秋九级数学上册正多边形和圆新版新人教版

1、 图片欣赏图片欣赏 日常生活中我们经常看到正多边形形状的物体，日常生活中我们经常看到正多边形形状的物体， 也可以得到许多美丽的正多边形图案也可以得到许多美丽的正多边形图案. . 你还能举一些这样的例子吗？你还能举一些这样的例子吗？ 把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这 个圆的内接正多边形吗？个圆的内接正多边形吗？ 学学 习习 新新 知知 思思考：考： 1.正三角形、正方形有内切圆和外接圆吗？正三角形、正方形有内切圆和外接圆吗？ 有什么关系？有什么关系？ 2.2.正三角形顶点把圆等分成三部分，如何画正三角形顶点把圆等分成三部分，如何画 圆的内接正三角形？正

2、方形顶点把圆等分成四圆的内接正三角形？正方形顶点把圆等分成四 部分，如何画圆的内接正方形？部分，如何画圆的内接正方形？ 3.3.如果把一个圆五等分，顺次连接各分点能如果把一个圆五等分，顺次连接各分点能 否得到正五边形？若能，写出证明过程否得到正五边形？若能，写出证明过程. 证明：证明： ， ABAB= =BCBC= =CDCD= =DEDE= =EAEA， ， ABBCCDDEAE 3BCEABCDA A B CD E 已知：如图所示，把已知：如图所示，把O O分成相等的分成相等的5 5 段弧，依次连接各分点得到五边形段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDEABCDE. . 求证：五边形求证

3、：五边形ABCDEABCDE是是 圆内接正五边形圆内接正五边形. . A A= =B B. .同理同理B B= =C C= =D D= =E E. .又五又五 边形边形ABCDEABCDE的顶点都在的顶点都在O O上，上， 五边形五边形ABCDEABCDE是是O O的内接正五边形的内接正五边形. . 4.类比以上探究过程，你能得出什么结论？类比以上探究过程，你能得出什么结论？ 把一个圆分成相等的一些弧，可以作把一个圆分成相等的一些弧，可以作 出这个圆的内接正多边形出这个圆的内接正多边形 ，这个圆就，这个圆就 是这个正多边形的外接圆是这个正多边形的外接圆. . E F C D . 探究2 正多边

4、形及外接圆中的有关概念 活动：活动： 1.1.在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、 正六边形的草图，和同桌交流它们的中心、正六边形的草图，和同桌交流它们的中心、 中心角、半径、边心距分别是什么？中心角、半径、边心距分别是什么？ 2.2.分别求出所画正多边形的中心角和外角，分别求出所画正多边形的中心角和外角， 完成下表：完成下表： 正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形.正正n边形边形 中心角中心角 . 外角外角 . 3.3.通过上边的探究，你能得到哪些结论？通过上边的探究，你能得到哪些结论？ （2)2)正多边形的半径、边心距、边长的

5、一半构正多边形的半径、边心距、边长的一半构 成直角三角形成直角三角形. . （3 3）正）正 边形的半径和边心距，把正边形的半径和边心距，把正 边形分边形分 为为 个直角三角形个直角三角形. . 结论：结论： （1 1）正）正 边形的中心角等于边形的中心角等于 ，外角等于，外角等于 ， 正多边形的中心角与外角相等正多边形的中心角与外角相等. . 180 n 180 n 例例 如图有一个亭子，它的地基是半径 为4m的正六边形，求地基的周长和面 积（结果保留小数点后一位）. F A D E . . r R P 解: . 60 6 360 半径六边形的边长等于它的 是等边三角形，从而正 ，它的中心角

6、等于 是正六边形，所以由于 OBC ABCDEF 亭子的周长 l=64=24(m) )(6 .413224 2 1 2 1 32 2 2 4 2 4 2 22 24 m LrS r BC PCOCOPCRt 亭子的面积 心距根据勾股定理，可得边 ，中，在 解：如图，连接解：如图，连接OB，OC.因为正六边形因为正六边形 ABCDEF是正六边形，是正六边形， 所以它的中心角等于所以它的中心角等于 =60，OBC是等是等 边三角形，从而正六边形的边长等于它的半边三角形，从而正六边形的边长等于它的半 径径.因此，亭子地基的周长因此，亭子地基的周长 =64=24（m). 作作OPBC，垂足为，垂足为P

7、.在在RtOPC中，中，OC=4m， PC= =2(m),利用勾股定理，可得边心距利用勾股定理，可得边心距 r= (m). 亭子地基的面积亭子地基的面积 S= = 24 41.6（m2). 6 360 0 2 4 2 BC 3224 22 lr 2 1 2 1 32 阅读课本阅读课本107页页. 思考：如何利用等分圆弧的方法来作正思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？边形？ 方法方法1 1：用量角器等分圆周用量角器等分圆周. . 对于任意正对于任意正n n边形，用量角器作一个等于边形，用量角器作一个等于 的圆心角，然后在圆上依次截取与这条弧相等的圆心角，然后在圆上依次截取与这条弧相等 的弧

8、，就得到圆周的的弧，就得到圆周的n n等分点，从而画出正多等分点，从而画出正多 边形边形. . 方法方法2 2：用尺规等分圆周用尺规等分圆周. . 对于特殊正多边形，正六边形和正方形等用尺对于特殊正多边形，正六边形和正方形等用尺 规作法规作法. . O 方法展示 作出已知作出已知O O的互相垂直的直径的互相垂直的直径 即得圆内接正方形，再过圆心作各即得圆内接正方形，再过圆心作各 边的垂线与边的垂线与O O相交，或作各中心相交，或作各中心 角的角平分线与角的角平分线与O O相交，即得圆相交，即得圆 接正八边形，照此方法依次可作正接正八边形，照此方法依次可作正 十六边形、正三十二边形、正六十十六边

9、形、正三十二边形、正六十 四边形四边形 O 以半径长在圆周上截取六段相以半径长在圆周上截取六段相 等的弧，依次连结各等分点，则等的弧，依次连结各等分点，则 作出正六边形作出正六边形. .先作出正六边形，先作出正六边形， 则可作正三角形，正十二边形，则可作正三角形，正十二边形， 正二十四边形正二十四边形 求圆内接正多边形的半径或边心距求圆内接正多边形的半径或边心距 或边长，就是从正多边形的中心向或边长，就是从正多边形的中心向 一边做垂线，连接半径构造直角三一边做垂线，连接半径构造直角三 角形，综合运用垂径定理和勾股定角形，综合运用垂径定理和勾股定 理解决问题理解决问题. . 1.1.正多边形和圆

10、的关系：任意正多边形正多边形和圆的关系：任意正多边形 都有它的外接圆都有它的外接圆. . 2.2.和正多边形有关的概念：中心、半径、和正多边形有关的概念：中心、半径、 中心角、弦心距中心角、弦心距. . 3.3.用等弧法作正多边形用等弧法作正多边形. . 检测反馈检测反馈 1.1.如图所示，正六边形如图所示，正六边形ABCDEF内接于内接于 O， 则则ADB的度数是（的度数是（ ） A A60 B45 C30 D225 解析：如图，连接解析：如图，连接OBOB，多边形多边形ABCDEFABCDEF是正多边是正多边 形，形，AOBAOB= =60= =60， ADBADB= = AOBAOB=

11、= 6060=30=30故选故选B B 6 3600 2 1 2 1 B B 2.正六边形的边心距为正六边形的边心距为 ，则该正六边形，则该正六边形 的边长是（）的边长是（） A B2 C3D2 3 33 解析：如图，解析：如图，正六边形的边心距为正六边形的边心距为 ， OB= OB= ，AB= OAAB= OA，OAOA2 2=AB=AB2 2+OB+OB2 2， OAOA2 2= =（ OAOA）2 2+ +（ ）2 2，解得，解得OA=2OA=2故选故选B B 3 3 2 1 3 2 1 3.如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线， 则BAD= 解析：解析： 设设O O是正五边形的中

12、心，连接是正五边形的中心，连接ODOD、 OBOB则则DOB= DOB= 360360=144=144， BAD= BAD= DOB=72DOB=72，故填，故填7272 5 2 2 1 .O 图片欣赏图片欣赏 日常生活中我们经常看到正多边形形状的物体，日常生活中我们经常看到正多边形形状的物体， 也可以得到许多美丽的正多边形图案也可以得到许多美丽的正多边形图案. . 你还能举一些这样的例子吗？你还能举一些这样的例子吗？ 活动：活动： 1.1.在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、 正六边形的草图，和同桌交流它们的中心、正六边形的草图，和同桌交流它们的中心、 中心角、半径、边心距分别是什么？中心角、半径、边心距分别是什么？ 2.2.分别求出所画正多边形的中心角和外角，分别求出所画正多边形的中心角和外角， 完成下表：完成下表： 正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形.正正n边形边形 中心角中心角 . 外角外角 . O 方法展示 作出已知作出已知O O的互相垂直的直径的互相垂直的直径 即得圆内接正方形，再过圆心作各即得圆内接正方形，再过圆心作各 边的垂线与边的垂线与O O相交，或作各中心相交，或作各中心 角的角平分线与角的角平分线与O O相交，即得圆相交，即得