完美系统时域分析

1、二阶系统分析大中小二阶系统的传递函数由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为：4-5)其传递函数为：6）4-式中 系统的输入；系统的输出；常系数。为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即：4-7)若系数 a1 和 a2 的符号相同，（ 4-7 ）式可改写成如下形式：4-8)式中放大系数式（4-8 ）称为二阶系统传递函数的通用形式式（ 4-8 ）的特征方程式为4-9)方程的特征根为：4-10)由式（ 4-10 ）可知，随着阻尼比的改变，特征方程根的性质会发生变化，二阶系统的单位阶跃响应曲线形状也会随之变化。阻尼比 的变化可分成五种情况（即0；

2、 =0 ；0 1 ）。当 0 时，特征方程的两个根（或根的实部）大于零，二阶系统是不稳定的，对这种情况不 作讨论。下面就其它四种 的取值情况进行讨论。二阶系统的单位阶跃响应1、 无阻尼情况( =0 )=0 时，式( 4-10 )为：即特征方程的两个根位于虚轴上，见表 4-1其传递函数为当输入信号为单位阶跃信号时：取 C(s) 的拉氏反变换，得无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：4-11)这是振幅为 K的等幅振荡， 其单位阶跃响应曲线如图 4-1 中曲线所示。 图中横坐标用 刻度 , 纵坐标用 c(t)/c( ) 刻度，曲线只是 的函数。等幅振荡(阻尼比 =0 )的振荡频率为 ，因而 被称为无阻尼自

3、然振荡频率。、 欠阻尼情况（ 0 1）0 1 时，二阶系统特征方程式的两个根为共轭复根，即式中 特征根实部之模值，称为衰减系数，具有角频率量纲，阻尼振荡频率，见表 4-1 所示。系统的传递函数为当输入信号为单位阶跃信号时，取 C(s) 的拉普拉斯反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：4-12 )由式( 4-12 )可看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成，稳态响 应值(即 c( ) )等于 K，也就是说，稳态(即 )时，输入信号与输出信号 c( ) 之间不存在稳态误差。 瞬态分量是一个随时间 增长而衰减的振荡过程，振荡频率为 ，称为阻尼振荡频率。欠阻尼二阶系统 的

4、单位阶跃响应曲线为一条衰减的正弦曲线，见图 4-2 所示。整个响应特性曲线包含在一对包络线之内， 包络线的方程为4-13)衰减的。根的负实部（即它是时间常数为）的指数曲线。瞬态响应的幅值是按这条指数曲线的时间常数进行数值越大，瞬态响应衰减得就越快，因此，欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线的振荡频率为阻尼振荡频率即特征根的虚部），, 因而振荡周期：。当 一定时，阻尼系数 越大，振荡周期就越长如果 ，响应过程成为非周期， 将不复存在，系统的响应不再振荡。但为了便于分析和 叙述， 和 的符号和名称在 时，仍将沿用下去。、 临界阻尼情况（ ）时，二阶系统特征方程有两个相等的负实根：见表 4-1 所示。系统

5、的传递函数为当输入为单位阶跃信号时：4-14 )其响应曲线如图 4-1 上曲线所示，响应是稳态值为 K 的非周期过程。、过阻尼情况()时，二阶系统特征方程有两个不等的负实根：见表 4-1 所示。系统的传递函数为当输入为单位阶跃信号时取的拉普拉斯反变换，得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：4-15)4-16)单位阶跃响应曲线如图 4-3 所示，它是一条单调的非周期曲线，由单位阶跃输入作用下的稳态响应和两条衰减的指数曲线组成。由式（ 4-15 ）知， 、 的方程分别为：4-17)(4-18)图 4-3 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线在 一定的情况下，如果 越大，两个负实根的数值就相差得越多。这时衰减

6、得快的指数项 c11(t) 的衰减速度更加快，而衰减得慢的指数项 的衰减速度则更加慢。当 远大于 1 时， c11(t) 比 c12(t) 的衰减要快得多，这个快速衰减的指数项 c11(t) 对动态过程的影响可忽略不计。系统的阶跃响应 特性类似于一阶惯性环节的响应特性了。从图 4-1 可看出，当欠阻尼系统的 值在之间时，响应曲线比临界阻尼或过阻尼情况下的响应 曲线更快到达稳态值。在非周期响应系统中，临界阻尼系统的响应速度最快，过阻尼系统对输入的响应 比较缓慢。二阶系统的单位阶跃响应情况综合于表 4-1 所示。阶系统的传递函数除了式( 4-8 )的形式外，还可能有4-19 )-20)式（4-19

7、 ）、（4-20 ）所表示的二阶系统，只是传递函数的分子部分不相同，而分母部分是一样的，也就是说，它们的特征方程式相同，所以，它们的阶跃响应特性的基本形式是一样的，即当 时是非周期的， 0 1 时，是衰减振荡的。二阶系统的时域性能指标实际调节系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程。为了分析调节系统对单位 阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用一些性能指标 , 除第一章介绍的超调量 Mp、衰减率 、调节时 间 ts 和静态偏差 e（）（或称稳态误差）外，还有两个指标：（1） 上升时间 tr ：响应从其稳态值的 10%上升到 90%所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种 度量。显然

8、，上升时间越小，响应越快。（2） 峰值时间 tp ：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。 上述性能指标基本上可以体现过渡过程的特征。其中，上升时间 tr 和峰值时间 tp 是系统在初始阶 段响应速度的一种度量；调节时间 ts 表示了系统过渡过程的持续时间，反映了系统的快速性；超调量 MP和衰减率 反映了系统过渡过程的稳定性；稳态误差e（）反映了系统的准确性。请参见图（4-4 ）图 4-4 二阶系统时域性能指标示意图是，所得公式仅适用于以式（4-8 ) 即 所描述的二阶系统。如果传递函数的下面讨论欠阻尼二阶系统的峰值时间 tp 、超调量 MP、衰减率 和调节时间 ts 的计算。要指出的分子

9、只有 S 的一次项或 S的一次项加常数项，则计算公式要另行讨论。具体推导公式以前，有必要阐明欠阻尼二阶系统特征参量 、 、n和 d之间的相互关系，见 图（ 4-5 ）。由图可见，衰减系数是系统特征根到虚轴之间的距离；阻尼振荡频率 d是特征根到实轴之间的距离；自然振荡频率 n是特征根到坐标原点之间的距离；若令OS1直线与负实轴夹角为，则有：=cos，因此峰值时间图 4-5 欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系1. 峰值时间 tP根据式( 4-12 )，将 c(t) 对时间微分，并令其为零，有因为峰值时间定义为：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间，所以应取计算公式为4-22 )上式表明，峰值时

10、间等于阻尼振荡周期TK 的一半2. 超调量 MP因为超调量发生在峰值时间上，所以将式（ 4-21 ）代入式（ 4-12 ），得输出量的最大值4-23)图 4-6 表示了超调量 Mp 与阻尼比的关系，超调量是随着阻尼比的增大而减小的4-24)图 4-6 二阶系统超调量( Mp)、衰减率 () 、衰减指数 (m) 与阻尼比 () 的关系3. 衰减率 ？式中 M(tp) 第一个波幅幅值，这时 t=tpM(tp+Tk) 第二个正向波幅幅值(图中 4-4 中的 M2)，这时 t=tp+Tk根据( 4-21 )式， n=3 所对应的时间，为第二个波幅出现的时间，即因此根据式（ 4-24 ），得衰减率 的计

11、算公式( 4-25 )可见，欠阻尼二阶系统的衰减率曲线。衰减率 随 的增大而增大。与超调量 Mp一样，只与阻尼比有单位关系，见图 4-6 中的在式（ 4-23 ）和式（ 4-25 ）的指数中都含有比值这个比值是欠阻尼二阶系统特征根的实部绝对值与虚部绝对值之比，称为二阶系统的衰减指数，用m表示，其关系为4-26 )衰减指数 m也是阻尼比 的单值函数。见图 4-6 中的曲线 m。 m值随 的增大而增大这样，描述欠阻尼二阶系统振荡过程衰减情况的有m、 和 三种参数。所不同的是，衰减指数是由特征方程根的实部与虚部之比来定义的；衰减率 是由振荡过程曲线中相邻两个振幅的衰减百分比来定义的；而阻尼系数 是用

12、特征方程式各项系数来表示的。它们之间的关系为(4-27)另外，超调量 Mp与衰减率 之间也存在着一定的关系，即4-28)四个参数之间存在着一一对应的关系，表 4-2 中列出了一些具体的数值，在分析和整定热工过程自动调节系统时，常用到这些关系。表 4-2 二阶系统、 Mp、 m和值的对应关系在一般的热工自动调节系统中，通常选择衰减率4. 调节时间 ts从前述调节时间 ts 的定义知，调节时间 ts 应满足：其中 是稳态值的 5%(或 2%)，即 =( ) 或 =( ) 。为了计算方便，通常采用图 4-4 上阶跃响应曲线的一对包络线表示衰减振荡曲线的衰减程度，其包络线的方程为：4-29) 所需的时

13、间。因调节时间 ts 的定义修改为：响应曲线的包络线与稳态值的偏差减小到允许范围此， ts 满足4-30 )取 =（ ） 或 =（ ） ，将式（ 4-29）代入式（ 4-30 ），并且由于 c（ ）=K，则有分析可以得出，在足够宽的值范围内，如 ，的值变化不大，对于=( ) ，其值为 ，用 4 近似；对于 =（ ） ，其值为，用 3近似，从而式（ 4-32 ）可简化为采用 2%的误差带）4-31)（采用 5%的误差带）4-32)上式表明，调节时间 ts 与特征根的实部数值成反比，特征根的实部数值越大，即离虚轴的距离越 远，系统的调节时间越短。或者说，调节时间与系统阻尼比和自然振荡频率的乘积反比

14、。由于阻尼比 主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然振荡频率n 决定。若保持阻尼比值不变而加大自然振荡频率值，则可以在不影响超调量的情况下缩短调节时间。例 4-1 闭环系统如图 4-7 所示，试求系统单位阶跃响应的性能指标：tp 、 Mp、 ts 和稳态误差 e()。图 4-7 例 4-1 闭环系统框图解：系统的闭环传递函数为4-33)二阶系统传递函数的通用形式为4-34)式（ 4-33 ）与式（ 4-34 ）相比较，可得K=1n=5 ( rad/s )放大系数无阻尼自然振荡频率阻尼比由此可以求得：阻尼振荡频率处=纵 Jl - J = 5J1 - 0.6； = 4gd 叮+，嵯值时间r = = =0.785超调量Af =严曲二=16.3% ,rv0 = 1矿如戸=1=97.3%调节时间p44t, w= = 1,33 fs)5f1 h采用乩的误差带t33 1Z .r =1j)*n稳态误差e(r)二 1一匸(a)=1 - lini SC(5)J-sC=1 血