动态微分方程模型[教学内容]

1、动态微分方程模型 传 染 病 模 型 (四个模型) 1优学课堂 问题提出 本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象, 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）如何描述传染病的传播过程 （2）如何分析受感染人数的变化规律 （3）如何预报传染病高潮的到来 2优学课堂 问题分析 不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型 由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分 析问题的过程中，不可

2、能通过一次假设建立完善的 数学模型 思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果 进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假 设，最终得出较好的模型。 3优学课堂 模型一 模型假设： （1）一人得病后，久治不愈，人在传染 期内不会死亡。 （2）单位时间内每个病人传染人数为常 数k。 为什么假设不会死亡？为什么假设不会死亡？ （因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统） 4优学课堂 模型建立： I（t）表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I（t+t）I（ t）k0I（t） t 于是模型如下： 0 0 )0( )( II tIk dt dI 模型的解： tk eItI 0 0 )( 5

3、优学课堂 举个实例 最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人 6优学课堂 模型的缺点 问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律 7优学课堂 模型二(SI模型) 设t时刻健康人数为S(t)病人数为I(t) 模型假设： （1）总人数为n不变，既不考虑生死，也不考虑 迁移，I(t)十S(t)n （2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不

4、会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数） 8优学课堂 模型改进 0 ( )( ) (0) dI kS tI t dt II 方程的解： knt e I n n tI 11 )( 0 9优学课堂 对模型作进一步分析 传染病人数与时间t关系传染病人数的变化率与时间t 的关系 染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定 增长速度由低增至最高后 降落下来 10优学课堂 疾病的传染高峰期 0 2 2 dt Id 此时 计算高峰期得： kn I n t ) 1ln( 0 0 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系

5、数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率日接触率。t0与 成反比。 表示该 地区的卫生水平， 越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。 11优学课堂 模型的缺点 缺点：当t时，I(t) n，这表示所有的人最 终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合 原因：这是由假设1)所导致，没有考虑病人可 以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。 12优学课堂 模型三(SIS模型) 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）

6、健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 (称日治愈率日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称 1/ 为传染病的平均传染期平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2 人， 1/5，则每位病人平均生病时间为1/ 5天)。 13优学课堂 模型的建立 假设2、3得： 0 ( ) ( )( ) (0) di NNs t i tNi t dt ii 将假设1代入，可得模型： 0 (1) (0) di iii dt ii 1

7、4优学课堂 模型的解： ()1 0 1 0 1 () ( ) 1 () t e i i t t i 15优学课堂 阈值=/的意义 一个病人在平均传染期内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为 10 1 1 1 )( lim ti i 16优学课堂 模型的意义 （t , i (t)）图 （1）当1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。 （2）当 l时，i(t)最终以1-1/ 为极限； （3）当增大时，i()也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升 17优学课堂 模

8、型四（SIR模型） 某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免 疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。 模型假设： （1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类， 这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)， i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)1。 （2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k （3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为 18优学课堂 模型的建立 0 0 (0) (0) di sii dt ds si dt ii ss 从此方程无法求出i ( t )与s ( t )的解析解。 我们可以从相轨线作定性分析 19

9、优学课堂 相轨线 相轨线（s，i） 0 00 ln 1 )( s s sisi 图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向 20优学课堂 相轨线分析结果 1、不论初始条件s0、i0如何病人终将消失。 2、最终未被感染的健康者的比例是s，图中 可看出是在(0，1/ )内的单根。 3、若s0 1/ ，则i(t)先增加，当s1/ 时，i(t)达到 最大。 4、若s0 1/ ，则i(t)单调减小至零 21优学课堂 阈值1/的意义 1、减小传染期接触数 ，即提高阈值l/ ，使得 s0 1/ (即 1/ s0)，传染病就不会蔓延。 2、卫生、医疗水平：=/ 3、交换数的意义：s=s1/是传

10、染期内一个病 人传染的健康者的平均人数，称为交换数，其含 义是一个病人被s个健康者交换。 4、 的估计 ss ss 0 0 lnln 22优学课堂 模型验证印度孟买的一个例子 ) 2 (2 22 0 2 t chs dt dr 图中，实际数据用圆点表示可以看出， 理论曲线与实际数据吻合得相当不错。 23优学课堂 SIR模型的两个应用 n被传染比例的估计 n群体免疫和预防 24优学课堂 被传染比例的估计 000 1 2()2xssss 0 11 s 0 i假定 很小， 接近于1 0 s 其中 这个结果表明，被传染人数比例约为 的2倍，当 该地区的卫生和医疗水平不变，即 不变时，这 个比例就不会改

11、变。而当阈值提高时， 减小，于 是这个比例就会降低。 25优学课堂 群体免疫和预防 根据对模型的分析，当 时，传染病不会 蔓延，因而制止传染病蔓延的途径有两条 1提高卫生和医疗水平（使阈值变大）； 2通过预防接种使群体得到免疫（降低 ） 0 s 0 1/s 0 1 1r 只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例 （即免疫者比例）满足（）式，就可以制 止传染病的蔓延 （） 0 r 26优学课堂 课后任务 请各位同学进行一些调查，根据模型算一 算在广州，非典型肺炎爆发的高潮大概是在何 时，与实际情况相吻合吗？根据模型请给出你 的建议。 27优学课堂 思考题1 设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目

12、 的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化 程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信 这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相 信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人 数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相 信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣 传情况的微分方程模型。 28优学课堂 思考题2 汽车停车距离可分为两段：一段为发现情况到 开始制动这段时间里驶过的距离DT，这段时间为反 应时间；另一段则为制动时间驶过的距离DR，现考 核某司机，考核结果如下： 行驶速度 DT DR 36公里/小时 3米 45米 50公里/小时 5米 125米 70公里/小时 7米 245米 （1）作出停车距离D的经验公式 （2）设制动力正比于车重，建立理论分析模型并求 出D的公式。 29优学课堂 思考题3 本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约 每两年发生次麻疹传染病。生物数学家HE索 珀试图解释这种现象，他认为易受传染者的人数 因人口中新添新的成员而不断得到补充。试建立 数学模型。 30优学课堂 思考题4 房屋管理部门想在房顶的边缘 安装一个檐槽，其目的是为了雨天 出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看 成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的 倾斜角度