秋八级数学上册提公因式法新版新人教版

1、 新兴一中决定购买m台电脑和m套 桌子,现在知道每台电脑的单价为a元,每 套桌子的单价为b元,那么怎样表示该校 购买电脑和桌子总共需要的资金呢? 学学 习习 新新 知知 一: 购买一台电脑和一套桌子需(a+b)元, 购买m台电脑和m套桌子共需m(a+b)元. 二: 购买m台电脑需ma元,购买m套桌子 需mb元,则购m台电脑和m套桌子共需 (ma+mb)元. 从这两种方法中,我们发现了什么? 请把下列多项式写成整式的积的形式: 一、因式分解 (1)x2+x=; (2)x2-1=. 等式左边是多项式,右边都是乘积的形式. 观察上述两个式子和 ma+mb=m(a+b),这些式子的共同特 点是什么?

2、因式分解 :把一个多项式化成几个 整式的积的形式,叫做因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式. 正确理解因式分解要注意以下三点: (1)因式分解的对象是多项式,不是单项式,也 不是以后我们要学习的分式. (2)因式分解的结果是整式的乘积的形式. (3)不能走回头路,如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1,本 来已经完成了对x2-1的因式分解,但习惯性 地按整式乘法算出x2-1的结果,就画蛇添 足了. 知识拓展 下列从左到右的变形中,哪些是分解 因式?哪些不是分解因式?为什么? (1)12ab=3a4b; (2)(x+3)(x-3)=x2-9; (3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1;

3、(4)2ax-2ay=2a(x-y); (5)a2-4ab+4b2=(a-2b)2. 是 是 (1)分解因式是多项式的恒等变形,也就 是分解因式的结果的积等于多项式; (2)分解因式的结果必须是整式的积的 形式,每个因式必须是整式且每个因式 的次数都不高于原来多项式的次数. 因式分解时,左边必须是多项式,右 边是几个因式的乘积,且又是左、右两 边恒等,那么分解因式与整式乘法有什 么关系? 如果把整式乘法看作一个变形过程, 那么多项式的分解因式就是整式乘法的 逆过程;如果把多项式的分解因式看作一 个变形过程,那么整式乘法又是多项式的 分解因式的逆过程.因此,多项式的分解 因式与整式乘法互为逆过程

4、,一方面说明 了两者之间的密切关系,另一方面又说明 了两者的根本区别. 根据乘法运算的算式, 把下列多项式分解因式: 乘法运算分解因式 a(3a-5b)=3a2-5ab 3a2-5ab= (x-3y)(2x+y)=2x2 -5xy-3y2 2x2-5xy-3y2= (x-2y)(x+2y)=x2-4y2x2-4y2= (a-3b)2=a2-6ab+9b2a2-6ab+9b2= ma+mbm(a+b) 如图,一块菜园由两个长方形组 成,这些长方形的长分别是3.8 m, 6.2 m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜 园的面积呢? 二、提公因式法 3.8 3.7 3.7 6.2 列式: 3.73.8

5、+3.76.2 有简便算法吗? 解:3.73.8+3.76.2 =3.7(3.8+6.2) =3.710=37(m2). 在这一过程中,把3.7换成m, 3.8换成a,6.2换成b,于是有: ma+mb=m(a+b). 利用整式乘法验证: 多项式ma+mb有什么特点？ 各项都含有一个公共的因式m,我们把 因式m叫做这个多项式各项的公因式. 又如 :b是多项式ab-b2各项的公因式; 2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式. (1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数 (当系数是整数时). (2)字母取各项的相同字母,且各字母的指数取 最低次幂,根据分配律,可得m(a+b)=ma+mb,

6、逆 变形得到ma+mb的因式分解形式 ma+mb=m(a+b),这说明多项式ma+mb各项都 含有的公因式可提到括号外面,将多项式 ma+mb写成m(a+b)的形式,这种分解因式的方 法叫做提公因式法. 如果多项式的各项有公因式,可以 把这个公因式提取出来,将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式,这 种分解因式的方法叫提公因式法. 例1 把8a3b2+12ab3c分解因式. 解析:从数、字母和字母的 次数三个方面进行分析;分解因式完成后要分析公 因式和另一个因式之间的关系,并思考:如果提出 公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?从而把提 公因式的“提”的具体含义深刻化,这是提公因式 法

7、的正确性的重要保证. 解解:8a3b2+12ab3c =4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc). 例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解. 对该多项式的每项因式的特点 进行仔细观察,从而发现把b+c看作 一个“整体”时公因式就是b+c,再 用提公因式法进行分解. 解解:2a(b+c) 3(b+c) =(b+c)(2a-3). 例3 计算:0.8412+120.6-0.4412. 观察并分析怎样计算更简单? 1.因式分解 (1)定义:把一个多项式化为几个整 式的积的形式,叫做把这个多项式因式分 解,也叫做把这个多项式分解因式.等式 特点:左边:多项式;右边:整式整式,

8、整式 乘整式结果是多项式,而多项式也可以变 形为相应的整式与整式的乘积,我们就把 这种多项式的变形叫做因式分解. 知识小结 (2)因式分解:pa+pb+pc=p(a+b+c). (3)整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc. (4)联系:都是由几个相同的整式组成的等式. (5)区别:这几个相同的整式所在的位置不 同,式是因式分解,式是整式乘法,两者是 方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不 同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个 是两个或几个因式积的表现形式. 2.公因式 (1)多项式pa+pb+pc中,各项都含 有一个公共的因式p,因式p叫做这个多项 式各项的公因式. (2)注意:公

9、因式是每一项都含有的因式, 是单项式或多项式. (3)公因式的确定方法:各项系数的最大 公因数和相同字母的最低次幂的积. 3.提公因式 定义:一般地,如果多项式的各项有公因式, 可以把这个公因式提到括号外面,将多项式 写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法 叫做提公因式法. 由定义可知,提公因式法的关键是如何正确 地寻找公因式. 1.下列各式由左边到右边的变形中,属于分 解因式的是() A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10 x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x 解析: A.是多项式乘法,故选项错误;B.右 边不是

10、积的形式,故选项错误;C.提公因式 法,故选项正确;D.右边不是积的形式,故 选项错误.故选C. C 检测反馈检测反馈 B2.设x2+3x+y=(x+1)(x+2),则y的值为() A.1B.2C.3D.4 解析:(x+1)(x+2)=x2+3x+2, y=2.故选B. 3.观察下列各式:2a+b和a+b ;5m(a-b)和 -a+b;3(a+b)和-a-b ;x2-y2和x2+y2.其中 有公因式的是 () A.B. C.D. B 解析：和a+b没有公因式; 5m(a-b)和-a+b=-(a-b)的公因式为 a-b;3(a+b)和-a-b=-(a+b)的公因式 为a+b;x2-y2和x2+y

11、2没有公因式.故 选B. 4.用提公因式法分解因式. (1)4x2-4xy+8xz; (2)6x4-4x3+2x2; (3)6m2n-15mn2+30m3n; (4)(a+b)-(a+b)2; (5)x(x-y)+y(y-x); (6)(m+n)2-2(m+n). 解析: 此题考查了因式分解 提公 因式法,熟练掌握提公因式的方法是解 本题的关键. 解:(1)4x2-4xy+8xz=4x(x-y+2z). (2)6x4-4x3+2x2=2x2(3x2-2x+1). (3)6m2n-15mn2+30m2n=3mn(2m-5n+10m2). (4)(a+b)-(a+b)2=(a+b)(1-a-b).

12、 (5)x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2. (6)(m+n)2-2(m+n)=(m+n)(m+n-2). 必做题 教材第115页练习第1,2,3题. 选做题 教材第119页习题14.3第1题. 布置作业 因式分解 :把一个多项式化成几个 整式的积的形式,叫做因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式. ma+mbm(a+b) (1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数 (当系数是整数时). (2)字母取各项的相同字母,且各字母的指数取 最低次幂,根据分配律,可得m(a+b)=ma+mb,逆 变形得到ma+mb的因式分解形式 ma+mb=m(a+b),这说明多项式ma+mb各项都 含有的公因式可提到括号外面,将多项式 ma+mb写成m(a+b)的形式,这种分解因式的方 法叫做提公因式法. 例1 把8a3b2+12ab3c分解因式. 解析:从数、字母和字母的 次数三个方面进行分析;分解因式完成后要分析公 因式和另一个因式之间的关系,并思考:如果提出 公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?从而把提 公因式的“提”的具体含义深刻化,这是提公因式 法的正确性的重要保证. 解解:8a3b2