第四章 弯曲变形

1、第四章 弯曲 第四章 弯曲 n要求掌握的内容：1.杆件弯曲受力和变形的特点，梁的 支座及梁的基本形式；2.梁弯曲时横截面上内力（剪力 Q和弯矩M）的求取以及Q图和M图的画法；3.弯曲正应 力的求取和弯曲正应力分布情况以及惯性矩的计算；4. 弯曲正应力的强度条件及应用；5.弯曲变形，梁的挠度 和截面转角的求取，梁的刚度条件及应用；6.提高梁弯 曲强度和刚度的措施。 n重点：梁弯曲正应力计算及强度条件的应用；梁弯曲变 形计算及刚度条件的应用。 n难点：剪力图、弯矩图以及梁正应力的分析 4-1 平面弯曲的概念 1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外 力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线 由直线变成曲线

2、的变形。以弯曲变形为主 的杆件习惯上称为梁。 2、梁：以弯曲变形为主的杆件。 4-1 平面弯曲的概念 3、纵向对称平面： 工程上常见的梁，其横截面都具有一根 对称轴y。 纵向对称面由对称轴和梁的轴线组成 的平面。 4-1 平面弯曲的概念 4、平面弯曲： 梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯 曲。 5、载荷分类： 作用在梁上的载荷一般可分为三种： 1）集中载荷（KN，N） 2）分布载荷（N/m） 3）集中力偶（Nm，KNm） 4-1 平面弯曲的概念 4-1 平面弯曲的概念 6、梁的类型： 梁根据约束有以下三种基本类型： 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁 （注：以上梁都为静定梁） 4-2 直梁弯

3、曲时的内力分析 一、内力 1、剪力和弯矩 直梁弯曲时 横截面上将产 生两种内力， 即剪力和弯矩。 2、内力符号规定： 1）剪力： 左上右下 横截面上的剪力Q使该截面的邻近微 段有作顺时针转动趋势时取正号；有反 时针转动趋势时取负号。 4-2 直梁弯曲时的内力分析 2）弯矩：左顺右逆 横截面上的弯矩M使该截面的邻近微 段发生上凹的弯曲变形时取正号；使其发 生下凹的弯曲变形使取负号。 4 4-2 -2 直梁弯曲时的内力分析直梁弯曲时的内力分析 二、剪力图和弯矩图 1、剪力方程和弯矩方程： 若以梁的轴线x为横坐标，表示横截面 的位置，则剪力和弯矩均可表示为x的函数， 即： )( )( 2 1 xfM

4、 xfQ 4 4-2 -2 直梁弯曲时的内力分析直梁弯曲时的内力分析 4-2 直梁弯曲时的内力分析 2、剪力图和弯矩图： 以如图所示 受集中力P作用 的简支梁为例来 具体说明剪力图 和弯矩图的作法。 4-2 直梁弯曲时的内力分析 解： 1、先求支座反力： 1）A处支座反力为： 2）B处支座反力为： l Pb RA l Pa RB 4-2 直梁弯曲时的内力分析 2、作剪力图： 1）AC段梁的剪力方程为： 2）CB段梁的剪力方程为： 3）剪力图：见右图。 l Pb Q 1 )0( 1 ax l Pa Q 2 )( 2 lxa 4-2 直梁弯曲时的内力分析 3、作弯矩图: 1）AC段梁的弯矩方程为：

5、 2）CB段梁的弯矩方程为： 3）弯矩图：见右图。 11 x l Pb M )0( 1 ax )( 22 xl l Pa M )( 2 lxa 4-2 直梁弯曲时的内力分析 例题 4-3 一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，作此梁的剪 力图和弯矩图。 3. 画出剪力图和弯矩图 1.求约束反力 FRA=FRB=ql/2 2.列剪力方程和弯矩方程 例4-5 练习题 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 画出剪力图和弯矩图 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 剪切弯曲：横截面上既有剪力又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而无剪力。 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 一、纯弯曲时的变形现象与假设 1、变形

6、现象： 1）两条横向线mm nn不再相互平行，而 是相互倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的 轴线垂直。 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 内凹一侧的纵向线内凹一侧的纵向线aaaa缩短了，缩短了， 外凸一侧的纵向线外凸一侧的纵向线bbbb伸长了。伸长了。 中性层既不伸长也不缩短。中性层既不伸长也不缩短。 变成变成 曲线曲线 2 2）两条纵向线）两条纵向线aaaa、 bbbb 梁的轴线梁的轴线 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2、梁纯弯曲问题的假设： 1）梁变形前后横截面均为平面，且仍然 垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内 的某一轴线旋转了一个角度。 2）纤维互不挤压假设：纵向纤维只受轴 向拉压，他

7、们之间没有相互挤压。 故梁的横截面上只产生拉（压）应力， 而无剪应力。由于拉（压）应力都垂直 于横截面，故为正应力。 4-3 纯弯曲时梁横截面上的正应力 3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与 它到中性层的距离有关，在横截面的同 一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同 的，与它在横截面宽度上的位置无关。 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 二、 弯曲变形与应力的关系 1、变形几何关系-纵向纤维的线应变： y d ddy OO OObb )( 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2、物理关系-正应力分布规律： 根据轴向拉压时的虎克定律有： y EE 横截面上任意一点的正应力，与 该点到中性轴的距离成正比。中

8、性轴 上y=0，=0。距中性轴越远，应力越 大。距中性轴同一高度上各点的正应 力相等。 因为横截面上没有轴力 0 A dA 将 /Ey 代入上式可得 AA E y ydAdAE0 所以必有 A ydA0 A ydA 截面对中性轴z的静矩。 根据平面图形（均质薄板）形心计算式： 0/ AydAy A c 得 0 c y即： 中性轴必通过截面形心。中性轴必通过截面形心。完全确定了中性轴的位置 三、静力学关系三、静力学关系 静矩定理 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 1）曲率半径： 在距中性轴为y处任取一微面积dA， 则该截面上的弯矩为： A ydAM A A dAy E ydA y EM 2 4-

9、3纯弯曲时梁横截面上的正应力 如果令： 则： 其中： IZ 整个横截面对中性轴z的惯性矩， 单位：m4 A z dAyI 2 z EI M 1 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2）正应力计算公式: 最大正应力： 其中：WZ 横截面对中性轴z的抗弯截面 模量， zz I My EI M Ey y E zzz W M yI M I My )/( max max max 即： z I My 即： z W M max max / yIW z Z 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 1、矩形截面的IZ和wZ： 即： A h hz bh bdyydAyI 2 2 3 22 12 6212 23 max b

10、hhbh y I W z z 6 12 2 3 hb W hb I z z 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 2、圆形截面： 3、圆环形截面（=d/D）： 64 4 D z I )1 ( 64 4 4 D z I )1 ( 32 4 3 D z W 32 3 D z W 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 4、组合截面： 1）平行移轴定理： AAA A AA z dAaydAadAy dAaayy dAaydAyI 22 22 2 1 2 2 )2( )( 1 AaaAyII cZz 2 2 1 AbII yy 2 1 0 c y 若若 AaII Zz 2 1 则则同理：同理： 4-4 截面惯性

11、矩和抗弯截面模量 2）组合截面的惯性矩： 设A为组合截面的面积，A1、A2、 An 为各组分的面积，则IZ： 同理： i n i Z n ZZZ AAA AAAA z IIII dAydAydAy dAydAyI n n 1 21 222 )( 22 )()()()( 12 21 i n i y n yyyy IIIII 1 21)()()()( 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 例3-5 求图示T字形截面对通过其形心C的z 轴之惯性矩（图中尺寸单位为mm）。 解: 静矩定理（求组合截面的形心位置）： 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 mm a 103 2010020140 )10140(20

12、1007020140 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 4646 23 2 2 22 4646 23 1 2 11 10906.710906.7 201405 .3414020 12 1 )( 10207.410207.4 201005 .4520100 12 1 )( mmm AaII mmm AaII ZIIZ ZZ 46 66 10113.12 10906.710207.4)()( m III IIzIzz 4-5 梁的弯曲强度计算 为了保证梁安全可靠的工作，必须使最 大工作应力不超过材料的许用应力。 z W M max max 根据强度条件，可以进行三方面 的问题计算： 1） 强度校核

13、； 2）截面尺寸的确定； 3）许可载荷的计算。 4-5 梁的弯曲强度计算 说明： 1）危险截面（危险点）的确定； 2）对于抗拉和抗压强度相同的材料， 梁的横截面不对称于中性轴，两个抗弯截面 模量W1,W2，取较小者代入计算； 3）对于抗拉和抗压强度不同的材料， 应同时满足： cc pp W M W M 2 max max 1 max max 例 图示为一T字型截面铸铁梁。在梁上作用有集中 载荷，P1=10KN、P2=4KN。铸铁的抗拉许用应力 p=40MPa，抗压许用应力c=70MPa。T字 型横截面尺寸如图所示，已知截面对形心轴z的惯 性矩IZ=76310-8m4，且y1=52mm。试校核此

14、梁 的强度。 解： （1）求支座反力，画弯矩图。 kNR kNR B A 11 3 mkNM c 3 mkNM B 4 例 （2）校核梁的强度。 B截面： C截面： 强度满足要求。 26 8 33 1 max /103 .27 10763 1052104 mN I yM z B p 26 8 33 2 max /101 .46 10763 10)5220120(104 mN I yM z B c 26 8 33 2 max /106 .34 10763 10)5220120(103 mN I yM z C p 例 4-7 提高梁弯曲强度的主要途径 一、选用合理截面，提高抗弯截面模量Wz 1、选

15、用合理的截面形状 如：设正方形边长为a，矩形的宽度为b，高度为h，且 b/h=1/3。若两截面面积相等，即，A1=A2,h=31/2a. q正方形截面的抗弯截面模量为 q矩形截面的抗弯截面模量为 q两者之比为： 6/ 3 1 aW 6/36/ 32 2 abhW 557. 0 6 3 6 3 3 2 1 a a W W 4-7 提高梁弯曲强度的主要途径 (0.270.31)h 4-7 提高梁弯曲强度的主要途径 2、选择截面的合理工作位置： 1 6 1 6 1 2 2 2 1 b h hb bh W W 4-7 提高梁弯曲强度的主要途径 二、合理安排受力情况，减小最大弯矩Mmax 1、合理安排支

16、座位置： 4-7 提高梁弯曲强度的主要途径 2、合理布置载荷： 降低梁内最大 弯矩值可提高梁的承载能力 4-8 梁的弯曲变形与刚度校核 一、挠度和转角 n梁的变形可以用两种位移量表示： 1、横向位移y（挠度）： 正负值规定：与y向一致时，为正。 )(xfy 4-8 梁的弯曲变形与刚度校核 2、角位移（转角）： 正负值规定：梁变形时横截面绕中 性轴按逆时针转动时，为正。 )( xfy y dx dy tg z EI M 1 3. 挠曲线的近似微分方程 ? 4-8 梁的弯曲变形与刚度校核 二、用叠加法求梁的变形 从上述情况看出：梁变形很小情况下，梁 的挠度和转角与载荷成线性关系。 这样，当梁同时受

17、到几个载荷作用时，由 每一个载荷所引起的梁的变形将不受其他载 荷的影响，故可以用叠加法来计算梁的变形。 即： 梁上同时承受几个载荷作用时所产生的变 形，等于各个载荷单独作用下所产生的变形 的代数和。 z EI M 1 例 图示为桥式起重机 横梁的受力简图。 起吊时在梁中点C所 受的集中载荷为P， 梁的自重可看作集 度为q的均布载荷， 梁的跨度为L，抗弯 刚度为EI。试求此 梁的最大挠度。 例 解：最大挠度发生在梁的中点C处。 所以： EI ql y EI Pl y Cq CP 384 5 48 4 3 EI ql EI Pl y 384 5 48 43 max 4-8 梁的弯曲变形与刚度校核

18、三、梁弯曲时的刚度校核 1、梁的刚度条件： 2、工程中常见构件的许可变形量规定： 1）桥式起重机横梁： max max yy ly 400 1 700 1 4-8 梁的弯曲变形与刚度校核 2）一般用途的转轴： 3）架空管道： 4）一般塔器： ly 500 1 hy 1000 1 500 1 ly)0005.00003.0( 4-8 梁的弯曲变形与刚度校核 四 、提高梁弯曲时刚度的主要途径 1、减小跨度或增加支座 2、选择合理的截面形状 3、减小载荷（合理分配载荷） 习题 4-8 作业题 简支梁如图4-45所示，L=4m。q = 9.8KN/m， = 100 MPa， E = 206 GPa。若许用挠度y = L/1000，截面为工字钢，试 选