金属塑性变形的力学基础应力应变分析

1、塑性理论： 研究金属在塑性状态的力学行为称为塑性理论或塑性力学， 是连续介质力学的一个分支。 塑性理论假设： （1）变形体是连续的； （2）变形体是均质和各向同性的； （3）在变形的任一瞬间，力的作用是平衡的； （4）在一般情况下，忽略体积力的影响； 小变形时，可以认为只有线应变引起边长和体积的变化，而切应变所引起的边长 和体积的变化是高阶微量，可以忽略不计。因此变形后的单元体体积为 （15-22） zyxddd、 0 Vzyxddd 1 Vzyxzyxddd)1 (d)1 (d)1 (d)1 ( zyxzyx 第四节第四节 塑性变形体积不变条件塑性变形体积不变条件 设单元体的初始边长为，则变

2、形前的体积为 zyx 0 01 V VV = 单元体体积的变化（单位体积变化率） 在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积 不发生变化，因此不发生变化，因此 式（式（15-2315-23）称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应）称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应 变之和等于零变之和等于零, ,说明三个正应变分量不可能全部同号。说明三个正应变分量不可能全部同号。 （15-23） 0 321 zyx = 第五节第五节 速度分量和速度场、位移增量与应速度分量和速度场、位移增量与应 变增量、应变速率张量变增量、应变速率

3、张量 反映的是单元体在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的变形大小， 亦称全量应变。 塑性变形一般是大变形，前面讨论的应变公式在大变形中不能直接应用。 然而，我们可以把大变形看成是由很多瞬间小变形累积而成的。考察大变形 中的瞬间小变形的情况，需要引入速度场与应变增量的概念。 一、速度分量和速度场一、速度分量和速度场 位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故 简记为简记为 (x，y，z ，t) 二、位移增量和应变增量二、位移增量和应变增量 在图15-6中，设质点P 在dt内沿路径 PPP1从P移动无限小距离到达P“，位移矢 量PP “与P

4、P之间的差即为位移增量， 记为dui 。这里d为增量符号，而不是微 分符号。此时它的速度分量记为 物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量。 图15-6 位移矢量和增量 du dt dw dt dv dt 产生位移增量以后，变形体内各质点就有了相应的无限小应变增量，用 dij表示。 简记为 此时的位移增量分量为 （15-25） 在此，瞬时产生的变形当然可视为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的 几何方程，表示为 x u x )d( d x v y u yxxy )d()d( 2 1 dd y v y )d( d y w z v zyyz )d()d( 2

5、 1 dd z w z )d( d z u x w xzzx )d()d( 2 1 dd （15-26） 一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增量张量，记为 简记为 i j j i )d( )d( 2 1 x u x u ij d = （15-27） （15-28） z yzy xzxyx d. dd. ddd ij d = 应变增量是塑性成形理论中最重要的概念之一。塑性变形是一个大变形过程， 在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。 可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是 一系列瞬时应变增量的积累。 三、应变速率张量三、应

6、变速率张量 1 s ij d 单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度，用 表示，单位为 。设 在时间间隔dt内产生的应变增量为 ，则应变速率为 t d d ij = （15-29） 应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。与式（15-27）类似， 应变速率 = t d d ij = 一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量 应该注意，应变速率 是应变增量 对时间的微商，通常并不是全量 应变的微分。应变速率张量与应变增量张量相似，用来描述瞬 时变形状态。 ij d 第六节第六节 对数应变对数应变 设在单向拉伸时某试样的瞬时长度为l，在下一个瞬时试样长度又伸长 了dl，则其应

7、变增量为 为了真实地反映瞬时的塑性变形过程，一般用对数应变来表示塑性 变形的程度。 而试样从初始长度l0到终了长度l1，如果变形过程中主轴不变，可沿拉伸方向对 d 进行积分，求出总应变 l l d d 0 1 l l ln d1 0l l l l （15-32） 从上式可以看出对数应变和相对应变的关系，即只有当变形程度很小时，相 对应变才近似等于对数应变。变形程度越大，误差也越大。这就是为什么相对应 变适用于小变形的情况，对数应变适用于大变形的情况。一般认为，当变形程度超 过10时，就要用对数应变来表达。 反映了物体变形的实际情况，称为对数应变对数应变或真实应变真实应变， 它能真实地反映变形的

8、累积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下应变增 量的总和。在大塑性变形中，主要用对数应变来反映物体的变形程度。 （15-33） 432 )1ln(lnln 432 0 0 0 1 l ll l l 1叠加性 设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到 l3，则总的对数 应变为各分量对数应变之和，即: 0 01 01 l ll 1 12 12 l ll 2 23 23 l ll 23120103 除此之外，对数应变还有以下两个性质：除此之外，对数应变还有以下两个性质： = 显然，这表明，对数应变具有可叠加性，而相对应变不具有可叠加性。 对应的各阶段的相对应变为 2 3 1 2 0 1 2

9、3 1 2 0 1 0 3 lnlnln)ln(ln d3 0l l l l l l l l l l l l l l l l l l 1 2 3 负号表示应变方向相反。而用相对应变时，以上情况分别为 100 2 0 00 l ll 50 5 . 0 0 00 l ll 2可比性 对数应变为可比应变，相对应变为不可比应变。假设将试样拉长一 倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。 拉长一倍时 2ln 2 ln 0 0 l l + 压缩一半时 2ln 5 . 0 ln 0 0 l l - 因而，相对应变为不可比应变。 前面提到的体积不变条件用对数应变表示更准确。设变形体的原始长、 宽、高分别为l0、

10、b0、h0，变形后分别为l1、b1、h1，则体积不变条件表示 为： 0ln 000 111 hbl hbl = （15-34） 0 1 0 1 0 1 lnlnln h h b b l l 1 2 3 一、平面应力问题 图15-7 平面应力状态 平面应力状态假设变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上没有应力，且所有的 应力分量与该坐标轴无关，如图15-7所示。工程中，薄壁容器承受内压、无压边的板 料拉深、薄壁管扭转等，由于厚度方向的应力很小可以忽略，均可简化为平面应力状 态。 0 zyzxz 000 0 0 yyx xyx ij 000 00 00 2 1 ij 第七节第七节 平面问题和轴对称问

11、题平面问题和轴对称问题 或 由式（14-26）可得平面应力状态下的应力平衡微分方程为 0 0 yx yx yxy yx x （15-36） 平面应力状态下任意斜微分面上的正应力、切应力和主应力均可从(14-27)、（14-28）、 （14-29）各式中求得。由于， 所以平面应力状态下的主切应力为 0 3 2 2 ) 2 ( 2 1 31 2 23 22 21 12 xy yx （15-37） 纯切应力状态（即纯剪状态）是平面应力状态的特殊情况，见图15-8， 纯切应力等于最大切应力，主轴与坐标轴成/4，切应力在数值上等于主应 力， 。 因此，若两个主应力在数值上相等，但符号相反，即 为纯切应力

12、状态。 211 平面应力状态中z方向虽然没有应力，但是有应变存在；只有在纯剪切时， 没有应力的方向才没有应变。 图15-8 纯切应力状态及应力莫尔圆 二、平面应变问题 如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线 方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。 设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零，其余两个方向的 位移分量对z的偏导数必为零，所以 ，则平面应变状态的 三个应变分量为 、 、 ，且满足以下几何方程 x y xy z 0 yzxz = )( 2 1 x v y u y v x u yxxy y x （15-38 ） 根据体积不变条件有 yx z z my

13、xz )( 2 1 2 x y xy 平面变形状态下的应力状态有如下特点： 1）没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面， 为中间主应力，在塑性状态下， 等于平均应力，即 2）由于应力分量 、 、 沿z 轴均匀分布，与z轴无关，所以平衡微分 方程与平面应力问题相同。 3）如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平 面塑性应变状态下的应力张量可写成 或 m m m yx yx xy yx z yyx xyx ij 00 00 00 000 0 2 0 2 00 0 0 m m m ij 00 00 00 000 0 2 0 00 2 2 00 00 00 21

14、21 21 2 1 （15-39） 三、轴对称问题 当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则体内质点所处的应力状态 称为轴对称应力状态。塑性成形中的轴对称应力状态主要指每个子午面 （通过旋转体轴线的平面）都始终保持平面，且子午面之间的夹角保持不 变。轴对称问题通常采用圆柱坐标系 比较方便。当用圆柱坐标表 示应力单元体时，如图15-9所示，应力张量的表示形式为 ),(z （15-40） zzz z z ij 图15-9 圆柱坐标系中的应力单元体 （15-42） 0 1 0 2 1 0 1 z z zz z z zz z z z w u v u z )( 1 )( 2 1 ) 1 ( 2 1 )

15、1 ( 2 1 z uw w z v uvv z z 相应的应力平衡微分方程表示为 （15-41） 参照式(15-16)，圆柱坐标系下的几何方程为 图15-10 轴对称应力状态 轴对称状态时，如图15-10所示，由于子午面在变形中始终不 会发生扭曲，并保持其对称性，所以应力状态具有以下特点： 1）在 面上没有切应力， ，所 以应力张量中只有四个独立的应力分量； 2）各应力分量与 坐标无关，对 的偏导数为 零。 0 z 所以，用圆柱坐标表示轴对称应力状态的应力张量为 zz z ij 0 00 0 （15-43） 相应地，其应力平衡微分方程式为 0 0 z z z z z z (15-44) 在某

16、些情况下，例如圆柱体在平砧间均匀镦粗、圆柱体坯料的均匀挤压 和拉拔等，其径向应力和周向应力相等 ，这样，在式（15-41）的 应力平衡微分方程式中，便只有三个独立的应力分量。 轴对称变形时，子午面始终保持平面， 向没有位移速度，位移分量 =0，各位移分量均与 无关，由此， ， 向成为应变主方 向，这时，几何方程简化为 0 z )( 2 1 z uw u z w u z z （15-45） 所以 uu 对于均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔，以及圆柱体 平砧镦粗等，其径向位移分量u与 坐标成线性关系， 于是得 这时，径向正应力和周向正应力分量也相等，即 。 图15-5 位移分量与应变分量的关

17、系 y y v v y y u u x x v v x x u u b b c c d d d d （b） （c） x u x u x uuu x dd cc y v y v y vvv y dd bb y v y u y y v y u vyvv uuu 1d)1 ( d y d tan b b 21 12 yx ba bb 以及棱边ab（dy）在y 方向的线应变 由图中的几何关系，可得 y y v y u yxyx tan x v xyxy tan x v y u yxxyyxxy )( 2 1 x v y u yxxy 因为， 同理得 则工程切应变为 切应变为 （15-14） （15-1

18、5） 其值远小于1，所以有 z w y v x u z y x )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w y w z v x v y u xzzx zyyz yxxy i j j i ij x u x u 2 1 用角标符号可简记为 （15-16） （15-17） )( 2 2 2 y u yxy x )( 2 2 2 x v yxx y yxx v y u yxxy xyy x 2 2 2 2 2 2 2)( )( 2 1 2 2 2 2 2 xyyx y x xy )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 zxxz y

19、zzy xyyx xzzx z yyz y x xy 两式相加，得 即 同理可得另外两式，连同上式综合在一起可得 （15-18） （15-19） )( 2 1 22 zx v zy u z xy )( 2 1 22 xy w xz v x yz )( 2 1 22 yz u yx w y zx zx v yxz zx yzxy 2 zxy v zxzx v yyxzy y zx yzxy 2 22 )()()( 对式（15-16）中的三个切应变等式分别对x、y、z求偏导，得 将上面的前两式相加后减去第三式，得 再对上式两边对y求偏导数，得 （15-20a） （15-20b） （15-20c）

20、yxzyxz xzyxzy zyxzyx z xy zx yz y zx yzxy x yzxy zx 2 2 2 )( )( )( 与另外两式组合得 （15-21） 0 Vzyxddd 1 Vzyxzyxddd)1 (d)1 (d)1 (d)1 ( zyxzyx = 0 01 V VV zyx （15-22） = 0 321 zyx （15-23） t u u i i 3 , 2 , 1,lkji 其中，lki，llj为新坐标系的坐标轴关于 原坐标系的方向余弦。 表示点应力状态的九个应力分量构成二 阶张量，称为应力张量。 不同坐标系中的应力分量之间的转换关系 三、张量的基本性质 张量不变量：

21、 二阶张量存在三个独立的不变量。 张量可以叠加和分解： 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个 同阶张量。 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反 对称张量。 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 以主轴为坐标轴，两个下角标不同的分量均为零， 只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。 14.2外力、应力和点的应力状态 F F F 一、外力和应力 外力：塑性加工时，由外部施加于物体的 作用力叫外力。可以分为两类：面力或 接触力和体积力 面力：作用于物体表面的力，也叫接触 力，如作用于物体表面的分布载荷，正 压力和摩擦力都是面力。 体积力：作

22、用在物体每个质点上的力， 如重力、磁力和惯性力等。 注：对于一般的塑性成形过程，体积力可 以忽略不计。但在高速成形时，惯性力 不能忽略。 应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作 用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截 面法进行分析。 设Q点处一无限小的面积F上内力的合力为P ，则定义 S F P F P d d lim 0F 为截面F上Q点的全应力，可以分解成两 个分量：垂直于截面的正应力和平行于 截面的切应力，有 222 S 注：过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上， Q点的应力不同。 二、直角坐标系中一点的应力状态 坐标面上的应力： 在三个互相垂直的微分面

23、上有三个正应力分量和六 个切应力分量； 一般情况下，共有9个应力分量完整地描述一点的 应力状态。 图 14-3 直角坐标系中单元体的应力分量 zzyzx yzyyx xzxyx 作用在x面上 作用在y面上 作用在z面上 作用方向为 z 作用方向为 y 作用方向为 x 1）应力分量的符号带有两个下角标： 前一个角标表示该应力分量所在的坐标面（用该面 的法线命名）； 第二个角标表示应力所指的坐标方向； 正应力分量的两个下角标相同，两个下角标不同的 是切应力分量。 切应力互等定理 9个应力分量中只有6个 是互相独立的，它们组 成对称的应力张量。 xzzxzyyzyxxy ； 2）应力分量有正、负之分

24、： 外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为 负面； 在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向 相反方向的取负号； 负面上的应力分量则相反。按此规定，拉应力为正， 压应力为负。 任意斜面上的力： 已知变形体中一点的九个应力分量，由静力平衡条件 ，可求得过该点的任意斜面上的应力。 图 14-4 任意斜切微分面上的应力 已知Q点三个互相垂直坐标 面上的应力分量ij，过Q点任 一斜面ABC（面积为dF）的法 线N与三个坐标轴的方向余弦 为l，m，n， l=cos(N,x) m=cos(N,y) n=cos(N,z) 分析： 1）斜面在三个坐标面的投影面积分别为 dFx=ldF；dFy=mdF； dFz=ndF 2）设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向上的 分量为Sx、Sy、Sz，由静力平衡条件， 得： 整理得 （14-6） (应力边界条件) 用角标符号简记为 0dddd zxyxx FzFFFS yxx 0 x P nmlS nmlS nmlS zyzxzz zyyxyy zxyxxx zyxjilS iijij ， 全应力 2222 zyx SSSS 3）斜面上的正应力 斜面上的切应力为 222 S （14-8） nSmSlS zyx )(2 222 nlmnl