 流出系统的流出系统的A=FCA； 由化学反应使由化学反应使A的生成率的生成率= -VkCA 在反应器内在反应器内A的变化率的变化率=d(VCA)/dt 合并后得：合并后得： AAAA Vk

9、CFCCFVC dt d 0 0 )( （11-4） 2021-8-8 10 上式为常微分方程，这是因为对于集中参数表示的系统，上式为常微分方程，这是因为对于集中参数表示的系统， t是仅有的独立变量。是仅有的独立变量。 上式的左侧为动态项，右侧一、二项是对流项，右侧的第三上式的左侧为动态项，右侧一、二项是对流项，右侧的第三 项为化学反应生成项。项为化学反应生成项。对对A与与B两组份形成的双元系数，两组份形成的双元系数，同样可以同样可以 列出对列出对B组份的连续方程。组份的连续方程。 ABBB VkCFCCFVC dt d 0 0 )(（11-5） 或者可以采用另一个总的连续方程来描述，因为，或

10、者可以采用另一个总的连续方程来描述，因为， 、 及及 有单值关系。有单值关系。 A C B C BBAA CMCM （11-6） A M B M 式中：式中： -组份组份A的分子量；的分子量； -组份组份B的分子量。的分子量。 2021-8-8 11 例例11-4 如图如图11-3所示，假设这一化学反应是连续进行的连串反应所示，假设这一化学反应是连续进行的连串反应, 设由设由A生成生成B的速率为的速率为 ，由，由B生成生成C的速率为的速率为 ，即，即 1 k 2 k CBA K K 21 对于组份对于组份A，B，C的连续方程按一级反应可表示如下：的连续方程按一级反应可表示如下： AAAA CV

11、kFCCFVC dt d 10 0 )( BABBB CVkCVkFCCFVC dt d 210 0 )( BCCC CVkFCCFVC dt d 20 0 )( （11-7） 2021-8-8 12 同样各组份与同样各组份与密度密度的关系为：的关系为： j C Aj jC M （11-8） 于是，我们可以用（于是，我们可以用（11-7）式中的三组方程式，或者取（）式中的三组方程式，或者取（11-7） 式中的式中的两组份平衡式两组份平衡式和和一个总的质量平衡式一个总的质量平衡式来表示。来表示。 2021-8-8 13 假设其反应为假设其反应为 的的 一级反应，在一级反应，在 一段内物料由一段内

12、物料由A转转 化为化为B，所以，所以 将下降，密度将下降，密度 、速度、速度 及浓度将随时间及浓度将随时间 及轴向位置及轴向位置 而变。而变。 在此，在此，仍假设在径向上无速度和密度梯度。仍假设在径向上无速度和密度梯度。 BA k dz A C V tz dz )( 0 tC A )(tC L A 0Z zdzz LZ 图图11-4 管道反应器管道反应器 ),( ztCA),( zt ),( ztV 例例11-5 如果流体通过一个管道反应器，如图如果流体通过一个管道反应器，如图11-4所示。所示。 2021-8-8 14 并设反应器入口处（并设反应器入口处（ =0时）时）A的浓度为的浓度为 ，

13、在，在 处反应器流出物中处反应器流出物中A的浓度为的浓度为 ，以，以 段作段作 组份组份A的连续方程式，的连续方程式，流入项流入项可以分为可以分为体积流量体积流量与与扩散扩散两项。两项。 由于轴向有由于轴向有浓度差浓度差，因此就会产生扩散。虽然在一般情况下对，因此就会产生扩散。虽然在一般情况下对 实际系统影响很小，但是把它列写出来可以观察扩散对模型的实际系统影响很小，但是把它列写出来可以观察扩散对模型的 影响。对于影响。对于A的扩散流通是可以用的扩散流通是可以用 表示：表示： z)()0 ,( 0 tCtC AA LZ )(),(tCLtC L AA dz A N z C DN A AA 式中

14、：式中： 为为A的扩散流通（的扩散流通（ ） 为扩散系数（为扩散系数（ ） 为为A的浓度（的浓度（ ） A N sec/ 2 mmol A Dsec/ 2 m A C 3 /mmol （11-9） 2021-8-8 15 以以 微元作物料平衡：微元作物料平衡：dz 在在 处进入系统处进入系统A的摩尔流量的摩尔流量=体积流量体积流量+扩散项扩散项=z AAA ANCV dzz dzANCV z ANCV AAAAAA )()( 在在 处离开系统的摩尔流量处离开系统的摩尔流量= dzAkCA在系统内在系统内A的生成率的生成率= )( A AdzC t 在系统内在系统内A随时间的变化随时间的变化=

15、dzAkCdzANCV z ANCVANCV t C Adz AAAAAAAAAA A )()( 由以上得总的方程为：由以上得总的方程为： (11-10) 整理后为：整理后为： )()( z C D z KCVC zt C A AAA A 2021-8-8 16 11.2 能量方程能量方程 根据能量守恒定律得：根据能量守恒定律得： 在系统内位能、在系统内位能、 动能和内能的动能和内能的 变化率变化率 因因对流对流或或扩散扩散 进入系统的位能、进入系统的位能、 动能和内能动能和内能 因因对流对流或或扩散扩散 离开系统的位能、离开系统的位能、 动能和内能动能和内能 因因传导传导、辐射辐射及及 反应

16、反应加给系统的热加给系统的热 系统对环境系统对环境 所作的功所作的功 （11-11） 2021-8-8 17 例例11-6 设连续搅拌槽式反应器中，加冷却盘管以移走反应热设连续搅拌槽式反应器中，加冷却盘管以移走反应热 （kcal/mol), 放热时为负值，如图放热时为负值，如图11-5所示。所示。 0000 ,TCF A TCF A , Q TCF A , 图图11-5 移走热量的连续搅拌反应槽移走热量的连续搅拌反应槽 由于反应所放出的热量与参与反应的由于反应所放出的热量与参与反应的A的的mol数成正比，即数成正比，即 QG= -VCAK（Kcal/h) ，设被盘管移走的热量为，设被盘管移走的

17、热量为-Q， 2021-8-8 18 设被盘管移走的热量为设被盘管移走的热量为-Q，进入系统有物料温度为，进入系统有物料温度为T0，反应，反应 器温度为器温度为T，根据（，根据（11-11）式可得：）式可得： 式中：式中：U内能（内能（kcal/kg); K动能动能(kcal/kg) 位能位能(kcal/kg); W系统对外作的功系统对外作的功(kg.m/h) P系统内的压力系统内的压力(kg/m2); P0进料压力进料压力(kg/m2); J换算系数；换算系数；密度。密度。 （11-12） J PFFPWQQ KUFKUFVKU dt d G 1 )()( )()()( 00 00000 2

18、021-8-8 19 11.3 传递方程传递方程 有关传递方程均以通量的形式（单位面积的传递率）来表有关传递方程均以通量的形式（单位面积的传递率）来表 示，且与示，且与推动力推动力（温度、浓度或速度梯度）成比例，（温度、浓度或速度梯度）成比例，比例常数比例常数 是系统的一个物理特性（如热导率、扩散系数或粘度）。是系统的一个物理特性（如热导率、扩散系数或粘度）。 动量传递方程式动量传递方程式 动量传递方程式主要描述运动的规律。这里仅研究由于外动量传递方程式主要描述运动的规律。这里仅研究由于外 部原因（部原因（重力、压力差、摩擦力等作用重力、压力差、摩擦力等作用）而引起的流体流动。）而引起的流体流

19、动。 （牛顿定律）（牛顿定律） y u （11-13） 2021-8-8 20 上式中上式中 -单位面积上一层流体对其相邻的一层作相对运单位面积上一层流体对其相邻的一层作相对运 动时，分子间相互作用所产生的内摩擦力，也可以看成单位动时，分子间相互作用所产生的内摩擦力，也可以看成单位 时间、单位面积内由速度高的一层流体传递给速度低的一层时间、单位面积内由速度高的一层流体传递给速度低的一层 流体的动量。流体的动量。 -y方向上的方向上的速度梯度速度梯度； - 粘性系数粘性系数(简称粘度简称粘度)。 dy du 2021-8-8 21 热量传递方程式热量传递方程式 热量传递的基本定律热量传递的基本定

20、律-付立叶定律付立叶定律 dx dT kq （11-14） 上式中：上式中： -瞬时的热流量；瞬时的热流量； -温度梯度温度梯度； -导热系数。导热系数。 当温度沿着单位法线长度下降当温度沿着单位法线长度下降1度时，单位时间内传过单位度时，单位时间内传过单位 面积的热量。面积的热量。 q dx dT k 2021-8-8 22 质量传递方程式质量传递方程式 质量传递的基本定律质量传递的基本定律-Fick-Fick定律定律 （11-15） dx dC DN A ABA 上式中：上式中： - 组分组分A的瞬时传递量；的瞬时传递量； - 浓度梯度浓度梯度，作为质量传递过程中的，作为质量传递过程中的推

21、动力推动力； -分子的扩散系数。分子的扩散系数。 A N dx dC A AB D 2021-8-8 23 11.4 化学反应动力学化学反应动力学 化学反应动力学是研究化学反应速度及影响反应速度的条件化学反应动力学是研究化学反应速度及影响反应速度的条件 的科学，影响化学反应速度的主要条件是：的科学，影响化学反应速度的主要条件是：温度、浓度、催温度、浓度、催 化剂等。化剂等。 作为提供反应器设计参数，通常保持催化剂不变，考察温度作为提供反应器设计参数，通常保持催化剂不变，考察温度 和浓度对反应速度的影响，求取该反应的和浓度对反应速度的影响，求取该反应的宏观动力学方程式宏观动力学方程式。 浓度的影

22、响浓度的影响-质量作用定律质量作用定律 在恒温下，反应的速度服从质量作用定律，即在恒温下，反应的速度服从质量作用定律，即 A+B K D+EA+B K D+E 反应速度：反应速度： （11-16） BAC KC dt dE dt dD dt dB dt dA 2021-8-8 24 上式上式K为速度常数，它与反应物浓度无关为速度常数，它与反应物浓度无关, 是是温度温度、反应反应 物性质物性质、溶剂溶剂等的函数。等的函数。 eEdDbBaA K K 2 1 可逆反应：可逆反应： e E d D b B a A A CCKCCK dt dC 21 注：注：a, b, c, d 为反应级数，一般都是

23、通过实验求得。为反应级数，一般都是通过实验求得。 （11-17） 平行反应：平行反应： BA D E 2 K 1 K 2021-8-8 25 BABA A CCKCCK dt dC 21 （11-18） DBA KK 21 串行反应：串行反应： B D BA B A A CK dt dC CKCK dt dC CK dt dC 2 21 1 （11-19） 2021-8-8 26 然而，工业上进行的化学反应大部份是机制不够明确的然而，工业上进行的化学反应大部份是机制不够明确的 复杂反应，只能通过试验求得复杂反应，只能通过试验求得反应速度和浓度的关系反应速度和浓度的关系，如：，如： eEdDbB

24、aA )(),(CKfCCCCKf dt dC EDBA A （11-20） 2021-8-8 27 温度的影响温度的影响-Arrhenius-Arrhenius方程式方程式 RTE eK / （11-21） 式中：式中：K-为某一反应速率；为某一反应速率； -比例系数；比例系数； E-活化能；活化能； T-绝对温度；绝对温度； R-理想气体常数。理想气体常数。 注：注：这一指数温度关系在化工系统中为这一指数温度关系在化工系统中为最严重的非线性最严重的非线性关系之一关系之一 2021-8-8 28 11.5 过程微观动力学研究过程微观动力学研究 在化学反应过程中，相互作用是在反应物的在化学反应

25、过程中，相互作用是在反应物的分子水平分子水平 上上实现的，可认为这个过程是在微观水平上进行的，所以，实现的，可认为这个过程是在微观水平上进行的，所以， 对过程的研究属于过程微观动力学的研究。也就是在实验对过程的研究属于过程微观动力学的研究。也就是在实验 装置上获取有关化学信息的过程。装置上获取有关化学信息的过程。 封闭系统的动力学数据的测定：封闭系统的动力学数据的测定： 浓度浓度C C的的变化速度变化速度是时间是时间t t的函数，即的函数，即 )(tf dt dC （11-22） 2021-8-8 29 浓度浓度C C的的变化速度变化速度是浓度的函数，即是浓度的函数，即 )(Cf dt dC

26、浓度浓度C C是时间是时间t t的函数，即的函数，即 )(tfC 注：注：动力学实验数据动力学实验数据一般分两步：一般分两步：先使温度固定不变，确定原先使温度固定不变，确定原 始物质浓度的变化；再求出反应速度常数随温度的变化。始物质浓度的变化；再求出反应速度常数随温度的变化。 （11-23） （11-24） 2021-8-8 30 11.6 过程宏观动力学的研究过程宏观动力学的研究 从实验装置得到过程微观动力学的信息从实验装置得到过程微观动力学的信息（中间试验装置中间试验装置、 较大的中间试验装置上较大的中间试验装置上）获取过程宏观动力学信息。）获取过程宏观动力学信息。 宏观动力学是研究宏观动

27、力学是研究大的分子团大的分子团、物流宏观质点物流宏观质点的相互作用。的相互作用。 其主要任务是其主要任务是：求出和修正过程数学模型中的各个系数并确：求出和修正过程数学模型中的各个系数并确 定模型的实用性。定模型的实用性。 2021-8-8 31 （1）用阶跃法、脉冲法和伪随机信号造成扰动（）用阶跃法、脉冲法和伪随机信号造成扰动（注入示踪注入示踪 剂剂）来确定被研究对象的流体力学模型的结构：是）来确定被研究对象的流体力学模型的结构：是理想混合理想混合 还是还是理想置换理想置换，采用，采用扩散模型扩散模型、槽列模型槽列模型或或组合模型组合模型。 （2）研究各个传热工况参数的影响，修正传热条件和传热

28、）研究各个传热工况参数的影响，修正传热条件和传热 面积，分析稳定性。面积，分析稳定性。 （3）研究对象对于不同扰动通道的动态性质，分析各参数）研究对象对于不同扰动通道的动态性质，分析各参数 随时间变化的情况，提出随时间变化的情况，提出控制对象的方案控制对象的方案。 （4）建立较完整的对象（过程）建立较完整的对象（过程）数学模型数学模型。 （5）实现数学模型的）实现数学模型的最优化最优化，再现和修正最优工况。，再现和修正最优工况。 中间试验装置的研究：中间试验装置的研究： 2021-8-8 32 y2 非解析模型非解析模型 （包括：专家知识集、（包括：专家知识集、 模糊逻辑、人工神模糊逻辑、人工

29、神 经网络）经网络） 生产过程 (实际现场) 解析模型解析模型 （包括：微分方程、（包括：微分方程、 传递函数、差分方程、脉冲传递函数、差分方程、脉冲 传递函数、线性方程以及传递函数、线性方程以及 非线性方程等）非线性方程等） u y y1 e1 e2 图图11-6 建模示意图建模示意图 2021-8-8 33 模型简化模型简化： 模型A u t t y ya yb 模型B u t t y 图图11-7 模型简化模型简化 2021-8-8 34 yn y t t r 图图11-8 控制器参数导优控制器参数导优 参数寻优：参数寻优： 控制器控制对象（过程） r y e 2 0 min t e d

30、t 计算机计算机 2021-8-8 35 11.7 流体力学过程的动态方程流体力学过程的动态方程 (流体力学的基本方程式流体力学的基本方程式) 流体力学过程动态方程的列写，是从三个基本方程出发，流体力学过程动态方程的列写，是从三个基本方程出发， 它们是：它们是：连续性方程连续性方程、运动方程运动方程和和能量方程能量方程。 1）连续性方程）连续性方程 连续性方程表明流体流动过程中的连续性方程表明流体流动过程中的物料的平衡关系物料的平衡关系。 设在流体流束中取介于截面设在流体流束中取介于截面1-1与与11-2之间，其长度为无限小之间，其长度为无限小 dz的微元，的微元， 如下图所示。如下图所示。

31、dz 1 1 2 2 图11-9 流体微元 2021-8-8 36 依据物料平衡关系，单位时间内流入微元的质量与离开微依据物料平衡关系，单位时间内流入微元的质量与离开微 元的质量差等于微元内蓄存量的变化率：元的质量差等于微元内蓄存量的变化率： dz t A dz z Q QQ )( 0 )( t A z Q 移项后，得移项后，得（11-25） 上式中：上式中： .流过截面的体积流量 截面积 流体密度 Q ，A ， 2021-8-8 37 上面上面(11-25)式为式为一维非平稳渐变流的连续性方程一维非平稳渐变流的连续性方程。若用平均。若用平均 流速流速V来表示，则流速与流量的关系是：来表示，则

32、流速与流量的关系是： A Q V （11-26） 那么，那么，(11-25)式可写成：式可写成： 0 )()( t A z VA （11-27） 式式(11-26)和和(11-27)是一般情况下的连续性方程是一般情况下的连续性方程。对于各种特定。对于各种特定 情况，可化为其它形式，如：情况，可化为其它形式，如： 2021-8-8 38 截面积不变的情况截面积不变的情况 由(11-27)式可得 0 z V z V t （11-28） 不随距离而变的情况不随距离而变的情况 由于，那么由由于，那么由(11-27)式可得式可得 0)( z Q t A At （11-29） 2021-8-8 39 流体

33、不可压缩的情况流体不可压缩的情况 此时， 由(11-27)可得 0 t （11-29） 稳态情况稳态情况 0 z Q t A 对于平稳流来说， 0 t A 0 z Q 由(11-25)式可得 （11-30） （11-31） 0 z 2021-8-8 40 也就是说，在稳定流动情况下，沿着长度也就是说，在稳定流动情况下，沿着长度z没有变化，没有变化， 即即 Q 2221112211 AVAVQQ或 如果流体不可压缩，则如果流体不可压缩，则 2121 QQ 此时 2021-8-8 41 2）运动方程）运动方程 运动方程是流体力学过程运动方程是流体力学过程力平衡关系的微分表达形式力平衡关系的微分表达

34、形式。对。对 于下面图中所示的微元，讨论于下面图中所示的微元，讨论压力压力、重力重力、摩擦力摩擦力和和惯性力惯性力 之间的平衡关系。之间的平衡关系。 PVA, dzAg, dz z P P dz x y 0 图图11-10 流体微元的示意图流体微元的示意图 2021-8-8 42 应用于牛顿第二定律，可以得到应用于牛顿第二定律，可以得到 dt dv AdzdzFgAdzAdz z P PPA R cos)( 0cos 1 A F g z P dt dv R 或写成：或写成： （11-32） 流体密度 截面积 流速 单位长度的摩擦力 重力加速度 压强 A v F g P R 上式中：上式中： 2

35、021-8-8 43 由于流速由于流速v是距离是距离z和时间和时间t的函数，即的函数，即v=v(z,t)，因此上式可写成，因此上式可写成 z v v t v dt dz z v t v dt dv （11-33） 将将(11-32)式代入式代入(11-33)式，可得式，可得 0cos 1 A F g z P z v v t v R （11-34） 由图11-10可知： 垂直位移式中 y z y :cos 2021-8-8 44 所以(11-34)式可以写成： 0 1 A F z y g z P z v v t v R （11-35） 式式(11-34)和和(11-35)都是一般情况下的运动方程

36、。都是一般情况下的运动方程。 当忽略摩擦力的影响，当忽略摩擦力的影响，即即FR=0，则有，则有 （11-36） 对于稳定情况下对于稳定情况下， 所以上式可写成0 t v （11-37） 0 1 z y g z P z v v t v 0 1 z y g z P z v v 2021-8-8 45 又因在稳定情况下，又因在稳定情况下，P和和v都仅是都仅是z的函数，没有其它的自变量，的函数，没有其它的自变量， 所以所以 可写成可写成 ，即，即 z dz d 0 1 dz dy g dz dP dz dv v （11-38） (11-38)式是平稳流的运动方程式式是平稳流的运动方程式 3）能量方程）

37、能量方程 能量方程表达了能量方程表达了流体过程中的能量平衡关系流体过程中的能量平衡关系。能量方程可。能量方程可 以按能量的平衡关系直接推导，也可以由运动方程积分得出。以按能量的平衡关系直接推导，也可以由运动方程积分得出。 对于没有摩擦、不可压缩的平稳流，把式对于没有摩擦、不可压缩的平稳流，把式(11-38)积分后得到：积分后得到： （11-39）常数gy Pv 2 2 2021-8-8 46 常数y P g v 2 2 每项除以每项除以g，并引入重度，并引入重度 g （11-40） 上式是著名的柏努利方程，上式是著名的柏努利方程，式中每一项都具有明确的物理意义。式中每一项都具有明确的物理意义。

38、 各个截面上速度头、压头和位头之和为定值。各个截面上速度头、压头和位头之和为定值。 2021-8-8 47 11.8 过程数学模型的确定过程数学模型的确定 （1）分布函数）分布函数 任何有任何有液体和气体液体和气体移动的化工过程的数学模型，其结构首移动的化工过程的数学模型，其结构首 先是由流体力学参数决定的，并表现出物流质点在所研究先是由流体力学参数决定的，并表现出物流质点在所研究 的系统中停留时间的分布性质。的系统中停留时间的分布性质。 这种分布的性质服从这种分布的性质服从统计规律统计规律，可根据通过系统的信号形，可根据通过系统的信号形 式求得。在系统的输入端以式求得。在系统的输入端以阶跃阶

39、跃、脉冲脉冲或或谐振扰动谐振扰动的形式注的形式注 入示踪剂。入示踪剂。 2021-8-8 48 引入脉冲扰动时，示踪剂的统计分布函数（引入脉冲扰动时，示踪剂的统计分布函数（C曲线）可写成：曲线）可写成： dCC)( 0 (11-41) 停留时间分布函数停留时间分布函数 表示在输出物流中，在小于表示在输出物流中，在小于 时间内示踪剂在系统中出现的分布速率。时间内示踪剂在系统中出现的分布速率。 )(C 平均停留时间平均停留时间 可由下式确定：可由下式确定： c c dC dC 0 0 )( )( (11-42) 2021-8-8 49 分布函数分布函数 可表示为：可表示为： )( 1 )( 1 0

40、 秒 c c c c C 采样间隔 )(C 上式中：上式中： 0 c-入口处的初始浓度。 (11-43) 无量纲的停留时间为：无量纲的停留时间为： (11-44) 平均停留时间已知时，平均停留时间已知时，C曲线可用下面方程表示：曲线可用下面方程表示： )( 0 C c c C(11-45) 2021-8-8 50 阶跃扰动阶跃扰动和和脉冲扰动脉冲扰动时的分布函数之间的联系为：时的分布函数之间的联系为： 0 d dF CCdF(11-46) 由于由于 值表示输出物流中年龄为值表示输出物流中年龄为 物质的分布率物质的分布率 ，将此数乘以停留在年龄为，将此数乘以停留在年龄为 的物流单元中的物质浓度的

41、物流单元中的物质浓度 ，即可确定离开实际设备的物质平均浓度为：，即可确定离开实际设备的物质平均浓度为： dC)(d和 A c dCcc AA )( 0 (11-47) d 2021-8-8 51 例例11-7 确定设备的数学模型时，由于引入确定设备的数学模型时，由于引入函数形式的扰动函数形式的扰动 （脉冲式脉冲式注入示踪剂），在设备输出端得出下列注入示踪剂），在设备输出端得出下列示踪剂浓度示踪剂浓度 的数值：的数值： 表表11-1 时间时间 (min) 051 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 示踪剂示踪剂 浓度浓度 (g/m3, 液体液体) 03554210 试作示踪剂分布曲线。试

42、作示踪剂分布曲线。 2021-8-8 52 解：解：由方程（由方程（11-43）确定分布函数）确定分布函数 。为此，先求出采样。为此，先求出采样 时间间隔时间间隔 值时的分钟c)(5 ccC/)( )(C 分布函数分布函数 随时间的值列于表随时间的值列于表11-2。 (min) 051015202530 (min) 00.03 0.05 0.05 0.04 0.02 0.01 表表11-2 )(C 3 min/1005) 124553(mgc 2021-8-8 53 为了求出函数为了求出函数C，将时间变成无量纲形式，将时间变成无量纲形式，把，把C( )C( )变成变成 C C的形式。为此，按方程（的形式。为此，按方程（11-4211-42）、（）、（11-4311-43）求出在设备的平）求出在设备的平 均停留时间。均停留时间。 )(15 20 300 124553 ) 130()510()35( 分钟 c c 15 c c CC 15 )( 由方程（由方程（11-44）求出无量纲时间）求出无量纲时间 由此，根据方程（由此，根据方程（11-45）可得）可得 2021-8-8 54 图图11-11 示踪剂分布曲线示踪剂分布曲线