数字电路讲义PPT 第一章

1、第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础 第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础 本章将依次讨论数字系统中本章将依次讨论数字系统中数的表示方法数的表示方法、 常用的几种常用的几种编码编码，然后介绍，然后介绍逻辑代数逻辑代数的基本概念和的基本概念和 基本理论，说明基本理论，说明逻辑函数逻辑函数的基本表示形式及其化简的基本表示形式及其化简 。 逻辑函数及其化简。逻辑函数及其化简。 重点重点: : 二进制数、二进制数、 常用的几种编码、常用的几种编码、 逻辑代数基础、逻辑代数基础、 第一节第一节 数制与编码数制与编码 数制数制 不同数制之间的转换不同数制之间的转换 二进制正负数的表示及运算二进制正负数

2、的表示及运算 常用的编码常用的编码 第一节第一节 数制与编码数制与编码 一、数制一、数制 2 3 21031 203 + + 2 3 十位数字十位数字2个位数字个位数字3 权值 基数：基数： 由由09十个数码组十个数码组 成，基数为成，基数为10。 位权：位权： 102 101 100 10-1 10-2 10-3 计数规律：计数规律： 逢逢10进一进一 权值 1010的幂的幂 十进制（十进制（Decimal） 10-1 权权 权权 权权 权权 任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。 (652.5)D 位置计数法位置计数法 按按权权展开

3、式展开式 (N)D=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)D 1 10 n mi i i K =Kn-1 10n-1 + +K1101 + K0100 + K-1 10-1 + + K-m 10-m 十进制（十进制（Decimal） 第一节第一节 数制与编码数制与编码 = 6 102+ 5 101 + 2 100+ 5 下标下标D表示十进制表示十进制 二进制（二进制（Binary） 第一节第一节 数制与编码数制与编码 只由只由0、1两个数码和小数点组成，两个数码和小数点组成， 不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值2i。 基数基数2，逢二进一逢二进一 任意一个二进制数，都

4、可按其权位展成多项式的形式。任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。 1 2 n mi i i K (N)B=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)B =Kn-1 2n-1 + +K121 + K020 + K-1 2-1 + + K-m 2-m 下标下标B表示二进制表示二进制 任意任意R进制进制 只由只由0 （R-1）R个数码和小数点组成，个数码和小数点组成， 不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值Ri， 基数基数R，逢逢R进一进一。 1n mi i R i K (N)R=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)R =Kn-1 Rn-1 + +K1R1 + K

5、0R0 + K-1 R-1 + + K-m R-m 任意一个任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式。进制数，都可按其权位展成多项式的形式。 常用数制对照表常用数制对照表 十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 10

6、 11 12 13 14 15 16 17 8 9 A B C D E F 第一节第一节 数制与编码数制与编码 二、不同数制之间的转换二、不同数制之间的转换 二进制转换成十进制二进制转换成十进制 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 二进制转换成十六进制二进制转换成十六进制 十六进制转换成二进制十六进制转换成二进制 例：例： ( 10011.101 )B= ( ？ )D (10011.101)B124023022121120 12 1 02 2 12 3 二进制转换成十进制二进制转换成十进制 利用二进制数的利用二进制数的按权展开按权展开 式式，可以将任意一个二进制数，可以将任意一个二进制数 转

7、换成相应的十进制数。转换成相应的十进制数。 （19.625）D 第一节第一节 数制与编码数制与编码 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 整数部分的转换整数部分的转换 除基取余法除基取余法：用目标数制的：用目标数制的基数基数（R=2=2）去除去除十进制数，十进制数， 第一次第一次相除所得余数为目的数的相除所得余数为目的数的最低位最低位K0 0，将所得将所得商商再除以再除以 基数基数，反复执行上述过程，反复执行上述过程，直到商为直到商为“0”“0”，所得余数为目所得余数为目 的数的的数的最高位最高位Kn-1 -1。 。 例：（例：（29）D=（？）（？）B 29147310 2 2 2 2 2

8、1 K0 0 K1 1 K2 1 K3 1 K4LSBMSB 得（得（29）D=（11101）B 第一节第一节 数制与编码数制与编码 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 小数部分的转换小数部分的转换 乘基取整法乘基取整法：小数小数乘以目标数制的乘以目标数制的基数基数（R=2=2），），第一次第一次相相 乘结果的乘结果的整数整数部分为目的数的部分为目的数的最高位最高位K-1 -1， ，将其小数部分再乘将其小数部分再乘 基数依次记下整数部分，反复进行下去，基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为直到小数部分为 “0”“0”，或满足要求的，或满足要求的精度精度为止（即根据设备字长限制，取

9、有为止（即根据设备字长限制，取有 限位的近似值）。限位的近似值）。 例：将十进制数例：将十进制数（0.723）D转换成转换成不大于不大于2-6的二的二 进制数。进制数。 不大于不大于2-6 ， ，既要求保留到 既要求保留到 小数点后第六位。小数点后第六位。 例：将十进制数例：将十进制数（0.723）D转换成转换成不大于不大于2-6的二进的二进 制数。制数。 0.723 2 K-1 1 0.446 K-2 0.892 K-3 0.784 K-4 0.568 K-5 0.136 由此得：由此得：(0.723)D=(0.101110)B 十进制十进制二进制二进制八进制、十六进制八进制、十六进制 第一

10、节第一节 数制与编码数制与编码 0.272 2 2 2 2 2 01 110 K-6 从从小数点小数点开始，将二进制数的整数和小数部分开始，将二进制数的整数和小数部分每四每四 位位分为分为一组一组，不足不足四位的分别在整数的最高位前和小数四位的分别在整数的最高位前和小数 的最低位后的最低位后加加“0”“0”补足，然后每组用等值的十六进制码补足，然后每组用等值的十六进制码 替代，即得目的数。替代，即得目的数。 例例： （1011101.101001）B = （?）H ( (1011101.101001） B = （5D.A4） H 1011101.101001 小数点为界小数点为界 000 D5

11、A4 二进制与十六进制之间的转换二进制与十六进制之间的转换 第一节第一节 数制与编码数制与编码 第一节第一节 数制与编码数制与编码 二进制与八进制之间的转换二进制与八进制之间的转换 从从小数点小数点开始，将二进制数的整数和小数部分开始，将二进制数的整数和小数部分每三每三 位位分为分为一组一组，不足不足三位的分别在整数的最高位前和小数的三位的分别在整数的最高位前和小数的 最低位后最低位后加加“0”“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，补足，然后每组用等值的八进制码替代， 即得目的数。即得目的数。 例例：（：（11010111.0100111）B = （?）Q （11010111.010011

12、1）B = （327.234 ）Q 11010111.0100111 小数点为界小数点为界 000 723234 补码分为两种：补码分为两种：基数的补码基数的补码和和降基数的补码降基数的补码。 上一节介绍的十进制和二进制数都属于上一节介绍的十进制和二进制数都属于原码原码。 各种数制都有各种数制都有原码原码和和补码补码之分。之分。 第一节第一节 数制与编码数制与编码 三、二进制正负数的表示及运算三、二进制正负数的表示及运算 NN n 2 补 n是二进制数是二进制数N整数部分的位数。整数部分的位数。 二进制数二进制数N 的基数的补码又称为的基数的补码又称为2 2的补码，的补码， 常简称为常简称为补

13、码补码，其定义为，其定义为 例：例：1010补 补=24-1010=10000-1010=0110 1010.101补 补=24-1010.101=10000.000- 1010.101 =0101.011 二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 1010.101反 反=(24-2-3)-1010.101 =1111.111-1010.101 =0101.010 n是二进制数是二进制数N整数部分的位数，整数部分的位数，m是是N的小数部分的位数。的小数部分的位数。 第一节第一节 数制与编码数制与编码 例：例： 1010反 反=(24-20)-1010=1111-1010=0101 二进制数二

14、进制数N的降基数补码又称为的降基数补码又称为1的补码，习惯的补码，习惯 上称为上称为反码反码，其定义为，其定义为 NN mn )22( 反 二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 N反 反=01001001 第一节第一节 数制与编码数制与编码 二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 例：例： N =10110110 根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有 效位加效位加1得到。得到。 N补 补= 无论是补码还是反码，按定义无论是补码还是反码，按定义再求补或求反再求补或求反 一次，将还原为原码。一次，将还原为原码。 01001001 + 00000

15、001 01001010 01001010 即即N补 补= N反反+1 +1 即即N补 补补补= N原原 第一节第一节 数制与编码数制与编码 例：例： (+43)D 二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三 种表示方法。对于种表示方法。对于正数正数而言，三种表示法都是一样而言，三种表示法都是一样 的，即的，即符号位为符号位为0，随后是，随后是二进制数的绝对值二进制数的绝对值，也，也 就是原码。就是原码。 二进制正负数的表示法二进制正负数的表示法 符号位符号位绝对值绝对值 二进制负数的原码、反码和补码二进制负数的原码、反码和补码 = 00101011 例：

16、例： -25原 原= 1 0011001 -25反 反= 1 1100110 -25补 补= 1 1100111 符号位符号位“1”加原码加原码 符号位符号位“1”加反码加反码 符号位符号位“1”加补码加补码 补码运算：补码运算： X1反 反+X2反反 = X1+X2反反 符号位参加运算符号位参加运算 X1补 补+X2补补 = X1+X2补补 符号位参加运算符号位参加运算 在数字电路中，用原码求两个正数在数字电路中，用原码求两个正数M和和N的减法运算的减法运算 电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可把原码的把原码的 减法运算变成反码或补码的加法运算减法

17、运算变成反码或补码的加法运算，易于电路实现。，易于电路实现。 补码的算术运算补码的算术运算 反码运算反码运算 ： 第一节第一节 数制与编码数制与编码 例：例： X1 = 0001000，X2 = -0000011， 求求X1+ X2 解：解： X1反 反+X2反反 = X1+X2反反 X1反 反 = 0 0001000 X2反 反 = 1 1111100 +） 1 0 0000100 +） 1 X1反 反+X2反反= 0 0000101 反码在进行算术运反码在进行算术运 算时不需判断两数符算时不需判断两数符 号位是否相同。号位是否相同。 当符号位有进位时需循当符号位有进位时需循 环进位，即把符

18、号位进环进位，即把符号位进 位加到和的最低位。位加到和的最低位。 故得故得X1+ X2 = + 0000101 例：例： X1 =-0001000，X2 = 0001011， 求求X1+ X2 解：解： X1补 补+X2补补 = X1+X2补补 X1补 补 = 1 1111000 X2补 补 = 0 0001011 +） 1 0 0000011 X1补 补+X2补补 = 0 0000011 符号位参加运算。符号位参加运算。 不过不需循环进位，如不过不需循环进位，如 有进位，自动丢弃。有进位，自动丢弃。 故得故得 X1+ X2 = + 0000011 自动丢弃自动丢弃 第一节第一节 数制与编码数

19、制与编码 四、常用的四、常用的编码编码 二二十进制码十进制码 格雷码格雷码 校验码校验码 字符编码字符编码 （一（一）二二十进制码（十进制码（BCD码码） 有权码有权码 8421BCD码码 用四位自然二进制码的用四位自然二进制码的16种组合种组合 中的前中的前10种，来表示十进制数种，来表示十进制数09， 由高位到低位的权值为由高位到低位的权值为23、22、21、 20，即为，即为8、4、2、1，由此得名。，由此得名。 用文字、符号或数码表示特定用文字、符号或数码表示特定 对象的过程称为编码。对象的过程称为编码。 此外，有权的此外，有权的BCD码还有码还有2421BCD 码和码和5421BCD

20、码等。码等。 无权码无权码 余三码是一种常用的无权余三码是一种常用的无权BCD码。码。 常用的常用的BCD码码 十进制十进制 8421BCD码码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2421BCD码码5421BCD码码余三码余三码 8 4 2 1 b3 b2 b1 b0 位权位权 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

21、 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 2 4 2 1 b3 b2 b1 b0 5 4 2 1 b3 b2 b1 b0 无权无权 二二十进制码十进制码 格雷码格雷码 校验码校验码 字符编码字符编码 四、常用的四、常用的编码编码： （二（二）格雷码格雷码 2.2.编码还具有反射性，因此又可称其编码还具有反射性，因此

22、又可称其 为反射码。为反射码。 1.1.任意两组任意两组相邻码相邻码之间只有之间只有一位一位不同。不同。 第一节第一节 数制与编码数制与编码 注：首尾两个数码即最小数注：首尾两个数码即最小数00000000和最和最 大数大数10001000之间也符合此特点，故它可之间也符合此特点，故它可 称为循环码。称为循环码。 十进制十进制 B3 B2 B1 B0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 十进制十进制 G3 G2 G1 G0 8 9 10 11 12 13 14 15 1

23、1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 最常用的误差检验码是奇偶校最常用的误差检验码是奇偶校 验码，它的编码方法是在信息码验码，它的编码方法是在信息码 组外增加一位监督码元。组外增加一位监督码元。 （四）四）字符编码字符编码 ASCII码码: :七位代码表示七位代码表示128个字符个字符 96个为图形字符个为图形字符 控制字符控制字符32个个 （三）校验码（三）校验码 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公

24、式和规则逻辑代数的运算公式和规则 （一）逻辑变量（一）逻辑变量 取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代表不代表数数 值值大小大小，仅表示相互矛盾、相互对立的，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状两种逻辑状 态态。 （二）基本逻辑运算（二）基本逻辑运算 逻辑与逻辑与 逻辑或逻辑或 逻辑非逻辑非 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 一、逻辑变量及基本逻辑运算一、逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑符号逻辑符号 逻辑表达式逻辑表达式 F = =A B = = AB 与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表 逻辑与逻辑与 开关开关A 开关开关B灯灯F

25、断 断 断 合 合 断 合 合 灭 灭 灭 亮 ABF 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 A B F 与逻辑运算符，也有用与逻辑运算符，也有用 “ ”、“”“”、“”“”、“ ;反之，则用反变量表示反之，则用反变量表示 ABC、ABC、ABC 、ABC 。 1011 1110 1011 1111 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 3.逻辑图逻辑图 F= ABC+ABC+ABC +ABC 乘积项乘积项用用与门与门实现实现 和项和项用用或门或门实现实现 4.波形图波形图 A B F C A B C A B C A B C 1 A B C F A+ 0=A A+ 1=1 A 0=

26、0 A 1=A A A=0 A+A=1 A A=A A+A=A A B = B A A + B = B + A (AB)C = A (BC) (A+B)+C = A+(B+C) A ( B+C ) = A B+ A C A+ B C =( A + B) (A+ C ) 0-1律律 互补律互补律 重叠律重叠律 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、逻辑代数的运算公式和规则三、逻辑代数的运算公式和规则 反演律反演律 A B= A+B A+ B=AB 还原律还原律 A= A 吸收律吸收律A+A B=A A (A+B)=A A+ A B =A+B A (

27、A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C (A+B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C) 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、逻辑代数的运算公式和规则三、逻辑代数的运算公式和规则 例：证明吸收律例：证明吸收律BABAA成立成立 BAA BABAAB )AB(A)BA(B BA BA)BA(B BABAABAB 互补律互补律 重叠律重叠律 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 例：证明反演律例：证明反演律 A B= A+B 和和 A+ B=AB A BA B AB A+ BA BA+B 00 01 10 11 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0

28、 0 0 1 0 0 0 由真值表得由真值表得 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 证：证：利用真值表利用真值表 A B= A+B ， A+ B=AB 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 反演律又称摩根定律，常反演律又称摩根定律，常 变形为变形为 A B= A+B 和和 A+B=AB 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规则：任何含有某变量的等式，如果 任何含有某变量的等式，如果等式等式中中 所有出现此所有出现此变量变量的位置均代之以一个的位置均代之以一个 逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立。，则此

29、等式依然成立。 例：例： A B= A+B BC替代替代B 得得 由此反演律能推广到由此反演律能推广到n个变量：个变量： n n AAA A AA21 21 利用反演律利用反演律 n n AAAA AA21 21 ABC = A+BC= A+B+C 基本运算规则基本运算规则 反演规则反演规则： 对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：做如下处理： 若把式中的运算符若把式中的运算符“ ”换成换成“+ +”, “”, “+ +” ” 换成换成“ ”； 常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”； 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原

30、原变量，变量， 那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F的的反函数式反函数式。 例：例： F(A，B，C) CBAB )C A(BA 其反函数为其反函数为 )CBA(BCA)BA(F 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后先与后 或，必要时适当地加入括号。或，必要时适当地加入括号。 基本运算规则基本运算规则 对偶式对偶式： 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理： 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“.”换成换成“+”，“+”换成换成“.”； 2）常量）常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”。 得到的新函数为原函数得到的新

31、函数为原函数F的对偶式的对偶式F，也称对偶函数。也称对偶函数。 对偶规则：对偶规则： 如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相 等。即等。即 若若F F1 1 = = F F2 2 则则F F1 1= = F F2 2。使公式的数目增使公式的数目增 加一倍。加一倍。 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，且它只变换运变换运 算符和常量算符和常量，其，其变量是不变变量是不变的。的。 注：注： 函数式中有函数式中有“ ”和和“”“”运算符，求反运算符，求反 函数及对偶函数时，要将运算符函数及对偶函数时，要将运算符“ ”换成换成 “”， “

32、 “”换成换成“ ”。 其对偶式其对偶式 例：例： FB1 C AB A )( F B0C ABA ) ( )( 第三节第三节 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 五种常用表达式五种常用表达式 F(A，B，C) “与与或或”式式 B)AC)(A“或或与与”式式 CAAB “与非与非与非与非”式式 BACA “或非或非或非或非”式式 BACA “与与或或非非”式式 表达式形式转换表达式形式转换 函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 = AB+ AC 基本形式基本形式 例如函数例如函数F= AB+ AC 1.与与

33、-或表达式转换为或或表达式转换为或-与表达式与表达式 F = AB+ AC = AA+ AB+AC+BC = A(A+ B)+C(A+B) = (A +C) (A+ B) 吸收率吸收率 互补率互补率 2.与与-或表达式转换为与非或表达式转换为与非与非表达式与非表达式 F = AB+ AC = AB+ AC = AB AC 还原率还原率 反演率反演率 3.或或-与表达式转换为或非与表达式转换为或非或非表达式或非表达式 F = (A +C) (A+ B) = (A +C) (A+ B) = A +C+ A+ B 4.或或-与表达式转换为与与表达式转换为与-或或-非表达式非表达式 = A C+ A

34、B 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 最小项：最小项： n个变量有个变量有2 2n个最小项，记作个最小项，记作mi。 3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项。个最小项。 CBACBA m0m1 000001 01 CBABCACBACBACABABC m2m3m4m5m6m7 010011100101110111 234567 n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n个变量个变量 的的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能以原变（每个变量必须而且只能以原变 量或反变量的形式出现一次）。量或反变量的形式出现一次）。 一、 最小项最小项和和最大项最大项 乘积项乘积

35、项和项和项 最小项最小项 二进制数二进制数 十进制数十进制数 编号编号 最小项编号最小项编号i：各输各输 入变量取值看成二进制入变量取值看成二进制 数，对应十进制数。数，对应十进制数。 0 0 1 A B C 0 0 0 m m0 0 CBA m m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7 CBACBABCACBACBACAB ABC 1 - 2 0 n i i mF 10000000 01000000 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

36、 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 三变量的最小项三变量的最小项 最小项的性质：最小项的性质： 同一组变量取值：任意同一组变量取值：任意两个不同两个不同最小最小 项的项的乘积乘积为为0，即，即mi mj=0 (ij)。 全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即 12 0i i 1 n m 任意一组变量取值：任意一组变量取值：只有一个只有一个最小最小 项的项的 值为值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0。 n个变量有个变量有2 2n个最大项，记作个最大项，记作 I。 n个变量的逻

37、辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n个变量的个变量的 和项和项（每个变量必须而且只能以原变量或反（每个变量必须而且只能以原变量或反 变量的形式出现一次）。变量的形式出现一次）。 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最大项最大项 的的和和为为1，即，即Mi+Mj=1 (ij)。 全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最大项最大项 的值为的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1。 最大项：最大项： 最大项的性质：最大项的性质： 12 0i i 0 n M 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 最小项与最

38、大项的关系最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系。相同编号的最小项和最大项存在互补关系。 即即: mi =Mi Mi =mi 若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数其反函数F可可 用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。 7531 mmmmF 例：例： 7531 mmmmF m1m3m5m7= 7531 MMMM= 若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式F，可用等同与可用等同与 这些最小项编号互补的最大项之积表示。这些最小项编号互补的最大项之积表示。 ) , , ,(m6510

39、F , , ,(7 ) m432 F = M（2，3，4，7） F F = M（0，1，5，6） 例：例： 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 标准积之和标准积之和( 最小项）表达式最小项）表达式 D C BADCBADC B AD C B ADCBAF),( 8510 mmmm )8 , 5 , 1 , 0(m 式中的每一个式中的每一个 乘积项均为最小项乘积项均为最小项 CBBACDBBADCBAF)()( CDBABCDADCBA ABCDCDBABCDADCBAmmmmmmm )0,11,14,151 , 9 , 7 , 3(m 解：解： )()(DDCBAD

40、DABC 例：例： 的标准积之和表达式。的标准积之和表达式。ACCDADCBAF 求函数求函数 利用互补律，补利用互补律，补 上所缺变量上所缺变量B。 DCBACDBADABC 利用互补律，补利用互补律，补 上所缺变量上所缺变量D。 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 mi 0 1 2 3 4 5 6 7 F Mi 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0 1 0 1 0 1 例：例：已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。 从真值

41、表找出从真值表找出F为为1 的对应最小项。的对应最小项。 解解: 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加。然后将这些项逻辑加。 F(A,B,C) ABCCBABCACBA 7531 mmmm )7 , 5 , 3 , 1 (m 函数的最小项函数的最小项 表达式是唯一的。表达式是唯一的。 标准积之和标准积之和( 最小项）表达式最小项）表达式 )()(),(CBACBACBACBAF ) 7 , 4 , 0( 047 MMMM 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 式中的每一个式中的每一个 或项均为最大项。或项均为最大项。

42、 A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 mi 0 1 2 3 4 5 6 7 F Mi 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0 1 0 1 0 1 例：例：已知函数的真值表，求该函数的标准和之积表达式。已知函数的真值表，求该函数的标准和之积表达式。 从真值表找出从真值表找出F为为1 的对应最大项。的对应最大项。 解解: 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑与。然后将这些项逻辑与。 函数的最小项函数的最小项 表达式是唯一的。表达式是唯一的。 “0”

43、代以原变量代以原变量 ， “1”代以反变量代以反变量 )()(CBACBACBA )(),(CBACBAF 0246 MMMM )6 , 4 , 2 , 0(M 第四节第四节 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数 图解法化简逻辑函数图解法化简逻辑函数 具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简 函数化简的目的函数化简的目的 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作 降低成本降低成本 提高电路的工作提高电路的工作 速度和可靠性速

44、度和可靠性 第四节第四节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 与或表达式最简的标准与或表达式最简的标准 与项最少，即表达式中与项最少，即表达式中“+”“+”号最少。号最少。 每个与项中变量数最少，即表达式中每个与项中变量数最少，即表达式中“ ”号最少。号最少。 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少 与门的输入端个数少与门的输入端个数少 方法：方法： 并项：利用并项：利用1 AA 将两项并为一项，消去将两项并为一项，消去 一个变量一个变量。 吸收：利用吸收：利用 A + AB = A消去多余的与项消去多余的与项。 消元：利用消元：利用BABAA消去多余因子消去多余

45、因子。 第四节第四节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 一、代数法化简逻辑函数一、代数法化简逻辑函数 配项：先乘以配项：先乘以 A+A或加上或加上 AA，增加必要的乘积项，增加必要的乘积项， 再用以下方法化简。再用以下方法化简。 代数法化简函数代数法化简函数 例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数 F = AB+AC+AD+ABCD F = A（B+C+D）+ABCD 解：解： = ABCD+ ABCD = A（BCD+ BCD） = A 反演律 并项法 例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数 F = ( (A+B+C)()(B+BC+C)()(DC+DE+DE) ) ( (C+D) )1= ( (A+B+C

46、) )( (C+D) ) = AC+BC+AD+BD+CD = AC+BC+CD 二二 变变 量量 K 图图 A B mi 图形法化简函数图形法化简函数 卡诺图（卡诺图（K图）图） 图中图中一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一一 行行，即一个，即一个最小项最小项，又称真值图。，又称真值图。 A A BB ABBA ABAB A B 10 1 0 m0 m1 m2 m3 0 0 0 1 1 0 1 1 m0 m1 m2 m3 A BC 0 1 00011110 00011110 00 01 11 10 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6

47、 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 AB CD 三三 变变 量量 K 图图 四四 变变 量量 K 图图 00011110 00 01 11 10 AB CD （1）n个逻辑变量的函数，个逻辑变量的函数， 卡诺图有卡诺图有2n个方格，对应个方格，对应2n 个最小项。个最小项。 （2）行列两组变量取值按）行列两组变量取值按 循环码规律排列，相邻最循环码规律排列，相邻最 小项为逻辑相邻项。小项为逻辑相邻项。 （3）相邻有邻接和对称两）相邻有邻接和对称两 种情况。种情况。 特点：特点： 1. 已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格已知函数为最小项表达式，存在的最小

48、项对应的格 填填1，其余格均填，其余格均填0。 2. 若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那的那 些最小项对应的方格填些最小项对应的方格填1，其余格均填，其余格均填0。 3. 函数为一个复杂的运算式，则先将其变成函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式与或式， 再用直接法填写。再用直接法填写。 图形法化简函数图形法化简函数 用用卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示逻辑函数 例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示 该逻辑函数。该逻辑函数。 ABCF 000 001 0010 0 1000 1011 1110 10

49、11 1111 0 A BC 0001 1110 0 1 1 111 000 0 F= ABC+ABC+ABC+ABC 例：用卡诺图表示该逻辑函数例：用卡诺图表示该逻辑函数 A BC 0001 1110 0 1 1 000011110111 1 11 0 0 0 0 00011110 00 01 11 10 AB CD 四四 变变 量量 K 图图 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 图形法化简函数图形法化简函数 两个相邻格圈在两个相邻格圈在 一起，结果消去一个一起，结果消去一个 变量。变量。 ABD AD A 1 四个相邻

50、格圈在四个相邻格圈在 一起，结果消去两个一起，结果消去两个 变量。变量。 八个相邻格圈在八个相邻格圈在 一起，结果消去三个一起，结果消去三个 变量。变量。 卡诺图化简函数依据卡诺图化简函数依据： 几何相邻的几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格个小格可合可合 并在一起构成正方形或矩形圈，消去并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而个变量，而 用含用含（n - i）个变量的积项标注该圈个变量的积项标注该圈。 上下左右上下左右几何相邻几何相邻的方格的方格 内，只有内，只有一个因子不同。一个因子不同。 十六个相邻格十六个相邻格 圈在一起，结果圈在一起，结果 mi=1。 卡诺图合并最小项原则

51、卡诺图合并最小项原则： （1）圈要尽可能大圈要尽可能大，每个圈包含，每个圈包含2n个相邻项。个相邻项。 （2）圈的）圈的个数要少个数要少，使化简后逻辑函数的与项最少。，使化简后逻辑函数的与项最少。 （3）所有含）所有含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。的格都应被圈入，以防止遗漏积项。 （4）圈）圈可重复包围可重复包围但每个圈内必须有但每个圈内必须有新新的最小项。的最小项。 图形法化简函数图形法化简函数 与或表达式的简化与或表达式的简化 步步 骤骤 由真值表或函数表达式画出逻辑函数的卡诺由真值表或函数表达式画出逻辑函数的卡诺 图。图。 合并相邻的最小项，注意将图上填合并相邻的最小项，注意将图上填1的方格的方格 圈起来，要求圈的圈起来，要求圈的数量少数量少、范围大范围大，圈，圈可重复可重复 包围包围但每个圈内必须有但每个圈内必须有新新的最小项。的最小项。 按取同去异原则按取同去异原则, 每个圈写出一个与项。每个圈写出一个与项。 最后将全部与项进行逻辑或，即得最简与或表最后将全部与项进行逻辑或，即得最简与或表 达式。达式。 例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数 CACACBCBF CABACBF A BC 0001 1110 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 A BC 0001 1110 0 1 1 1 1