立体几何初步知识点练习题

1、柱、锥、台、球的结构特征棱柱：（1 ）概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这 样的多面体叫做棱柱。 棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面， 其余各个面都叫棱柱的侧面， 两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。（ 2 ）分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱 柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、分别称为三棱柱，四棱 柱，五棱柱，棱锥：（1 ）概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形， 那么这个多面体叫棱锥。 在

2、棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面， 棱锥中这个多边 形叫做棱锥的底面， 棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱， 棱锥中各侧棱的公共顶点 叫棱锥的顶点。 棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高， 过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥 的对角面。（ 2 ）分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥（3 ）正棱锥的概念： 如果一个棱锥的底面是正多边形， 且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫正棱锥。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部分叫做棱台， 原棱锥的底面和 截面分别叫做棱台的下底面和上底面。圆柱的概念： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转，

3、其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 旋转轴叫做圆柱的轴， 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面， 平行于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。 圆锥的概念 ： 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体；圆台的概念： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分； 球的定义：第一定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体， 简称球。 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。球的

4、截面与大圆小圆： 截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面； 大圆：过球心的截面圆叫大圆，大圆是所有球的截面中半径最大的圆。 球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长； 小圆：不过球心的截面圆叫小圆。棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形， 所有的侧棱都相等， 直棱柱的各个侧面都是矩形， 正棱 柱的各个侧面都是全等的矩形；与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形； 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么所得的截面与底面相似， 截面面积与底面面积的比 等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。正棱锥性质：正棱锥的各侧棱相等

5、， 各侧面都是全等的等腰三角形， 各等腰三角形底边上的高 （叫侧高） 也相等；正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R 、底面的半边长可组成四个直角三角形。圆柱的几何特征：底面是全等的圆； 母线与轴平行； 轴与底面圆的半径垂直； 侧面展开图是一个矩形。 圆锥的几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 圆台的几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。 球的截面的性质 ：性质 1 ：球心和截面圆心的连线垂直于截面；性质 2：球心到截面的距离 d 与球的半径 R及截面的半径 r 有如下关系： r2=R2-d2.例题 1

6、.如图,在正四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1中,AB=1,AA 1= ,点 E为 AB 上的动点 ,则D1E+CE 的最小值为 ()A2BC +1 D 2+答案： BABC 2D 2 ,在矩形 C1D1D2C2将正方形 ABCD 沿 AB 向下翻折到对角面 ABC 1 D 1内成为正方形中连接 D1C2,与 AB 的交点即为所求最小值点 E,此时 D1E+CE=D 1C2.因为对角线BC1=2,C 1C2=3, 故 D1C2=例题 2. 如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， ，侧面 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 的面积为( )A2B1CD答案 C试题分析：球心在面 的中

7、心 上， 为截面圆的直径， ，底面外接圆圆心 位于 中点， 外心 在 中点上，设正方形 边长为 ，中， ， ， ，即 ，则，例题 3.如图， 在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF/AB ，EF= ，EF与面 AC 的距离为 2 ，则该多面体的体积为 答案 :试题分析：如图，取 AB 中点 N，取 CD 中点 M ，,所以例题 4. 如图，已知正方体 上、下底面中心分别为 ，将正方体绕直线B， D 中选，显然 B答案 D试题分析：由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在 不对，因为 中点绕 旋转得到的圆比 B 点和 点的小，故选 D.例题 5.

8、已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位 :cm) ，可得这个几何体的体积是 ( )ABCD答案 C解答：解：由已知中的三视图可得： 该几何体是由一个圆柱和半球组成的组成体由图中所示的数据可得：圆柱的底面直径等于半球的直径为 2则半径 R=1圆柱的高 h=1V 圆柱 = R2h= 121= cm 3V 半球 = R3=3 cm 3故该几何体的体积 V= + =cmCF 都故选 C 例题 6.如图，四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线AE 、2 ）求四棱锥 E-ABCD与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积 .答案

9、 （1）(2)试题解析：（ 1）方法一：如图（ 1 ）连结 AC、BD 交于菱形的中心 O，过 O作 OGAF，G 为垂足 . 连结 BG、DG.由 BDAC，BD CF，得 BD平面 ACF， 故 BD AF. 于是 AF平面 BGD，所以 BGAF，DG AF，BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角 . 3 分由 FCAC ，FC=AC=2，得FAC，由 OB OG ， OB=OD=得BGD=2 BGO即二面角 B-AF-D 的大小为 . 6 分例题 7. 一圆台上底半径为 5cm ，下底半径为 10cm ，母线 AB 长为 20cm ，其中 A 在上底面上， B 在下底面上，从 AB

10、中点 M ，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到 B 点，则这条绳子最短长为 cmO画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为 有图得：所求的最短距离是 MB ，设 OA=R ，圆心角是 ，则由题意知， 10 = R ， 20 = （ 20+R ） ，由解得， = /2 ，R=20 ，OM=30 ， OB=40 ，则 MB=50cm 故答案为： 50cm 例题 8. 已知 、 是两个不同平面， 、 是两不同直线，下列命题中的假命题是 （ ）ABCD答案 B例题 9.设 m 、n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 ， ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则 ； 若

11、 ，则 . 其中正确命题的个数是 （ ）A1B 2C 3D 4答案 A命题错误，命题正确例题 10. （）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图 2 ），要求用其中一块剪拼成一3），要求剪拼成一个直三棱个正三棱锥模型， 另一块剪拼成一个正三棱柱模型， 使它们的全面积都与原三角形的面积相 等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1 、图 2 中，并作简要说明； （）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图柱模型， 使它的全面积与给出的三角形的面积相等， 请设计一种剪拼方法， 用虚线标示在图3 中，并作简要说明。解：（）如图 1，沿正三角

12、形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；如图 2 ，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形， 其较长的一组邻边边长为三角形边长的， 有一组对角为直角， 余下部分按虚线折起， 可成为一个缺上底的正三棱柱， 而剪出的三个相 同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。）依上面剪拼的方法，有 V 柱V 锥；推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2 ，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1 的正三角形，其面积为 ，现在计算它们的高：所以， V 柱 V 锥。）（附加题）如图 3 ，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线 段的中点为顶点作三角形 .以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三

13、个顶点向原三角形三边作垂线， 沿六条垂线剪下三个四边形， 可以拼接成直三棱柱的上底， 余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。球与正方体、长方体、四面体组合球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长， 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长， 正 方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 .球与长方体的组合体： 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长，外接球的半径为球与正四面体的组合体：棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 球与其他几何体的接切问题举例如下：球的半径均为 R，正方体、四面体、长方体的棱均为a，则 R 与 a 之间的关系：1 ）球与正四

14、面体的顶点接：（如右图所示）2 ）球与正四面体的面切：例题 1.一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16 ，则它的面数为（）A14B7C 15D 不能确定答案 A例题 2 下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A三角形B四边相等的四边形C梯形D 平行四边形例题 3. 正多面体至少有 个面， 条棱， 个顶点（ ）A4， 6， 4B 3，4，3C4， 8，6D3，6，4答案 : A例题 4. 一个正三棱锥的侧棱长为 1，底边长为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）答案: 3例题 5. 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的体积最大时， 其高的值为

15、( )A3BCD答案 : B例题 6.在一个球的球面上有 P、A、B、 C、D 五个点，且 P-ABCD 是正四棱锥，同时球心 和 P 点在平面 ABCD 的异侧，则 的取值范围是( )答案 :例题 7 关于如图所示几何体的正确说法为 这是一个六面体； 这是一个四棱台； 这是一个四棱柱； 这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；因为有六个面， 属于六面体的范围， 这是一个很明显的四棱柱， 因为侧棱的延长线不能 交与一点，所以不正确如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱， 可以有四棱柱和三棱柱组成， 和的想法 一样，割补方法就可以得到故答案为：例题 8. 一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6 ，则它的面数为 个已知多面体的每个面有