离散型随机变量复习

1、离散型随机变量复习离散型随机变量1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示（随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母X，Y，、等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注： 若是随机变

2、量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 例题： 1.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，试问：“ 4”表示的试验结果是什么？2.1.某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；长江上某水文站观察到一天中的水位；某超市一天中的顾客量 其中的是连续型随机变量的是（ ）A；B、；C；D. 随机变量的所有等可能取值为，若，则（ ） A；B；C、；D不能确定3. .如果是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. 取每一个可能值的概率都是非负数； B. 取所有可能值的概率之和为1； C. 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和； D、 在某一范围内

3、取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 离散型随机变量的分布列x1x2xiPP1P2Pi 1. 分布列:设离散型随机变量可能取得值为 x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表 为随机变量的概率分布，简称的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：Pi0，i1，2，； P1+P2+=1对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即 01P3.两点分布列: 像上面这样的分布列称为两点分布列如果随机变量X的分布列为两点

4、分布列，就称X服从两点分布 而称=P (X = 1）为成功概率两点分布又称0一1分布由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布， ， ，X01P4. 超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 X=k发生的概率为, 其中，且称分布列为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布) .注： 1. 超几何分布的两个特点：(1)超几何分布是不放回抽样问题(2)随机变量为抽到的某类个体的个数2. 超几何分布的应用：超几何分布是一个重要分布，其理论基础

5、是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型例题：1.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖求中奖的概率 P (X3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 ) 注 超几何分布的上述模型中，“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件”.如果是有放回地抽取，就变成了 重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.101P2一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是

6、绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得1分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列3.某一射手射击所得的环数的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22 求此射手“射击一次命中环数7”的概率 0.88X101P12qq24.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于( ) 1 5.从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是() A. B、 C. D. 128P6.某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著三国演义、水浒传、西游记

7、、红楼梦与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得1分，某观众只知道三国演义的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作. (1)求该观众得分为负数的概率； 1/3 (2)求的分布列7.随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P(X0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率. 读作A 发生的条件下 B 发生的概率 .由这个定义可知，对任意两个事件A、B，若，则.例题：1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S=1，2，3，4，5，6，令事件A=2，3，5，B=1，2，4，5，6，

8、求P（A），P（B），P（AB），P（AB）。2. 有一批种子发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中随机取一粒，则这粒种子能长成幼苗的概率 .3. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率() A. B、 C. D. 4.某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为_ 1/6相互独立事件：设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立，即事件（或）是否发生对事件（或）发

9、生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件注：1.若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立 2相互独立事件同时发生的概率：3.互斥事件:不可能同时发生的两个事件一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥4.对立事件:必然有一个发生的互斥事件5.互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么 例题：1.甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是() A0.48 B0.52 C0.8 D、0.922.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，

10、若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为() A. B. C. D、3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2/3和3/4，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 5/12. 3/5 3/704.三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被译出的概率为 5.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为1/70、1/69、1/68，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_6.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙

11、对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；0.55(2) 用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E()0.1独立重复实验与二项分布1所谓独立重复试验，是在相同的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，也叫贝努里试验特点：每一次试验的结果只有两种(某事要么发生，要么不发生)，且任何一次试验中发生的概率都是一样的2一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，如果在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，

12、1，2，n此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率例题：1.种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是 0.33 2. 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是65/81，则事件A在一次试验中发生的概率是 1/3 3.任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为 3/8 4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为32，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为 024P5. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一

13、枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；8/27(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；1/9.(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E()6.已知随机变量X服从二项分布，XB(6，)，则P(X2)等于() 离散型随机变量的均值：1. 称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，反映了离散型随机变量取值的平均水平2.方差称D(X)为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值

14、E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2离散型随机变量的性质：如果X为(离散型)随机变量，则YaXb(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(Xxi)P(Yaxib)，i1，2，3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b D(aXb)a2D(X)3.若随机变量X服从两点分布，则E(X)p(p为成功概率)D(X)p(1p)X4a910P0.30.1b0.2 若随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)npD(X)np(1p)例题1.已知X的分布列为：E(X)7.5，则a等于 7 2.节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元；X200300400500

15、P0.200.350.300.15节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表若进这种鲜X123P0.20.40.4花500束，则期望利润是() 7063.已知随机变量X的分布列为则E(6X8)() 21.2 3.4.现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是 7.8 5.体育课排球发球考试规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是() (0，

16、)6.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)_.9/167.若XB(n，p)，且E(X)6，D(X)3，则P(X1)的值为 32108.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为，则的数学期望为 1/2正态分布：XN(，2)1. 正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴 ，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 对称；(3)曲线在 处达到峰

17、值；(4)曲线与x轴之间的面积为 ；(5)当一定时，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当一定时，曲线的形状由确定 ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示2. 正态分布的三个常用数据(1)P(X)0.6826； (2)P(2X2)0.9544； (3)P(31)p，则P(10) p.2. 已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02) 0.3 3.若随机变量服从正态分布N(0,1)，已知P(1.96)0.025，则P(|2)0.023，则P(22) 0.9545. 如果随机变量XN(2,22)，若P(Xa)

18、0.2，则P(X0)，若在(80,120)内的概率为0.8，则在(0,80)内的概率为 0.17已知随机变量x服从正态分布N(，2)，且P(2x 2)0.9544，P(x)0.6826，若4，1，则P(5x6) 0.13598.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是（ ）A. 997 B. 954 C. 819 D. 6839.某学校1000名高

19、三年级的学生在20132014学年第一学期期末考试中的数学成绩X近似服从正态分布N(120,225)，则成绩在135分以上的大约有_人 15910.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.(1)求P0的值； (参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974.) 0.9772A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.51、（2016年北京高考） A、B、C三个班共有100名

20、学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；1）试估计C班的学生人数； 402）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； 3/83）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明） 三组平均数分别为总均值但中多加的三个数据平均值为，比小，故拉低了平均值0123462

21、、（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：() “星队”至少猜对3个成语的概率； 2/3() “星队”两轮得分之和的分布列和数学期望3、（2016年四川高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过

22、的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值； 0.3（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； 3.6（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：即的居民月均用水量小于2.5吨,同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故假设月均用水量平均分布，则（吨）. 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。0124、（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的