贵州省黔东南州2020届高三高考模拟考试卷数学（理科)试题 268C(解析版)2

1、2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）1若z（12i）（23i），则（）Az的实部大于38i的实部Bz的实部等于38i的实部Cz的虚部大于38i的虚部Dz的虚部小于38i的虚部2已知集合A2，1，0，1，2，Bx|（2x+1）（x2）0，则AB（）A0，1B1，1C1，2D1，0，13若向量AC=（1，2），AB-BC=（1，4），则AB=（）A（1，1）B（0，6）C（2，2）D（0，3）4某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A6.25%B7.5%C10.25%D31

2、.25%5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，几何体ABCDEC1的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）ABCD6若函数f（x）1+sin（2x-5），则（）Af（x）的最大值为1Bf（x）f（710-x）Cf（x）的最小正周期为2Df（x）f（710-x）7设双曲线x2-y23=1，x22-y25=1，y22-x27=1的离心率分别为e1，e2，e3，则（）Ae3e2e1Be3e1e2Ce1e2e3De2e1e38若log2x+log4y1，则x2+y的最小值为（）A2B23C4D229若tan+1tan=3，则cos4（）A-79B-19C79D1910

3、在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（）A420B766C1080D117611在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且AB2，若二面角B1BC1E为45，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为（）A172B12C9D1012若曲线yxex+mx+1（x1）存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为（）A（-27e4，0）B-27e4，0）C（-27e4，+）D（1，-27e4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答

4、案填在答题卡的相应位置13a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边已知a5bsinA，则sinB 14若x，y满足约束条件2x-y-20，x+y-10，x-y+10，则zx2y的最小值为 15函数f（x）=2x1+2x+1（x0）的值域为 16设A（2，0），B（2，0），若直线yax（a0）上存在一点P满足|PA|+|PB|6，且PAB的内心到x轴的距离为33020，则a 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17如图，四棱锥PABCD的底面是正

5、方形，E为AB的中点，PDCE，AE1，PD3，PC=13（1）证明：AD平面PCD（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值18某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验

6、费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由19设Sn为数列an的前n项和，a11，且Sn+12Sn+n1（1）证明：数列Sn+n为等比数列，并求an（2）求数列an2n的前n项和Tn20已知函数f（x）x2+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a2时，证明：f(x)-x+4x-321已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点（1）若l过点F，证明：|PQ|2p（2）若p2，点M在曲线y=-1-x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求MPQ面积的取值范围（二）选考题：共10分

7、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+5cosy=-1+5sin（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点P的极坐标为（1，），过P的直线与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|2x1|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且12a+b+c=m，求a2+b2+c2的最小值参考答案一、选择题：本大题共12小题

8、，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若z（12i）（23i），则（）Az的实部大于38i的实部Bz的实部等于38i的实部Cz的虚部大于38i的虚部Dz的虚部小于38i的虚部【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念逐一核对四个选项得答案解：z（12i）（23i）47i，z的实部小于38i的实部，z的虚部大于38i的虚部故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2已知集合A2，1，0，1，2，Bx|（2x+1）（x2）0，则AB（）A0，1B1，1C1，2D1，0，1【分析】求出集合A，B，由此能求出AB解：集

9、合A2，1，0，1，2，Bx|（2x+1）（x2）0x|-12x2，AB0，1故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3若向量AC=（1，2），AB-BC=（1，4），则AB=（）A（1，1）B（0，6）C（2，2）D（0，3）【分析】把BC=AC-AB 代入AB-BC可得，2AB=(AB-BC)+AC，从而求出AB解：BC=AC-AB，AB-BC=AB-(AC-AB)=AB-AC+AB=2AB-AC，2AB=(AB-BC)+AC=（1，4）+（1，2）（0，6），AB=(0，3)，故选：D【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，是基础题4某单位

10、去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A6.25%B7.5%C10.25%D31.25%【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100800（万元），共中水费支出250（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100800（万元），共中水费支出250（万元），去年的水费开支占总开支的百分比为：25080020%=

11、6.25%故选：A【点评】本题考查去年的水费开支占总开支的百分比的求法，考查拆线图、条形图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，几何体ABCDEC1的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）ABCD【分析】直接利用三视图的应用求出结果解：根据几何体ABCC1DE的侧视图和俯视图，所以正视图为直角梯形，即点A的射影落在D点，点B的射影落在C点，线段BE的射影落在EC的位置故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的空间想象能力，属于基础性题6若函数f（x）1+sin（2x-5），则（）Af（x）

12、的最大值为1Bf（x）f（710-x）Cf（x）的最小正周期为2Df（x）f（710-x）【分析】根据三角函数的周期公式以及最值公式分别进行求解判断即可解：f（x）的最大值为1+12，f（x）的最小正周期T=22=1，f(710-x)=1+sin(65-2x)=1+sin-(2x-5)=f(x)故选：B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的周期公式，最值性是解决本题的关键比较基础7设双曲线x2-y23=1，x22-y25=1，y22-x27=1的离心率分别为e1，e2，e3，则（）Ae3e2e1Be3e1e2Ce1e2e3De2e1e3【分析】利用双曲线的离心率公式，求出3个

13、双曲线的离心率，然后判断大小即可解：因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为1+b2a2，e1=21=82e2=72，e3=32=92，所以e2e1e3故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8若log2x+log4y1，则x2+y的最小值为（）A2B23C4D22【分析】由对数的运算法则可求x2y4（x0，y0），再用均值不等式可求x2+y的最小值解：因为log2x+log4ylog4x2+log4ylog（x2y）1，x2y4（x0，y0），则x2+y2x2y=4，当且仅当x2y2时等号成立，则x2+y的最小值为4故选：C【点评】本题考查了对数的运算

14、法则与基本不等式的性质应用，属于基础题9若tan+1tan=3，则cos4（）A-79B-19C79D19【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解解：tan+1tan=sincos+cossin=2sin2=3，sin2=23，cos412sin22=19故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题10在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等

15、奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（）A420B766C1080D1176【分析】根据题意，按一等奖的名额数目分2种情况讨论，求出每种情况中可能的数目，由加法原理计算可得答案解：根据题意，分2种情况讨论：，一等奖有2个名额，有C61C61+C61C81+C61C81132种可能，一等奖有3个名额，有C203C83C63C631044种可能；则共有132+10441176种可能；故选：D【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类分步计数原理的应用，属于基础题11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且AB2，若二面角B1BC1E为45，则四面体BB1C

16、1E的外接球的表面积为（）A172B12C9D10【分析】连接B1C1交BC1于O，可得B1OBC1，利用线面垂直的判定定理可得：BC1平面B1OE，于是BC1EO，可得而B1OE为二面角B1BC1E的平面角，进而利用球的表面积计算公式得出结论解：连接B1C1交BC1于O，则B1OBC1，易知A1B1BC1，则BC1平面B1OE，所以BC1EO，从而B1OE为二面角B1BC1E的平面角，则B1OE45因为AB2，所以B1E=B1O=2，故四面体BB1C1E的外接球的表面积为4(2+4+42)2=10故选：D【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算

17、公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12若曲线yxex+mx+1（x1）存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为（）A（-27e4，0）B-27e4，0）C（-27e4，+）D（1，-27e4）【分析】先求出yxex+mx+1（x1）的导数，令y0，得到m（x+1）3ex，然后将问题转化为m（x+1）3ex在（，1）上有两个不同的解，再构造函数f（x）（x+1）3ex（x1）求出f（x）的取值范围即可解：由yxex+mx+1（x1），得y=(x+1)ex-m(x+1)2，令y0，则m（x+1）3ex，曲线yxex+mx+1（x1）存在两条垂直于y轴的切线，m（x+1）3ex在（，1）上

18、有两个不同的解令f（x）（x+1）3ex（x1），则f（x）（x+1）2ex（x+4），当x4时，f（x）0；当4x1时，f（x）0，f（x）在（，4）上单调递减，在（4，1）上单调递增，f(x)min=f(-4)=-27e4，又当x1时，f（x）0，m(-27e4，0)故选：A【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了转化思想和函数思想，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边已知a5bsinA，则sinB15【分析】由正弦定理化简已知可得sinA5sinBsinA，结合sinA0，即可解

19、得sinB的值解：a5bsinA，由正弦定理可得sinA5sinBsinA，又sinA0，sinB=15故答案为：15【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题14若x，y满足约束条件2x-y-20，x+y-10，x-y+10，则zx2y的最小值为5【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解：画出x，y满足约束条件2x-y-20，x+y-10，x-y+10，表示的可行域，由图可知，当直线y=12x-z2，过C点（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为3245故答案为：5【点评】本题

20、考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15函数f（x）=2x1+2x+1（x0）的值域为(13，12)【分析】f(x)=12+2-x，由x0可得02x1，进而得到22+2x3，则13f(x)12，由此得出答案解：f(x)=12+2-x，x0，x0，02x1，22+2x3，13f(x)12，即函数的值域为(13，12)故答案为：(13，12)【点评】本题考查函数值域的求法，涉及了指数函数的性质及不等式的性质的运用，属于基础题16设A（2，0），B（2，0），若直线yax（a0）上存在一点P满足|PA|+|PB|6，且PAB的内心到x轴的距离为33020，则a3【分析】根据条件

21、得到P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程组求出P的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可解：A（2，0），B（2，0），P满足|PA|+|PB|6|AB|，P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，椭圆方程为x29+y25=1，若直线直线yax（a0）与椭圆方程为x29+y25=1联立，可得，x2=459a2+5，y2=45a29a2+5PAB的内心到x轴的距离为33020，所以三角形的内切圆的半径为：r=33020，三角形的面积为：12|AB|y|=12r(|AB|+|PA|+|PB|)，可得|y|=52r，y2=45a29a2+5=54r2=2542740，解得a

22、3，因为a0，所以a=3故答案为：3【点评】本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立方程组求出交点坐标是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PDCE，AE1，PD3，PC=13（1）证明：AD平面PCD（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值【分析】（1）推导出ADCD，PDCD，PDCE，从而PD平面ABCD，进而ADPD，由此能证明AD平面PCD（2）以D为原

23、点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DA与平面PCE所成角的正弦值解：（1）证明：四棱锥PABCD的底面是正方形，E为AB的中点，AE1，PD3，PC=13ADCD，AB2AE2，PD2+CD2PC2，PDCD，PDCE，CDCEC，PD平面ABCD，ADPD，CDPDD，AD平面PCD（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，3），C（0，2，0），E（2，1，0），DA=（2，0，0），PC=（0，2，3），PE=（2，1，3），设平面PCE的法向量n=（x，y，z）

24、，则nPC=2y-3z=0nPE=2x+y-3z=0，取z2，得n=（32，3，2），设DA与平面PCE所成角为，则DA与平面PCE所成角的正弦值为：sin=|DAn|DA|n|=32614=36161【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题18某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验已知每个零件检验

25、合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由【分析】（1）X的可能取值为8，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（2）求出EX15.0656，从而1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX15065.6元再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000

26、元，得到应该选择人工检验解：（1）X的可能取值为8，20，P（X8）0.84+0.240.4112，P（X20）10.41120.5888，则X的分布列为X820P0.41120.5888（2）由（1）知，EX80.4112+200.588815.0656，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX15065.6元因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000元，且1600015065.6，所以应该选择人工检验【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识

27、，考查运算求解能力，是中档题19设Sn为数列an的前n项和，a11，且Sn+12Sn+n1（1）证明：数列Sn+n为等比数列，并求an（2）求数列an2n的前n项和Tn【分析】第（1）题先将Sn+12Sn+n1转化变形并加以计算可证得数列Sn+n是首项为2，公比为2的等比数列，再计算出数列Sn+n的通项公式，以及Sn的表达式，然后运用公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n2即可计算出数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列an2n的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n项和Tn【解答】（1）证明：依题意，由Sn+12Sn+n1两边同时加上n+1，可得Sn+1+n+12S

28、n+n1+n+12（Sn+n），又S1+1a1+12，数列Sn+n是首项为2，公比为2的等比数列，则Sn+n=2n，即Sn=2n-n，n一、选择题*，当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-n-2n-1-(n-1)=2n-1-1，当n1时，a11不满足上式，an=1，n=12n-1-1，n2（2）解：由（1）知，当n2时，an2n=2n-1-12n=12-12n，则Tn=a121+a222+a323+an2n=12+（12-122）+（12-123）+（12-12n）=n2-（122+123+12n）=n2-14-12n+11-12 =12n+n-12，当n1时，T1=a121=12也满足上式，

29、Tn=12n+n-12【点评】本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化与化归思想，分类讨论，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题20已知函数f（x）x2+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a2时，证明：f(x)-x+4x-3【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）由（1）先求出f（x）的最小值，再构造函数g（x），根据二次函数的性质求出最大值，即可证明解：（1）f（x）x2+alnx，f（x）2x+ax=2x2+ax，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，令f（x）0，得x-a2

30、；令f（x）0，得0x-a2，f（x）在（-a2，+）上单调递增，在（0，-a2）上单调递减；证明（2）：由（1）当a2时，f（x）minf（1）1，令g（x）x+4x-3（x-2）2+1，当x4时，g（x）max1，14，f（x）g（x），即f(x)-x+4x-3【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系以及导数和函数最值的关系，不等式的证明，属于中档题21已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点（1）若l过点F，证明：|PQ|2p（2）若p2，点M在曲线y=-1-x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求MPQ面积的取值范围【分析】（1）由题意可得直线l的斜

31、率存在设直线的方程，与抛物线联立可得两根之和，由抛物线的性质可得|PQ|的表达式，|PQ|y1+y2+p（2+2k2）p，由2+2k22，可得|PQ|的范围（2）设M的坐标，可得MP，MQ的中点的坐标，由中点在抛物线上可得P，Q的坐标与M的坐标之间的关系，代入面积公式，由M的纵坐标的范围，进而求出面积的范围解：（1）证明：易知F（0，p2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可得直线l的斜率存在，设其方程为：ykx+p2，联立直线与椭圆的方程y=kx+p2x2=2py，整理可得：x22pkxp20，可得x1+x22pkx，y1+y2k（x1+x2）+p（1+2k2）p，所以|PQ|y

32、1+y2+p（2+2k2）p，因为2+2k22，所以|PQ|2p；（2）因为p2，所以抛物线的方程为：x24y，设M（x0，y0），则MP，MQ的中点分别为（x1+x02，x124+y02），（x2+x02，x224+y02），因为MP，MQ的中点均在抛物线C上，所以x1，x2为方程（x+x02）24x24+y02的解，整理可得x22x0x+8y0x020的两个不同的解，则x1+x22x0，x1x28y0x02，4x024（8y0x02）0，即x024y0，所以PQ的中点N的横坐标xN，则|MN|=18（x12+x22）4y0=18（x1+x2）22x1x2y0=34x023y0，|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=22(x02-4y0)，所以MPQ的面积S=12|MN|x1x2|=324（x024y0）32由y0=-1-x02，可得x021y02（1y00），所以x024y0y024y0+1（y0+2）2+5，因为1y00，所以1（y0+2）2+54，所以MPQ面积的取值范围324，62【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及面积公式，属于中档题（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修