等比数列知识点并附例题及解析

1、等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：an q q 0 n 2,且n N* ， q称为公比 an 12、通项公式：ana1qn 1a1 qnABna1q0, AB 0 ，首项：a1 ；公比： qq推广：nm nmananamqn mqnmnq nam3、等比中项：（1）如果a, A,b成等比数列，那么 A叫做a与b的等差中项，即： A2 ab或 A ab注意：同号的 两个数 才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个 （2）数列 a n 是等比数列 an 2 an 1 an 14、等比数列的前 n项和 Sn公式：（1）当 q 1 时， Sn na1（2）当q 1时，Sn a1 1 qa

2、1 anqn 1 q 1 qa1a1 qn A A Bn ABn A（ A,B,A,B为1q1q常数）5、等比数列的判定方法：1）用定义：对任意的 n ，都有an 1 qan或 anq（q为常数，an 0） an为等比数列（2）等比中项： an an 1an 1（an 1an 1 0） an 为等比数列（3）通项公式： an A Bn A B 0 an 为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若 an q q 0 n 2,且n N* 或 an 1 qan an 为等比数列 an 17、等比数列的性质：（2）对任何 m,n N* ，在等比数列 an 中，有 an amqn m。（3）若 m

3、n s t（m,n,s,t N*），则 an am as at 。特别的，当 m n 2k时，2得 an am ak注： a1 an a2 an 1 a3an 24）数列 an ，bn 为等比数列，则数列an，k an，an ，k an bn， bn（ k 为非零常数）均为等比数列。（5）数列 an 为等比数列，每隔 k（k N* ）项取出一项 （am,am k,am 2k,am 3k, ）仍 为等比数列（6）如果an 是各项均为正数的 等比数列 ，则数列 log a an 是等差数列（7）若 an为等比数列，则数列 Sn，S2n Sn， S3n S2n, ，成等比数列（8）若an 为等比数列

4、，则数列 a1 a2an，an 1 an 2a2n， a2n 1 a2n 2a3n成等比数列9）当 q 1 时，a1 0，则 an 为递增数列a1 0，则 an 为递减数列a1 0，则 an 为递减数列当 00， b 0 且 ab，在 a，b 之间插入n 个正数 x1， x2，式； (2)已知 a3 a4 a5 8，求 a2a3a4a5a6 的值xn，使得 a， x1，x2， xn，b 成等比数列，求证n x1x2xn 0， b 0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数 x1， x2，xn，使得 a， x1，x2， xn，b 成等比数列，证n x1x2xn a2b证明 设这 n2 个数所

5、成数列的公比为q，则 b=aqn+1n 1 b qan1 n x1x2 xn n aqaq2 aqn aq 2 abab2例 5】 设 a、b、c、d成等比数列，求证： （b c）2（ca）2（db）2（ad）2证法 一 a、b、c、d 成等比数列 a b c bcdb2 ac，c2bd，ad bc左边 =b22bcc2c22ac a2d22bdb2=2（b2ac）2（c2bd） （a22bcd2）a2 2ad d2（ad）2右边证毕证法二 a、b、 c、 d 成等比数列，设其公比为 q，则： baq，caq2，d=aq3左边 （aq aq2） 2 （aq2 a）2 （aq3 aq）2a2 2

6、a2q3 a2q6=（aaq3）2（ad）2=右边证毕说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c 的路子证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、 q去解决的证 法二稍微麻烦些， 但它所用的统一成基本元素的方法， 却较证法一的方法具有普遍 性【例 6】 求数列的通项公式：(1)a n 中， a12，an+13an2（2）a n 中， a1=2， a2 5，且 an+23an+12an0 思路：转化为等比数列解 （1）a n+1 = 3an2 an+11= 3（a n 1）a n

7、 1是等比数列an 1=3 3n-1 an=3n1(2)a n+2 3a n+1 2an= 0an+2 an+1= 2(a n+1 an)an+1an 是等比数列，即an+1an=（a2a1）2n-1=32n-1再注意到 a2 a1=3 ， a3 a2=3 21， a4 a3=3 22， anan-1=32n-2， 这些等式相加，即可以得到n12 n-2 2 1 n 1an = 31222 2n-2= 3 2 1 =3（2n 11）说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知（1）中发现 a n1是等比数列， （2）中发现 an+1an是等比数列， 这也是通常说的化归思想的一种体 现【例

8、7】 若实数 a1、a2、a3、a4都不为零，且满足 （a12a22）a242a2 （a1a3）a4a22a23 = 0求证： a1、 a2 、a3成等比数列，且公比为 a4证 a1、a2、a3、a4 均为不为零的实数 （a12a22）x22a2（a1a3）xa22a32 = 0为实系数一元二次方程 等式（a12 a22 ）a422a2（a1a3）a4a22a23 = 0说明上述方程有实数根a4上述方程的判别式 0，即2 2 2 2 22a2（a1a3） 2 4（a21a22）（a22a32 ） = 4（a22a1a3）2 0（a22 a1a3） 2 0又 a1、a2、a3 为实数（a22 a

9、1a3）2 0 必有a22 a1a3 =0即a22 =a1a3因而 a1、 a2、a3 成等比数列又 a = 2a2 (a1 a3) a2(a1 a3)4 2(a12 a22)a21 a1a3a2a1a4 即为等比数列 a1、a2、 a3 的公比【例 8】 若 a、 b、 c成等差数列，且 a1、b、c与 a、 b、 c 2都成等比数 列，求 b 的值解 设 a、b、c 分别为 b d、b、b d，由已知 b d 1、b、b d 与 b d、b、 bd2 都成等比数列，有b2 = （bd1）（b d）b2 = （bd）（b d 2）整理，得b2 = b2d2 bd b2 = b2d22b 2d

10、bd=2b 2d 即 b=3d 代入，得9d2=（3dd1）（3dd）9d2=（2d 1） 4d解之，得 d=4 或 d=0（舍 ）b=12【例 9】 已知等差数列 an的公差和等比数列 bn 的公比都是 d，又知 d1， 且 a4=b4， a10=b10：（1）求 a1与 d 的值；（2）b16 是不是 an 中的项？思路：运用通项公式列方程a4 = b4a13d= a1d3解 (1) 由 4 4 1 1 9 a10 = b10a19d= a1d9a1(1d3)= 3da1 (1d9 ) = 9dd6d32=0d1 1( 舍)或d2 3 2 a1d 3 2 d 3 2(2)b16=b1d15

11、=32b1且a4 =a1 3d = 23 2 = b4b4 = b1d3 = 2b1 = 23 2 b1 =a1 = 3 2b16=32b1=32a1，如果 b16 是an中的第 k 项，则 32a1=a1 (k 1)d(k 1)d= 33a1=33dk=34 即 b16 是a n中的第 34 项1 21 【例10】 设a n是等差数列， bn =(1)an ，已知 b1b2b3 = 21， 281 b1b2b3 = 1 ，求等差数列的通项1 2 3 8解 设等差数列 an 的公差为 d，则 an=a1(n 1)d1 a (n 1)d bn = (2)a1 (n 1)db1b3 = (12)a

12、1(1)a1+2d(2)(1) 2(a1+d)(2)13 由b1b2 b3 = ，解得 b3281118，解得 b2 = 21 ，代入已知条件b1 b21=8b321整理得81b1b3 = 417b1 b3 =138解这个方程组，得11b1 = 2，b 3 = 或b1 = ，b3 = 21 3 8 1 8 3a1= 1， d=2 或 a1=3，d= 2当 a1= 1，d=2 时， an=a1（n1）d=2n3当 a1=3， d=2 时， an=a1（n 1）d=5 2n【例 11】 三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等 差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个

13、数解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a， aq，aq2由已知： a，aq4，aq2 成等差数列即： 2（aq 4）=a aq2a，aq 4，aq232 成等比数列即： （aq4）2=a（aq232）aq 2 = 4aa=2 a= 2，两式联立解得： 或 9，两式联立解得： q= 3或 q= 52 10 50这三数为： 2， 6， 18或 ， ， 9 9 9解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 bd，b 4，bd 由已知：三个数成等比数列即： （b 4）2=（bd）（bd）8b d2 =16bd，b，bd32 成等比数列即 b2=（bd）（b d32）32bd2 32d = 026b=、两

14、式联立，解得：98 d=或 db= 180d=82三数为 2 ，910，950或2，6，918解法三任意设三个未知数，设原数列为a1， a2， a3由已知：a1，a2， a3 成等比数列得： a22= a1a33a1， a2 4， a3 成等差数列得： 2（a2 4）=a1 a3a1，a2 4， a332 成等比数列得： （a24）2=a1（a3 32）、式联立，解得：2910950a1a2a1 = 2或 a2 = 6a3 =18说明 将三个成等差数列的数设为a3 =39ad，a，ad；将三个成等比数列的数设为 a，aq，aq2(或 a ，a， aq)是一种常用技巧，可起到 q简化计算过程的作

15、用【例 12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为 ad，a， a d，则第四个数由已知条2 件可推得： (a d) a方法二 设后三个数为 b， bq， bq2，则第一个数由已知条件推得为2b bq方法三 设第一个数与第二个数分别为 x ，y，则第三、第四个数依次为 12 y，16x2（a d）2a由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求 的四个数，解法一 设前三个数为 ad，a， a d，则第四个数为（a d）2ad=

16、16依题意，有 aa （ad） =12a1 = 4a2 =9解方程组得： 1 或 2d1 = 4d2 = 6所求四个数为： 0，4，8，16或 15，9，3，1解法二 设后三个数为： b， bq， bq2，则第一个数为： 2b bq依题意有： 2bbqbq2 =16 bbq =12b1 = 4 解方程组得： qb11 =42b2 = 9 或1q2=3所求四个数为： 0， 4， 8， 解法三 设四个数依次为16 或 15， 9，3，1 x，y， 12y， 16x依题意有x （12 y） = 2y y（16x） = （12y） 2x2 = 15y2 = 9x 1 = 0解方程组得： 1 或y 1

17、= 4这四个数为 0，4，8，16 或 15， 9，3，1【例 13】 已知三个数成等差数列，其和为 126；另外三个数成等比数列， 把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85， 76， 84求这两个数列解 设成等差数列的三个数为 b d，b，bd，由已知， bdb b d=126 b=42这三个数可写成 42d， 42，42d再设另三个数为 a， aq，aq2由题设，得a42d =85 ap42= 762aq242d =84a d=43整理，得 aq=342aq2 d= 42解这个方程组，得a1=17 或 a2=68当 a=17 时， q=2， d= 261当a= 68时，q = ，d =

18、2517， 34， 68，此时成等差的三个数为 68，2从而得到：成等比数列的三个数为 42，16；或者成等比的三个数为 68，34，17，此时成等差的三个数为 17， 42，67例 14】 已知在数列 an中，a1、a2、a3 成等差数列， a2、 a3、a4成等比数列， a3、a4、 a5 的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5 成等比数列由，a42a3a5a3 +a5由，a1 + a3a2 =2 代入，得整理，2a3a1 +a3 2a3 a52 a3 a5a3a5（a1 +a2）a3 +a5证明 由已知，有2a2=a1 a32a3 = a2 a42 1 1a5a4 a3即 a3（a3 a5）=a5（a1 a3）a3 a3a5 = a1a5 a3a52 a3 =a1 a5所以 a1、 a3、a5 成等比数列【例 15】 已知 （bc）logmx （ca）logmy （ab）log mz=0 （1）设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数列(2)设正数 x， y， z 依