第七章微分方程5,6,7,8节

1、v 一阶微分方程内容回顾：一阶微分方程内容回顾： 1 1、可分离变量可分离变量方程方程 （主要步骤）（主要步骤） ()f x dxg y dy （1 1）分离变量）分离变量: : （2 2）两端积分）两端积分: : ()gyfxdxyd 2 2、齐次方程、齐次方程( ) dy f dx y x （解题思路：通过解题思路：通过变量代换变量代换转化成转化成可分离可分离变量型变量型） , y u x 主要步骤：再分离变量 2 1(1)2yxxy引例：求的通解 2 ( d2 1) dyxx yx 两端积分两端积分: : 2 dd2 (1) yxx yx 2 lnln(1)ln,yxC 2 2 d(1)

2、 (1)x x 2 (1)yCx即通解为 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程. （1） 一阶一阶齐次线性齐次线性方程方程. 0)( yxP dx dy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 ( )P x dx yCe 2、一阶、一阶非齐次线非齐次线性方程性方程( )(. ) dy yx dx QPx 非齐次线性方程的通解：非齐次线性方程的通解： )( )( ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC ( ) ( ). P x dxP x dxP x dx yeQ x edxCe 对应齐次对应齐次 方程通解方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解 也可为也可为 教学内容：教学内容： 1

3、 2 3 重点与难点重点与难点 型的微分方程型的微分方程 )( )( xfy n ),(yxfy ),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 型的微分方程型的微分方程 根据具体类型进行降阶根据具体类型进行降阶 1、 型的微分方程型的微分方程 ( )yf x 1 cossinyxdxCx 211 (sin)cosyxC dxxCxC 例例1 求方程求方程 的通解的通解 xycos 解解 因为因为 ，所以，所以xycos )( )( xfy n 例例2. .cos 2 xey x 求解 解解: 2 1 cos x yex dxC 2 1 1 sin 2 x exC x ey 2 4 1 x ey 2

4、 8 1 11 2 1 CC此处 xsin 2 1x C 23 CC x xcos 21 CC x ：)( )( xfy n 令令, ) 1( n yz )( d d n y x z 则 因此因此 1 d)(Cxxfz 即即 1 ) 1( d)(Cxxfy n 同理可得同理可得 2 )2( d Cxy n 1 d)(Cxxf xd xxfd)( , )(xf 21 CxC 型的微分方程型的微分方程 ),(yxfy 例例3. 求解求解 yxyx 2)1( 2 ,1 0 x y3 0 x y 解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得代入方程得 pxpx2)1( 2 )1( d2d 2 x xx

5、 p p 积分得积分得,ln)1(lnln 1 2 Cxp )1( 2 1 xCp即 ,3 0 x y利用利用, 3 1 C得 于是有于是有)1(3 2 xy 两端再积分得两端再积分得 2 3 3Cxxy 利用利用,1 0 x y, 1 2 C得 13 3 xxy 因此所求特解为因此所求特解为 ),(yyfy 令令 ,yp d d p yp x 则 dd dd p y y x d d p p y 例例4. 求解求解.0 2 yyy 解解: ( )y 代入方程得代入方程得,0 d d 2 p y p py y y p pdd 即 两端积分得两端积分得,lnlnln 1 Cyp , 1y Cp 即

6、 yCy 1 故所求通解为故所求通解为 xC eCy 1 2 例例5. 解初值问题解初值问题 解解: 令令 0 2 y ey ,0 0 x y1 0 x y ( ), dy p d y x d , d p yp y 则 代入方程得代入方程得 yepp y dd 2 积分得积分得 1 2 2 1 2 2 1 Cep y 利用初始条件利用初始条件, 01 00 xy yp, 0 1 C得根据根据 y ep x y d d 积分得积分得, 2 Cxe y , 0 0 x y再由 1 2 C得 故所求特解为故所求特解为 xe y 1 得得 在实际解高阶微分方程时，还可考虑一些在实际解高阶微分方程时，还

7、可考虑一些的技的技 巧巧 例例6. 求解求解 2 10.yyy 解：解： 方程的左边可写成方程的左边可写成 ()x dx y d y 故得：故得： 1 yyxC 分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解 22 12 2yC xxC )(. 1 )( xfy n 逐次积分 ),(. 2yxfy 令 , )(xpy x p y d d 则 ),(. 3yyfy 令, )(ypy y p py d d 则 1. 方程方程 )(yfy 如何代换求解如何代换求解 ? 答答: 令令)(xpy 或或 )(ypy 一般说一般说, 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有时用后者方便有时用

8、后者方便 .例如例如, 2 )(y ey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答答: (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时遇到开平方时, 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号. 教学内容：教学内容： 1 2 3 重点与难点重点与难点 理解线性方程解的结构理解线性方程解的结构 二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程举例 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构 线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时, 物体处于物体处于 平衡状态平

9、衡状态, 例例1. 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动力作用下作往复运动, x x o 解解: 阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向若用手向 物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设设时刻时刻 t 物位移为物位移为 x(t). (1) 自由振动情况自由振动情况. 弹性恢复力弹性恢复力 物体所受的力有物体所受的力有: (虎克定律虎克定律)xcf 成正比成正比, 方向相

10、反方向相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程. 据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得 t x xc t x m d d d d 2 2 , 2 m c k,2 m n 令则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动方程: 0 d d 2 d d 2 2 2 xk t x n t x 阻力阻力 t x R d d (2) 强迫振动情况强迫振动情况. 若若物体在运动过程中还受铅直外力物体在运动过程中还受铅直外力 作用，t pHFsin，令 m h H 则得则得强迫振动方程强迫振动方程: t phxk t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 求电容器两两极板间电压求电容器两两

11、极板间电压 0 d d iR C q t i LE 例例2. 联组成的电路联组成的电路, 其中其中R , L , C 为常数为常数 ,sintEE m 所满足的微分方程所满足的微分方程 . c u 提示提示: 设电路中电流为设电路中电流为 i(t), L E R K C qq i上的电量为上的电量为 q(t) , 自感电动势为自感电动势为, L E 由电学知由电学知 , d d t q i , C q uC t i LEL d d 根据回路电压定律根据回路电压定律: 设有一个电阻设有一个电阻 R , 自感自感L ,电容电容 C 和电源和电源 E 串串 极板极板 在闭合回路中在闭合回路中, 所有

12、支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0 LCL R1 , 2 0 令 t LC E u t u t u m C CC sin d d 2 d d 2 0 2 2 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得则得 0 d d 2 d d 2 0 2 2 C CC u t u t u L E R K C qq i 2 2 d d t u CL C t u CR C d d C utEmsin 化为关于化为关于 c u的的方程方程:, d d t u Ci C 注意故有故有 的一般形式为的一般形式为 方程的方程的共性共性 为

13、为二阶线性微分方程二阶线性微分方程. 例例1例例2 , )()()(xfyxqyxpy 可归结为可归结为同一形式同一形式: )()()()( 1 ) 1( 1 )( xfyxayxayxay nn nn 时时, 称为称为非齐次非齐次方程方程 ; 0)(xf时时, 称为称为齐次齐次方程方程. 复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy 通解通解: xexQe xxPxxP d)( d)(d)( xxP eCy d)( 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y y 0)(xf )( 11 yCxP )( 11 yCxQ 0 证毕证毕 )(),( 21 xyxy若函数 是

14、二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程 0)()( yxQyxPy 的两个解的两个解, 也是该方程的解也是该方程的解. 证证:)()( 2211 xyCxyCy将代入方程左边代入方程左边, 得得 11 y C 22 yC 22 yC 22 yC )()( 1111 yxQyxPyC )()( 2222 yxQyxPyC )()( 2211 xyCxyCy则),( 21 为任意常数CC 不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解. 例如例如,)( 1 xy是是某二阶齐次方程的解某二阶齐次方程的解, )(2)( 12 xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 )()2()()( 121221

15、1 xyCCxyCxyC 并不是通解并不是通解 但是但是 )()( 2211 xyCxyCy 则则 为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 定义定义:)(,),(),( 21 xyxyxy n 设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数, 21n kkk使得使得 1122 ( )( )( )0, nn k y xk yxk yxxI 则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上, 否则称为否则称为 例如，例如， ,sin,cos,1 22 xx在在( , )上都有上都有 22 1 cossin0 x

16、x 故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关; 又如，又如，,1 2 xx若在某区间若在某区间 I 上上 2 123 0,kk xk x 则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点 , 321 ,kkk 必需全为必需全为 0 , 可见可见 2 ,1xx故在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关. 若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数 两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的: )(),( 21 xyxy线性相关线性相关存在存在不全为不全为 0 的的 21, k k使使 1122 ( )( )0k

17、 y xk yx 12 21 ( ) ( ) y xk yxk ( 无妨设无妨设 )0 1 k )(),( 21 xyxy线性无关线性无关 )( )( 2 1 xy xy 常数常数 )(),( 21 xyxy若 中有一个恒为中有一个恒为 0, 则则 )(),( 21 xyxy 必线性必线性 )(),( 21 xyxy若是二阶线性齐次方程的是二阶线性齐次方程的两个线两个线 性无关特解性无关特解, 则则)()( 2211 xyCxyCy 数数) 是该方程的是该方程的通解通解. 例如例如, 方程方程0 yy 有有特解特解,cos 1 xy ,sin 2 xy 且且 常数常数, 故方程的故方程的通解通

18、解为为xCxCysincos 21 (自自证证) n yyy, 21 若是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 0)()()( 1 ) 1( 1 )( yxayxayxay nn nn 的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则则方程的通解方程的通解为为 )( 11 为任意常数 knn CyCyCy x y tan 2 1 y 为任意常 21, (CC )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程 的一个的一个特解特解, )(*)(xyxYy , 定理定理 3. )()()(xfyxQyxPy 则则 是是非齐次方程的通解非齐次方程的通解 . 证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端,

19、得得 )*( yY)*( )(yYxP )*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf )*( )(yYxQ )(*)(xyxYy故 是非齐次方程的解是非齐次方程的解, 又又Y 中含有中含有 两个独立任意常数两个独立任意常数, 例如例如, 方程方程xyy 有有 xy * xCxCYsincos 21 0 yy 有有 因此该因此该为为 xxCxCysincos 21 证毕证毕 因而因而 也是通解也是通解 . ), ,2, 1()(nkxyk 设分别是方程分别是方程 的的,是方程是方程 ),2, 1()()()(nkxfyxQyxPy k n k k yy 1 则 )

20、()()( 1 xfyxQyxPy n k k 的的. 定理定理3, 定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. )(,),(),( 21 xyxyxy n 设是是 )(*)()()( 2211 xyxyCxyCxyCy nn , 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程 )()()( ) 1( 1 )( xfyxayxay n nn )()(xyxY )(* xy 则非齐次方程则非齐次方程 的的为为 常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ). 321 ,yyy设线性无关函数设线性无关函数 都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线 性方程性方程)()()

21、(xfyxQyxPy 的解的解, 21,C C是任意是任意 ;)( 32211 yyCyCA ;)()( 3212211 yCCyCyCB ;)1()( 3212211 yCCyCyCC .)1()( 3212211 yCCyCyCD D 例例3. 提示提示: 3231 ,yyyy 都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解, 二者线性无关二者线性无关 . 3322311 )()()(yyyCyyCC 3322311 )()()(yyyCyyCD 例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解, 2 321 xx eyeyxy求此求此方程满足初始条件方程满足初始条件

22、3)0(, 1)0(yy的的特解特解 . 解解: 1312 yyyy与是是对应齐次方程的解对应齐次方程的解, 且且 xe xe yy yy x x 2 13 12 常数常数 因而因而, 故原故原方程通解为方程通解为 )()( 2 21 xeCxeCy xx x 代入初始条件代入初始条件 , 3)0(, 1)0(yy,2, 1 21 CC得 .2 2xx eey 故所求特解为故所求特解为 有有三三 基本思路基本思路: 求解求解常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程 求求(代数方程代数方程)之根之根 (叠加原理叠加原理) ),( 21 为任意常数CC 1、 的解的性质的解的性质0ypyqy

23、21 ,( )y xyx是是0ypyqy的两个的的两个的解解,若若 也是该方程的也是该方程的解解. 1212 ( )( )yCCyyxx 则有则有 2、 的的通解通解的结构的结构0yyypq 则则)()( 2211 xyCxyCy是该方程的是该方程的通解通解. . 21 ,( )y xy x是是0ypyqy的两个的两个线性无关线性无关的的解解,若若 ),( 21 为任意常数CC 3、如何求、如何求 的的通解？通解？0yyypq r x ye( ),设有一设有一特解特解： )()( 2211 xyCxyCy通解通解结构：结构： ),( 21 为任意常数CC 21 ,( )y xy x 其中其中

24、是两个是两个线性无关线性无关的的。 代入原方程得代入原方程得 2 ()0 r x rprq e 2 0rprq其根其根称为称为. 2 1,2 4 2 ppq r 故可根据特征根寻求线性无关的特解，进而得通解。故可根据特征根寻求线性无关的特解，进而得通解。 ),(0为常数qpyqypy 结论结论: 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 1、求方程、求方程0 yay的通解的通解 . 答案答案:0a通解为通解为 xCCy 21 :0a 通解为通解为 xaCxaCysincos 21 :0a 通解为通解为 xaxa eCeCy 21 2、求以、求以 为通解的

25、微分方程为通解的微分方程 。 23 12 xx yC eC e 答案答案:560yyy 1( )( ) x m eP xf x 、型 2( )cos( )sin( ) x ln eP xxfPxxx 、型 ( )ypyf xqy),(为常数qp 1) 线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程 的的, Y (x) 是是 , 定理定理 2. )()()(xfyxQyxPy (0( )yP x yQ x y ( )*( )yYyxx则则 是是 . 证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得 )*( yY)*( )(yYxP )*)(*)(*(

26、yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf )*( )(yYxQ )(xfyqypy ),(为常数qp 二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为 Yy *y 特解特解通解通解 求求特解特解的方法的方法 待定系数法待定系数法 1( )( ) x m f xeP x 、型 2( )( )cos( )sin x ln f xeP xxP xx 、型 1( )( ) x m f xeP x 、型 ( )ypyf xqy 求特解的方法求特解的方法 待定系数法待定系数法 *( )(0,1, 2) m kx yx Q

27、x ek 特解特解 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解的一个特解. 解解: 本题本题而特征方程为而特征方程为 ,032 2 rr 不是特征方程的根不是特征方程的根 . 设所求特解为设所求特解为,* 10 bxby代入方程代入方程 : 13233 010 xbbxb 比较系数比较系数, 得得 33 0 b 132 10 bb3 1 ,1 10 bb 于是所求特解为于是所求特解为. 3 1 *xy 0 ,0 例例2. x exyyy 2 65 求方程的的通解通解. 解解: 本题本题特征方程为特征方程为 ,065 2 rr 其根为其根为 对应齐次方程的对应齐次方程的通解通解为为 xx eCe

28、CY 3 2 2 1 设非齐次方程设非齐次方程特解特解为为 x ebxbxy 2 10 )(* 比较系数比较系数, 得得 12 0 b 02 10 bb 1, 2 1 10 bb 因此特解为因此特解为.)1(* 2 2 1x exxy 3, 2 21 rr 代入方程得代入方程得xbbxb 010 22 所求通解为所求通解为 xx eCeCy 3 2 2 1 .)( 22 2 1x exx ,2 思考与练习思考与练习 时可设特解为时可设特解为 x exf2)() 1当 x exxf 2 )()2当 x eby 0 * *y x exbxbb)( 2 210 )(xfyy 时可设特解为时可设特解为

29、 1 . (填空填空) 设设 时可设特解为时可设特解为 xxf)()3 当 xbby 10 * 2 . 若微分方程变为若微分方程变为 如何设如何设 特解？特解？ )(xfyy 练习题：练习题： 通解通解: 1、求、求 的的通解通解. 2、求、求 2321yyyx 2 23 x yyye 3 12 21 39 xx C eC exy 23 12 1 5 xxx C eC eey 的的通解通解. 3、求、求233yyy 3 12 1 xx CyeC e 的的通解通解. 4、求、求23 x yyye 3 12 () 4 xx x yC eCe 的的通解通解. 通解通解: 通解通解: 通解通解: xx

30、PxxPe nl x sin)( cos)( 对非齐次方程对非齐次方程 yqypy ),(为常数qp xRxRexy mm xk sin cos* 则可设特解则可设特解: 其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), i lnm,max 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形. 2、型 xxPxxPexf nl x sin)( cos)()( 例例3. xxyy2cos 求方程的一个特解的一个特解 . 解解: 本题本题 特征方程特征方程 , 2, 0 故设特解为故设特解为 xdxcxbxay2sin)(2cos)(* 不是特征方程的根不是

31、特征方程的根,ii2 代入方程得代入方程得 xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433( 01 2 r ,)(xxP l , 0)( xP n 比较系数比较系数 , 得得 9 4 3 1 , da .2sin2cos* 9 4 3 1 xxxy 于是求得一个特解于是求得一个特解 13 a 043cb 03 c 043ad 0 cb 例例4. xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为 , 09 2 r 其根为其根为 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 xCxCY3sin3cos 21 )3sin3cos(*xbxaxy

32、比较系数比较系数, 得得,5a,3b 因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxy ir3 2, 1 代入方程代入方程: xaxb3sin63cos6 所求通解为所求通解为 xCxCy3sin3cos 21 为特征方程的单根为特征方程的单根 , i3 )3sin33cos5(xxx xx3sin303cos18 因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为 ), ,2, 1()(nkxyk 设分别是方程分别是方程 的特解的特解,是方程是方程 ),2, 1()()()(nkxfyxQyxPy k n k k yy 1 则 )()()( 1 xfyxQyxPy n k k 的特解的特解.

33、 () 例例5：设：设 的特解形式的特解形式: 2 cos2 x yyxxe 2 *()cos2()sin2 x yaxbxcxdxke 例例6. xyyysin2) 1 ( )4( 解解: (1) 特征方程特征方程 , 012 24 rr , 0)1( 22 r即 有二重根有二重根 , ir所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为 (* 2 xy )sincosxbxa (2) 特征方程特征方程 , 0 24 rr0)1( 22 rr即有根有根 irr 4,32, 1 , 0 xexyy x sin3)2( )4( 利用叠加原理利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为

34、)(* 2 baxxy x ce)sincos(xkxdx 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 内容小结内容小结 x m exPyqypy )(. 1 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根, x m k exQxy )(* 则设特解为则设特解为 sin)( cos)(. 2xxPxxPeyqypy nl x 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1 )重根重根, i xk exy * 则设特解为则设特解为 sin)( cos)(xxRxxR mm nlm,max 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方

35、程的情形. ),(yxfy 1、 型的微分方程型的微分方程 2、 型的微分方程型的微分方程 ( )yf x ),(yyfy 3、 型的微分方程型的微分方程 对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解 设设( ),yp x ,py 则 化为化为一阶方程一阶方程),(pxfp 令令( ),yp y d d p yp y 则 故方程化为故方程化为),( d d pyf y p p 4、二阶常系数齐次线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程: ),(0为常数qpyqypy ,0 2 qrpr 特征方程特征方程: xrxr eCeCy 21 21 21, :rr

36、特征根 21 rr 实根实根 2 21 p rr xr exCCy 1 )( 21 ir , 21 )sincos( 21 xCxCey x 特特 征征 根根通通 解解 ( ) x m ypyqyP xe ),(为常数qp 5、二阶常系数线性非齐次微分方程、二阶常系数线性非齐次微分方程 : 通解结构为通解结构为( )yY x*y 非齐次方程特解非齐次方程特解 齐次方程通解齐次方程通解 ( )(0,1, 2)* kx m x Qx eky 特解特解 xxPxxPe nl x sin)( cos)( 对非齐次方程对非齐次方程 yqypy ),(为常数qp xRxRexy mm xk sin cos

37、* 则可设特解则可设特解: 其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), i lnm,max 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形. 6、型 xxPxxPexf nl x sin)( cos)()( ),(0为常数qpyqypy 特征方程特征方程： 1. 当当04 2 qp时时, 有有, 21 r ,r 方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:, 1 1 xr ey , 2 2 xr ey 因此方程的通解为因此方程的通解为 xrxr eCeCy 21 21 则则微分微分 r x ye( ),特解特解： 2 0rprq ： 2

38、1,2 4 2 ppq r 2. 当当04 2 qp 时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根 21 rr 则微分方程有则微分方程有 21 ( )uyx y设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定) 代入方程得代入方程得: 1 xr e )( 1u rup0uq )2( 2 11 ururu 1 r注意是特征方程的重根是特征方程的重根 0 u 取取 u = x , 则得则得, 1 2 xr exy 因此原方程的通解为因此原方程的通解为 xr exCCy 1 )( 21 , 2 p . 1 1 xr ey 1 ( ) r x u x e 0)()2( 1 2 11 uqrprup

39、ru 3. 当当04 2 qp 时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根 irir 21 , 这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解: xi ey )( 1 )sin(cosxixe x xi ey )( 2 )sin(cosxixe x 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解: )( 21 2 1 1 yyy )( 21 2 1 2 yyy i xe x cos xe x sin 因此原方程的通解为因此原方程的通解为 )sincos( 21 xCxCey x )(xQe x )()2(xQp)()( 2 xQqp )(xPe m x 1、 型)()(xPexf m x 为实数为实数