概率论乘法公式PPT学习教案

1、会计学1 概率论乘法公式概率论乘法公式 2 由条件概率的定义：由条件概率的定义： 即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) )( )( )|( BP ABP BAP 而而 P(AB)=P(BA) 二、二、 乘法公式乘法公式 若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB). 将将A、B的位置对调，有的位置对调，有 故故 若若P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若若 P(A)0, 则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为式都称为 乘法公式乘法公式, 利利 用它们可计算两用它们可计算两 个事件同时发生个事件

2、同时发生 的概率的概率 第1页/共23页 3 注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！ 请看下面的例子请看下面的例子 第2页/共23页 4 例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300 件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个个 是标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问 这个零件是乙厂生产的标准件这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？ 所求为所求为P(AB). 甲、乙共生产甲、乙共生产 1000 个个 189个个是是 标准件标准件 300个个 乙

3、厂生产乙厂生产 300个个 乙厂生产乙厂生产 设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产 A=是标准件是标准件 第3页/共23页 5 所求为所求为P(AB) . 设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产 A=是标准件是标准件 若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?” 求的是求的是 P(A|B) . B发生发生, 在在P(AB)中作为结果中作为结果; 在在P(A|B)中作为条件中作为条件. 甲、乙共生产甲、乙共生产 1000 个个 189个个是是 标准件标准件 300个个 乙厂生产乙厂生产 第4页/共23页 6 例例3 设某种动物由出生算起

4、活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的 概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问问 现年现年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的岁以上的 概率是多少？概率是多少？ 解：设解：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上 依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求为所求为P(B|A) . )( )( )|( AP ABP ABP5 . 0 8 . 0 4 . 0 )( )( AP BP 第5页/共23页 7 条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行

5、每一个随机试验都是在一定条件下进行 的，设的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在是在 该试验条件下事件该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小. P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加 “B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小 ，即，即P(A|B)仍是概率仍是概率. 第6页/共23页 8 条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)数值

6、关系数值关系 条件概率条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B 发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小. 那么那么, 是否一定有是否一定有: 或或 P(A|B) P(A)? P(A|B) P(A)? 请思考！请思考！ 第7页/共23页 9 例例4教材教材 Page 13 例例5 教材教材 Page 14 第8页/共23页 10 当当P(A1A2An-1)0时，有时，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) 推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式: 第9页/共23页 11 例例 已知在已知在20

7、个同种零件中有个同种零件中有3个次品，其个次品，其 余为合格品。从这余为合格品。从这20件中任取件中任取3次，每次抽次，每次抽 取不放回，求取不放回，求 （1）3个都是合格品的概率个都是合格品的概率 （2）3个都是次品的概率个都是次品的概率 （3）只有一个是合格品的概率）只有一个是合格品的概率 第10页/共23页 12 乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐 中，并且再加进中，并且再加进c个与所抽出的球具有相个与所抽出的球具有相 同颜色的球同颜色的球. 这种手续进行四

8、次，试求第这种手续进行四次，试求第 一、二次取到白球且第三、四次取到红一、二次取到白球且第三、四次取到红 球的概率球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型） b个白球个白球, r个红球个红球 第11页/共23页 13 于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，连续取四个球， 第一、第二个是白球，第三、四个是红球第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出 的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解: 设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3

9、,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4 b个白球个白球, r个红球个红球 第12页/共23页 14 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率一次也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病传染病 模型模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率再传染的概率. crb cr crb r crb cb rb b 32 =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3) P(W1W2R3R4) 第13页/共23页 15 一

10、场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决. 入场入场 券券 5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余的什么也没写，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取个人依次抽取. “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。” 后抽的确比先抽吃亏吗？后抽的确比先抽吃亏吗？ 让我们用让我们用 概率论的知识来计算一下。概率论的知识来计算一下。 第14页

11、/共23页 16 我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5. 显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/5 1 A 第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5. 也就是说，也就是说， i A则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券” 第15页/共23页 17 因为若第因为若第2个人抽到个人抽到 了入场券，第了入场券，第1个人个人 肯定没抽到肯定没抽到. 也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，个人未抽到， )|()()( 1212 AAPAPAP 212 AAA 由于由于 由

12、乘法公式由乘法公式 计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 第16页/共23页 18 )|()|()()()( 2131213213 AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须 第第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此 (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入 场券场券” 的概率都是的概率都是1/5. 抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后. 也就是说，也就是说， 第17页

13、/共23页 19 箱子中装有箱子中装有10瓶形状相同的名酒瓶形状相同的名酒,其中部优其中部优 名酒名酒7瓶瓶,国优名酒国优名酒3瓶瓶,今有三个人从箱子中今有三个人从箱子中 随机地取出一些酒来随机地取出一些酒来,每人只拿每人只拿2瓶瓶 问：问：恰好恰好第一个人拿到两瓶部优名酒第一个人拿到两瓶部优名酒,同时第二同时第二 个人拿到部优、国优名酒各一瓶个人拿到部优、国优名酒各一瓶,第三个人第三个人 拿到两瓶国优名酒的可能性有多大拿到两瓶国优名酒的可能性有多大? 解：解：设设 名酒名酒第三个人拿到两瓶国优第三个人拿到两瓶国优 名酒各一瓶名酒各一瓶第二个人拿到部优国优第二个人拿到部优国优 名酒名酒第一个人

14、拿到两瓶部优第一个人拿到两瓶部优 C B A 例例 第18页/共23页 20 显然显然, 所求事件的概率为：所求事件的概率为： ()()()()P ABCP AP B AP C AB 从而：从而：017. 0067. 0536. 0467. 0)( ABCP 2 7 2 10 ()0.467 C P A C 而：而： 11 53 2 8 ()0.536 CC P B A C 2 2 2 6 ()0.067 C P C AB C 10瓶名酒，其中瓶名酒，其中 部优部优7瓶，国优瓶，国优3瓶，瓶， 第一人拿到两瓶第一人拿到两瓶 优名酒同时第二优名酒同时第二 人拿到部人拿到部 优、国优、国 优名酒各

15、一瓶优名酒各一瓶,第第 三个拿到两瓶国三个拿到两瓶国 优名酒优名酒 第19页/共23页 21 例例 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时第一次落下时 打破的概率为打破的概率为 ，若第一次落下时未打破，若第一次落下时未打破,第第 二次落下破的概率为二次落下破的概率为 , 若前两次落下未打若前两次落下未打 破破, 第三次打破的概率为第三次打破的概率为 2 1 10 7 10 9 试求：透镜落下三次未打破的概率。试求：透镜落下三次未打破的概率。 解：解：设设 : : 透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破 次落下打破次落下打破透镜是第透镜是第 B iAi 3 , 2 ,

16、1 i 解法解法1. 312211 ()()()P AA AP A AP A 123 ( )()P BP A A A 123 ,BA A A 因为：因为： 所以有：所以有： 第20页/共23页 22 9713 (1) (1) (1) 10102200 解法解法2. , 321211 AAAAAAB 及及 1 A与与 21A A而而 321 AAA 是两两互斥的事件，故有：是两两互斥的事件，故有： )()()()( 321211 AAAPAAPAPBP 1211 312211 ()()() ()()() 171971197 (1)(1)(1) 210210102200 P AP A AP A P A A AP A AP A 200 3 200 197 1)(1)(