静电场中的导体与电介质一章习题解答试题知识点

1、静电场中的导体与电介质一章习题解答习题8 1 A、B为两个导体大平板，面积均为 S,平行放置，如图所示。A板带电+Qi, B板带电+ Q2,如果使B板接地，则AB间电场强度的大小E为：(A)Qi2 pS(B)Qi Q22 ；oS(C)Qi；oSQi + Q2(D)122 ；oS+ QiA+Q2B习题8 1图解：B板接地后，A、B两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Qi和-Qi，这时AB间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即E板间QiQi _ Qi2 ；oS 2pS ；oS所以，应该选择答案(C) 习题82 Ci和C2两个电容器，其上分别标明 200pF(电容量)，500V(耐压

2、值)和300pF，900V。把它们串联起来在两端加上 I000V的电压，贝(A) Ci被击穿，C2不被击穿(B) C2被击穿，Ci不被击穿(C)两者都被击穿(D)两者都不被击穿答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设Ci承受的电压为Vi, C2承受的电压为V2,则有y v2 = c2. g =3 2Vi V2 =i000联立、可得V 600V ,V2 = 4 0V0可见，Ci承受的电压600V已经超过其耐压值500V，因此，Ci先被击穿，继而 1000V电压全部加在C2上，也超过了其耐压值900V，紧接着C2也被击穿。 所以，应该选择答案(C)。习题83三个电容器联接

3、如图。已知电容 Ci=C2=C3，而Ci、C2、C3的耐压值 分别为i00V、200V、300V。则此电容器组的耐压值为(A) 500V(B) 400V(C) 300V(D) i50V (E) 600V解：设此电容器组的两端所加的电压为 u,并且用Ci/ C2表示Ci、C2两电 容器的并联组合，这时该电容器组就成为 Ci / C2与C3的串联。由于Ci= C2=C3, 所以Ci / C2 = 2C3,故而Ci / C2承受的电压为u/3, C3承受的电压为2u/3。由于C1/C2的耐压值不大于100V，这要求u 100(V)CiC3即要求u 乞 300(V)同理，C3的耐压值为300V,这要求

4、3 u 300 二 450( V2对于此电容器组的耐压值，只能取两者之较低的，即 案(C)。习题83图300V。因此，应该选择答习题8 4 一个大平行板电容器水平放置，两极 板间的一半充有各向同性均匀电介质，另一半为空 气，如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时， 有一质量为m、带电量为+q的质点，平衡在极板 间的空气区域中，此后，若把电介质抽去，则该质 点: 1(A)保持不动。(B)向上运动。 (C)向下运动。解：在抽出介质前，相当于左右两半两个“电容器”m +q-Q+ Q习题84图(D)并联,是否运动不能确定。 由于这两个“电 q=CU公式可知，右容器”电压相等，而右半边的电容又小于左半边

5、的，因此由 半边极板的带电量小于左半边的。当抽去介质后，极板电荷重新分布而变为左右 均匀，使得右半边极板电荷较抽出介质前为多，因此这时带电质点受到向上的静 电力将大于其重力，它将向上运动。所以应当选择答案(B)。习题8 5 一个平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极 板间距拉大，则两极板间的电势差U如下变化：(A) U12减小，E减小，W减小。(C) U12增大，E不变，W增大12、电场强度的大小(B) U12 增大,(D) U12 减小,E和电场能量W将发生E增大，W增大。E不变，W不变。解：电容器充电后与电源断开，其极板上的电荷将保持不变。由公式QU12飞当将电容器两极板间

6、距拉大，其电容 C将减小，这将使其极板间的电势差U12增大；因为极板电荷保持不变，使得板间场强亦不变；由电容器储能公式1W QUi22因电势差Ui2增大而极板电荷保持不变，故电场能量W将增大。综上所述，应当选择答案（C）习题8 6 一个平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两 极板间距拉大，则极板上的电量 Q、电场强度的大小E和电场能量 W发生如下 变化：（A） Q增大，E增大，W增大。（B） Q减小，E减小，W减小。（C） Q增大，E减小，W增大。（D） Q增大，E增大，W减小。解：电容器充电后仍与电源连接，其两极板间的电压 Ui2不变。若此时将电 容器两极板间距拉大，其电容量

7、 C将变小，由公式Q = CU 12可知，极板上的电量Q将减小；与此同时，由公式Ul2d可知，极板间电场也将减小；又由公式1 2W CU122可知，电场能量 W将减小。综上所述，应当选择答案（B）习题8 7 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种 各向同性、均匀电介质，则电场强度大小 E、电容C、电压U、电场能量W四个 量各自与充入介质前相比较，增大（T ）或减小（J ）的情形为：（a）eT、CT、u T、WT （B） EJ、CT、u J、wj（B）EJ、CT、U T、WJ （D） ET、CJ、U J、WT解：设未充满电介质时电容器的电容为 Co，电压为Uo，场强为Eo，电

8、场能 量为W0。充满电介质后则有1所以CT；电场能量为U U 0 U 0Ed-Uo _ 1 E E_一Eo U Eo；rd所以E J;电容变为CQorCo CoUUo r所以U J;电场强度的大小变为2 2 w =丄 Q 1 -Qow0 : wo2 C 2 Cor所以WJ。综上所述，应当选择答案(B)习题88 Ci和C2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开，再 把一电介质板插入Ci中，贝U:(A) Ci和C2极板上电量都不变。(B) Ci极板上电量增大，C2极板上电量不变。(C) Ci极板上电量增大，C2极板上电量减少。(D) Ci极板上电量减少，C2极板上电量增大。解：充电后将电

9、源断开，两电容器的总电量不变，即5 72=常量(探)由于两电容器并联，它们的电势差 U相等，因此它们所带的电量(q=CU)与它们 的电容量成正比，但因Ci中插入了介质板，所以Ci的电容量增加，即qiT，由 (探)式可知，这时q2应当减少，所以应当选择答案(C)。习题89两个薄金属同心球壳，半径各为Ri和R2(Ri0 r2qi 724二；0R2或者:U=jEd=jE外述= +番尸qi q2 4；oR2 因此,U -U2所以，应选择答案(B)习题810 一平行板电容器充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质，已知介质表面极化电荷面密度为二二。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大 小为：(A)二旨0

10、(B)-0 -r(C)T-(D)-%-3_C 的无限大平行平解：介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为E -2 ；0 2 ； 0 ；0所以，应当选择答案(A)。习题811两块面积均为S的金属板A和B彼此平行放置，板间距离为d(d远 小于板的线度)，设A板带电为qi，B板带电为q2，则A、B两板间的电势差为： (七d(B)器d(D)冷d二3和二4，则根据电荷守恒有(T 1(T 2(T 3(T 4q2解：如图所示，设A、B两块平行金属板的四个 表面的电荷面密度分别为 二，厂S ；6S =qi；3S ；4S =q2根据静电平衡条件有A题解8 11

11、图C1 C2 C32 ；0 2；0 2 ；02 ；0-0G . 6；42；0 2 ；0 2；0 2；0联立解得q1 q22Sq1 q22S根据叠加原理，两个外侧表面的电荷在两极板间产生的场强相互抵消；两内侧的电荷在两板间产生的场强方向相同，它们最终在板间产生的场强为E -2；0 2；0二2 _ q 5；02 0S因而A、B两板间的电势差为u AB 二 Ed 二 qi 72 d2可以看出，应该选择答案（C）。习题812 一空气平行板电容器，两极板间距为 d，充电后板间电压为U。现将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为 d/3的金属板，则板间电压变成U =。解法I:电源断开前后极板带电量不变，因而

12、极间场强不变；由于在两板间 平行地插入一厚度为d/3的金属板，相当于极板间距变为原来的 2/3,因此，板 间电压相应地也变为原来的2/3，即2U =- U3解法U :设未将电源断开（也未插入金属板）时电容器的电容为C，这时电容器极板的电压为U弋将电源断开后极板的电量将保持不变，但因在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，这相当于极板间距变为 2d/3，因而电容器的电容变为CYC因此，现板间电压为习题813 A、B为两个电容值都等于C的电容器，A带电量为Q，B带电量为 2Q,现将A、B并联后，系统电场能量的增量 W =。解：A、B并联后，系统的等效电容为2C，带电量为3Q,因此，系统电场 能量

13、的增量为Q24C习题8 14 一空气平行板电容器，其电容值为 Co。充电后电场能量为 Wo。在 保持与电源连接的情况下在两极板间充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质，则此时电容器的电容值C=，电场能量W=。解：充满介质后，电容器的电容值增大了 ；r倍，因此有ChrCo ；由电容器 储能公式w Jeu22充满介质后，两极板间电压 U不变，只是电容值增大了 ；倍，因而其能量相应 地增大为原来的；r倍，即w = ；rw0。习题815半径为0.1m的孤立带电导体球，其电势为 300V，则离导体球中心 30cm 处的电势为 U =。解：孤立导体球的电量为Q = CU = 4心 0RU R其电荷分布是一

14、个均匀带电球面，因而其电势分布为Q仁0r-RU把 r=0.30m、R=0.1m 及 Ur=300V 代入上式可得 U=100V。习题8 16半径为Rl和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为；r 的均匀介质。设两筒上单位长度带电量分别为 和-，则介质中电位移矢量 的大小为D=;电场强度的大小为 E=。解：取半径为r(R1rR2)、高度为h的、与圆筒同轴的两端封闭的柱面为高 斯面，根据有介质时的高斯定理有狈p dS 二 2二rhD 二h因此根据电位移与场强的关系可得D 2兀r2二； ；r习题817两个半径相同的金属球，相距很远。证明：该导体组的电容等于各 孤立导体球的电容值的一半。证明

15、：设两球分别带电+Q和-Q，因为它们相距很远，各自都可以看作“孤 立”的。该两球的电势差为U12 7 -U2Q(-Q)4二；0R 4；0RQ2； 0R所以，该导体组的电容为C Q = 2二;0RU12而对于各孤立导体球的电容则为 C0=4:；0R，因此我们有CCo2证毕。习题818证明：半径为R的孤立球形导体，带电量为 2Q,其电场能量恰与 半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量相等。证明：半径为R的孤立球形导体的电容为其带电为2Q时的电场能量为(2Q)24Q22 4二；0R 2二；0RQ2Ci同理，半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量为2Q2Q2W22 C22 4二；0

16、 (R 4) 2二；0R习题8 19两块“无限大”平行导体 板，相距为2d，都与地连接。在板间均 匀充满着正离子气体（与导体板绝缘）， 离子数密度为n，每个离子的带电量为 q,如果忽略气体中的极化现象，可以 认为电场分布相对于中心平面 00是 对称的。试求两板间的电场分布和电势 分布。分析：由于电场分布相对于中心平面 虑用高斯定理。习题8 19图00 是对称的，因此求板间电场可以考解：设中心平面00处为X轴的原点，可以看出，板间电场都与 X轴平行: 在-dvxvo区间，场强方向与X轴反向；在Ovxvd区间，场强方向与X轴同向。 因而可取一柱形高斯面 S,其轴线即为X轴，其两个端面分别在+x和-

17、x处。由 高斯定理得- - 1:E *dSqiS;.0 i解得写成矢量式EdS亠I, EdS亠I, EdS二丄侧面左端面右端面;0 i10 E i S E iS(nq 2 x 1S)SE”x，0Exi；0qi(-dvxvd)两板间任一点的电势为dx 二应xdx 二旦(d2-X S2Sx2)(-dvxvd)习题8 20两根平行“无限长”R(Rvvd)。导线上电荷线密度分别为解：建立如图所示的坐标系，贝U两线间任一点的场为均匀带电直线，相距为 d，和-,试求该导体单位长度的电容。导线半径都是E(x厂2耽0x 2耽0(d -x)两线间的电势差25d -R 11R(； L二In-0单位长度的电容为f

18、RR C0二；0U12 ln d RR题解8 20图注意： 系表示； R至U d R。习题821都是L,中间充满相对介电常数为两线间的电场强度 E是两个带电直线共同产生，应当用统一坐标 每一条导线作为导体，各自都是等势体，因此求电势差的积分限取电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a,外筒半径为b,筒长r的各向同性均匀电介质，若内外筒分别带有等量异号电荷+Q和Q。设b-aa, Lb,可以忽略边缘效应，求(1) 圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解：(1)由于b-ab，所以两个同轴圆筒可看成“无限长”，它们沿 长度方向电荷线密度为土 Q/L,两筒间的场为Q LE 二2二；0 ；rr 2二

19、；0 ；rr两筒间的电势差为Q b 1Q bU ab = E，dr = a dr =In 2胧0釦L La r2耽0务L a圆柱形电容器的电容为q2二； ；丄CUabUabln-a(2)电容器储存的能量为Xfl/ 1Q2Q2, bWe 二一In2C4二；0 ；rL a习题822半径为R的金属球，球上带电荷一Q，球外充满介电常数为；的各 向同性的均匀电介质，求电场中储存的电场能。解法I :由高斯定理容易求得带电金属球内外的场分布0,ow r RE = ( _Q4. r2，rR显然，电场能量密度为WeQ22432 二 r在距金属球球心为r处取厚度为dr的薄球壳体积元，其体积为dV =4二r2dr，

20、在 其内储存的电场能为dWe=WedVQ22dr因此，金属球电场中储存的电场能为8 二；rWejdW厂蛍V8胧Q28；R解法n:孤立导体球(球外充满介电常数为；的各向同性的均匀电介质)的电 容为电容器储能公式，可以求得金属球电场中储存的电场能为CQ28二；R注：比较两种方法，容易看出第二种方法更简单。 习题8 23 半径分别为 1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各自带电量1.0 10*C，两球心间相距很远。若用细导线将两球相接，求：(1)每个球所带的电量；(2)每个球的电势。解：(1)两个球用导线连接后，电荷重新分布，设这时两球分别带电为qi和q2，由电荷守恒有q1 qq式中q为连接前两球

21、的总带电量，q=2.0 10C。用导线连接后两球等势UR1 =Ur2即q1q24二；0尺4二；0R2联立、解得R1R21 21_8_92.0 10=6.67 10 CR2 q2_8_9q222.0 10= 13.3 10 CR1 R21 2(2) 由于两球相距很远，它们的相互影响可以忽略，可以看成孤立、均匀带 电的导体球，因此它们的电势为q19923Ur119.0 106.67 10 -1.0 10=6.0 10 V4二；0R1Ur2 二Up =6.0 103V注意：该题中的两球体是导体球，它们带的电只能分布在外表面；而且两者相 距很远，都可以看作是表面均匀带电，因此，应该按均匀带电球面来计算

22、它们的 电势。 习题824两个电容器的电容之比为 C1 : C2=1 : 2。(1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，它们的电能之比是多少(2) 如果是并联充电，电能之比是多少？(3) 在上述两种情况下电容器系统的总电能之比是多少？解： 两个电容器串联它们的带电量相等，根据公式可知它们的电能与电容量成反比，因此有W1 W2 =C2 G =2 1(2)两个电容器并联它们的电压相等，根据公式1 2W CU22可知它们的电能与电容量成正比，因此有Wj W2. C2 =1 2 在以上两种情况下电容器系统的电容分别为C1C2 .C1 C2C 并=C1 C2由于电源电压比，所以有定，因此两种情况下电

23、容器系统的总电能应与它们的电容成正W串.W# - C串.C并C1C2C1C2(C1 C2)-C12 2C1C2 C；-eg +2+C2O _ 1/2+2+21 2 9习题825 一圆柱形电容器，外柱的直径为 4cm，内柱的直径可以适当选择， 若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为E=200kV/cm，试求该电容器可能承受的最高电压。解：设该电容器的内、外柱半径分别为a和b，内、外柱带电分别为和- ， 则内、外柱间的场分布为该场强的最大值也是击穿场强E 二-2阿E，可令上式中的r =a，即(arb)E。=E两极间的电势差In = aE0 ln- ab dr=a r2二；根据最值条件

24、，可令dU =EoIn“ -aEodaaE =Eo(a1帛-1) =0a.b.bIn 1 ,a =ae代入（* ）式即可得到该电容器可能承受的最高电压max= -Eoe32 200 102.7182= 1.47 105 V习题8 26图示为一球形电容器，在外球 壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒 定的条件下，内球半径a为多大时才能使内 球表附近的电场强度最小？并求这个最小电 场强度的大小。解：内外导体间的电势差满足下面关系U亠4 二；0 a b内球表面附近的电场强度可表示为把代入得q4二；a2bU(1-1)a2bab -a2把对a求导数并令其等于零dE d bU ) bU(2a-b) 0=

25、I =2 2 = 0da da iab - a 丿 (ab a )解得所以，当a=b/2时，内球表附近的电场强度最小；这个最小电场强度的大小为E - bUmi n2ab abU = 4Ub2 2 -b2 4 b习题827图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为R1和R2，两筒间为空气，内、外筒电势分 别为U1=2U0， U2=U。，U0为一已知常量。求两金属筒之 间的电势分布。解：两金属筒之间的电势差为习题827图所以U12 =2Uo -Uo 二UoR2 E -dr嘤lnRR2二；o 只1 r2二；oR1U o2二；oln空R1设距轴线为r(RirR2)处的电势为U(r),则该处与外

26、筒之间的电势差为因此,R2R2U(r) -Uo = E dr = J丸 dr 九,R2ln2二；o r 2二；o rUoo 4ln( R2 R-i) rUoJln( R2 R-i ) r这就是两金属筒之间的电势分布。该步也可以有如下等价作法：因内筒与r处的电势差为2Uo -U(r)r=R1Edr =ln UoRiln(R2 Ri)lnR所以,UoU(2Uo * R)习题828 一电容为C的空气平行板电容器， 电。在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距增大至分析：由于电源保持连接，所以在把两个极板间距拉大的过程中, 源共同对系统作功，拉大的过程所满足的功能关系应为接上端电压U为定值的电源充

27、n倍时外力所作的功。外力与电A外A电源=We我们只要算出系数能量的增量 We和电源作的功A电源就能求得外力的功A外。解：因为保持与电源连接，因而两极间的电势差 U不变。由于在极板间距 拉大的过程中，电容器的电容从变到C 二Cnd n所以电容器能量的增量为1丄212121讥呵-WhU2-2CU2SCU2(1在极板间距拉大的过程中，电容器上带电从 Q变到Q，电源所作的功为A源二(Q Q)U =(CU CU)U =CU2 (丄一 1) ： 0n由功能关系A外 - A电源二:We-1) -CU 2(- -1)n= -CU2(-)02n可得外力所作的功为民卜=:We - A电源CU彳（2 n可见，在极板

28、间距拉大的过程中外力作正功。注意：对电容器来说，保持与电源连接，其两极电压U不变，可用公式1 2 一We rCU来进行计算或讨论其能量；若充电后断开电源，则极板带电量 变，这时可用公式We二丄来进行计算或讨论其能量。计算作功要搞清系2 C统和外界，对本题“外界”有两家：外力和电源；对如 2000.1习题集15112 题就与此题不同，可参见以下的本章补充习题答案。静电场中的导体和电介质一章补充习题答案习题15112（2000.1习题集）一平行板电容器的极板面积为 S=1m2，两极板夹 着一块d=5mm厚的同样面积的玻璃板。已知玻璃的相对介电常数；r=5。电容器充电到电压U=12V以后切断电源，求

29、把玻璃板从电容器中抽出来外力需作多少 功。分析：电源已切断，只有外力作功，功能关系为：A外= We。解：切断电源前后极板上电荷不变，该电荷为切断电源前的电荷：Ec名S8 85汉102汉5汽1汉12rq =CUU =5 1 12 =1.062 10%d5汉10式中C为未抽出玻璃板时电容器的电容值。当抽出玻璃板后，电容器的电容值 变为C、至=8.85 10：匚1.77 10-Fd5汇10根据功能关系，可得抽出玻璃板过程中外力所作的功为A”=做讪_W*C 才荻土）(1) = 2.55 10(1.062 10 )212 1.77 105习题1589在带电量为+Q的金属球产生的电场中，为测量某点的场强

30、E，在 该点引入一带电量为+Q/3的点电荷。若测得其受力为F ,则该点场强大小为3F3F3F(A) E = 。(B) E 一。(C) E 一 。(D) 无法判断。QQQ说明：因为引入的测场强的试验电荷的带电量太大了，以至于其场影响了原来金属球上的电荷分布，从而影响了原来的场分布，使得测量值并不等于该点的 原来的场强。具体情况为：该试验电荷所带的正电荷把金属球上的部分正电荷推 向远离自己所在点的一面，使金属球上的正电荷中心远离试验电荷所在的点，因而使测得的力F要小一些，所以3F/Q也必然比该点原来的场要小。因此，应当 选择答案(B)。习题1593 把A、B两块不带电的导体放在一带正电的导 体的电场中，如图所示，设无 限远处为电势零点，A点电势 为Ua,B点电势为Ub，则UA =0。(C) Ub =u A。(D) Ub :Ua。如图所A，再到B，再到无限远处，依UbUA，因