向量的物理背景与概念及向量的几何表示

1、向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 2.1.1 2.1.1 向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念 2.1.2 2.1.2 向量的几何表示向量的几何表示 2.1.3 2.1.3 相等向量与共线向量相等向量与共线向量 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 唉唉, 哪儿去了哪儿去了? 嘻嘻嘻嘻!大笨猫！大笨猫！ B A 猫能捉住老鼠吗猫能捉住老鼠吗? 老鼠由老鼠由A向东北方向以向东北方向以6m/s 的速度逃窜的速度逃窜,而猫由而猫由B向东南向东南 方向方向10m/s的速度追的速度追. 问猫能问猫能 否抓到老鼠否抓到老鼠? C D 老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠

2、？ A B C D 猫的速度再快 也没用，因为方向 错了. 结论： 情境设置情境设置 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 一、一、向量的实际背景及概念。向量的实际背景及概念。 G F 在物理学中，我们学过位移是既有大少在物理学中，我们学过位移是既有大少 又有方向的量，那么在物理中还有没有其又有方向的量，那么在物理中还有没有其 它这样的量吗？例如，力既有大小又有方它这样的量吗？例如，力既有大小又有方 向，如下面图：向，如下面图： 你还能举出物理你还能举出物理 学中的一些实例学中的一些实例 吗？吗？ 例如：速度、加速度、例如：速度、加速度、 动量、相位等。动量、相位等。 向量的物理背景与概念及

3、向量的几 何表示 实际上在生活中我们已经遇到过一种只有大实际上在生活中我们已经遇到过一种只有大 小的量，例如，一棵树、一本书、一支笔、温小的量，例如，一棵树、一本书、一支笔、温 度、路程、密度等，我们曾把这种量称为数量度、路程、密度等，我们曾把这种量称为数量. 既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学 中称为矢量）中称为矢量） 向量定义向量定义 现在像位移、力现在像位移、力.这些既有大小又有方这些既有大小又有方 向的量数学中对它进行抽象得到一种新的量向的量数学中对它进行抽象得到一种新的量 只有大小，没有方向的量（如年龄、身高只有大小，没有方向的量（如年龄、身

4、高 长度等）叫做数量（物理学中称为标量）长度等）叫做数量（物理学中称为标量） 讲授新课讲授新课 1. 向量的概念：向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫向量. 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量 常常用数轴上的一个点表示，如常常用数轴上的一个点表示，如3 3，2 2，-1-1， 而且不同的点表示不同的数量。而且不同的点表示不同的数量。 对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段 按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的 大小

5、，箭头表示向量的方向。大小，箭头表示向量的方向。 0123-1 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 有向线段：在线段有向线段：在线段ABAB的两个端的两个端 点中，规定一个顺序，假设点中，规定一个顺序，假设A A为为 起点，起点，B B为终点，我们就说线段为终点，我们就说线段 ABAB具有方向。具有方向的线段具有方向。具有方向的线段 叫做有向线段。叫做有向线段。 有向线段的三个要素：起点、方向、长度有向线段的三个要素：起点、方向、长度 A A（起点）（起点） B B（终点）（终点） 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 2 2、向量的字母表示、向量的字母表示：1 1） a, b, c ,

6、.a, b, c ,. （2 2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，表示，例如，ABAB， CDCD 1 1、向量的几何表示：用有向线段表示。、向量的几何表示：用有向线段表示。 思考思考: : “向量就是有向量就是有 向线段向线段, ,有向线段就有向线段就 是向量是向量. .”的说法对吗的说法对吗? ? 向量向量ABAB的大小，的大小，也就是向量也就是向量ABAB的长度的长度 （或称模），（或称模），记作记作|AB|AB|。 长度为长度为0的向量叫做零向量的向量叫做零向量. .记作记作0 0。 长度等于长度等于1 1个单位的向量，叫做单位向

7、量。个单位的向量，叫做单位向量。 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 2.2.向量的模是一个正实数。（向量的模是一个正实数。（ ） 3.若若|a|b| ，则，则a b( ) 1.1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 判断题判断题 注注: :向量不能比较大小向量不能比较大小 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向长度相等且方向相同的两个向量表示相等向 量，量， 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分， “对于向量对于向量 ， ， ，或，或 ”这种说这种说 法是错误的法是错误的. a b b a a

8、 b 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 平行向量又叫做共线向量平行向量又叫做共线向量 各向量的终点与直线各向量的终点与直线l l之间有什么关系？之间有什么关系？ 如：如： a b c （）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。（）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作 a b c 规定：规定：0与任一向量平行。与任一向量平行。 问：把一组平行于直线问：把一组平行于直线l l的向量的起点平移到直线的向量的起点平移到直线l l上上 的一点的一点O O ，这时它们是不是平行向量？，这时它们是不是平行向量？ o l . C OC = c A OA = a OB = b

9、B 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 向量相等向量相等 向量平行向量平行 平行向量一定是相等向量吗平行向量一定是相等向量吗? ? 相等向量一定是平行向量吗相等向量一定是平行向量吗? ? （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：记作：a = b 规定：规定：0 = 0 a b 1.1.若非零向量若非零向量AB/CD AB/CD ，那么，那么AB/CDAB/CD吗？吗？ 2.2.若若a/b ,a/b ,则则 a a与与b b的方向一定相同或相反吗？的方向一定相同或相反吗？ o . b a ABCD D C B A 向量的

10、物理背景与概念及向量的几 何表示 11个个 例例1 1如图设如图设O O是正六边形是正六边形ABCDEFABCDEF的中心，写出图中的中心，写出图中 与向量与向量OAOA相等的向量。相等的向量。 OA = DO = CB 变式变式一一：与向量：与向量OAOA长度相等的长度相等的 向量有多少个？向量有多少个？ 变式二：是否存在与向量变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向长度相等，方向 相反的向量？相反的向量？ 存在，为存在，为 FEFE CB、DO、FE 变式三：变式三：与向量与向量OAOA长度相等的共线向量有哪些？长度相等的共线向量有哪些？ BC、OD、EFAO 向量的物理背景与概念及向量的

11、几 何表示 概念辨析：概念辨析： （1 1）模模相相等等的的两两个个平平行行向向量量是是相相等等的的向向量量； （2 2）若若 和和 都都是是位位向向量量， ; ;单单则则aba = b 长(3)任(3)任一一向向量量与与它它的的相相反反向向量量(度(度相相同同， 方方向向相相反反的的向向量量)都)都不不相相等等； （4 4）共共线线的的向向量量，若若起起点点不不 同同，则则终终点点也也不不同同； 则（5）5）若若AB/CD，AB/CD，AB/CD；AB/CD； 则（6）6）若若AB/CD，AB/CD，AB/CD ；AB/CD ； （7）7）与与 共 共， 与 与 共 共，与与 也 也共共；线

12、线线线则则线线abbcac （8 8）向向量量 与与 不不共共，与与 都都是是非非零零向向量量；线线则则不不abab 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 图纸个 别图点为点终点 个 长线个 例例2 2：在在中中的的4 45 5方方格格中中有有一一向向量量A AB B， 分分以以中中的的格格起起和和作作向向量量， （1 1）其其中中与与A AB B相相等等的的向向量量有有多多少少？ （2 2）与与A AB B度度相相等等的的共共向向量量有有多多少少？ （A AB B除除外外） A B (1)7AB 共有 个向量与相等 (2)15AB 共有个向量与共线 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示

13、2.2.下面几个命题：下面几个命题： （3）若）若|a|=|b|，则，则a = b （2）若）若|a|=0，则，则a = 0 |a|=|b| a b （4）两个向量）两个向量a、b相等相等 的充要条件是的充要条件是 （1）若）若a = b，b = c，则，则a = c。 当当b 0时成立。时成立。变：若变：若 a b， b c, 则则a c A0B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是其中正确的个数是( ) （5）若）若A、B、C、D是不共线的四点，则是不共线的四点，则AB=DC 的充要条件是的充要条件是 四边形四边形ABCD是平形四边形。是平形四边形。 AB D C BA C D 向量

14、的物理背景与概念及向量的几 何表示 合作探究：合作探究： 如如：以以1 11 1方方格格中中的的格格起起和和 的的所所有有向向量量中中，可可得得到到多多少少种种不不同同 的的模模？有有多多少少种种不不同同的的向向量量？ 图图纸纸点点为为点点 终终点点 向量的物理背景与概念及向量的几 何表示 零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 向量的概念向量的概念: : 向量的表示方法：向量的表示方法： 共线向量与平行向量关系：共线向量与平行向量关系： 平行向量定义：平行向量定义： 相等向量定义：相等向量定义： 讲授新课讲授新课 A(起点) B (终点) a 数量只有大小，是一个代数量，可以 进行代数

15、运算、比较大小；向量有方向， 大小，双重性，不能比较大小. 2. 数量与向量的区别：数量与向量的区别： 讲授新课讲授新课 3. 向量的表示方法：向量的表示方法： AB 用有向线段表示； 用字母a、b(黑体，印刷用)等表示； 用有向线段的起点与终点字母： 的大小长度称为向量的模，向量 AB 记作 AB . ； 讲授新课讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段， 三个要素：起点、方向、长度. 4. 有向线段：有向线段： 讲授新课讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段， 三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： 4. 有向线段：有向线段： 讲授新课讲授新课 具有方向的线段就叫做有向线段，

16、三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点 无关，只要大小和方向相同，这两个向 量就是相同的向量； (2)有向线段有起点、大小和方向三个素， 起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. 4. 有向线段：有向线段： 讲授新课讲授新课 5. 零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. 讲授新课讲授新课 5. 零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量. 长度为0的向量叫

17、零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. 说明：说明： 零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小. 讲授新课讲授新课 a b c 6.平行向量定义：平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定0与任一向量平行. 讲授新课讲授新课 6.平行向量定义：平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定0与任一向量平行. a b c 说明：说明： (1) 综合、才是平行向量的完整定义； (2) 向量a、b、c平行，记作abc. 讲授新课讲授新课 例例1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别 用向量表示A地至B、 C两地的位移

18、，并求 出A地至B、C两地的 实际距离(精确到1km). A B C 讲授新课讲授新课 例例2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 讲授新课讲授新课 不一定 例例2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 讲授新课讲授新课 不一定 零向量 例例2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ 讲授新课讲授新课 不一定 零向