一元二次不等式恒成立问题

1、1412一元二次不等式恒成立问题 二、热点命题悟通考点 1形如 f(x)0(xr)例 1 、 若 关 于 x 的 不 等 式 ax2 _ x 10 的 解 集 为 r ， 则 常 数 a 的 取 值 范 围 是a0，解析由题意得 解得 a .14a0，例 2、不等式 x22x5a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )a1，4 b( ，2 5，)c( ，1 4，) d2，5解析 思路点拨 由一元二次不等式大于 0 恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与 x 轴没有交点；方法一：原不等式可化为 x22xa23a50，要使不等式对任意实数 x 恒成立，则 (2)24(a

2、23a5)0，即 a23a40，解得1a4，故选 a.方法二： x22x 5(x 1)24 的最小值为 4 ，要使 x22x 5a23a 对任意实数 x 恒成立，只需 a23a4，解得1a4，故选 a.考点 2 形如 f(x)0(xa，b)例 3、设对任意实数 x1，1，不等式 x2ax3a0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )1 1aa0 ba ca da0 或 a122 4解析 思路点拨 由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间 上恒小于 0。设 f(x)x2ax3a.因为对任意实数 x1，1，不等式 x2ax3a0 恒成立，f（1）0， （1）2a3a0，所以

3、 即f（1）0， 12a3a ，即实数 a 的取值范围是 a ，故选 b.2 2考点 3 形如 f(x)0(参数 ma，b)例 4、已知 a1，1，不等式 x2(a4)x42a0 恒成立，求 x 的取值范围思路点拨 可把 x 当作 a 的系数，把原不等式化为关于 a 的不等式，则原问题转化为一次函数 在区间1，1恒成立问题解：把原不等式化为 (x2)ax24x40，设 f(a)(x2)ax24x4，则 f(a)可看成为关于 a 的函数由 f(a)0 对于任意的 a 1，1恒成立，得f（1）0， x25x60， 即f（1）0， x23x20，解得 x3，即 x 的取值范围是(，1)(3，)考点

4、4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例 5、若关于 x 的不等式 ax23xc0 的解集为1，2，则 a_，c_解析：由题意得方程 ax23xc0 的两根为 x 1，x 2，11211，0a110，解得 a0 或 a233 c由根与系数的关系可得 12 ，12 ，解得 a1，c2.a a例 6、 设 a1，若 x0 时，(a1)x1(x2ax1)0 恒成立，则 a_思路 本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂可考虑根据不等式对应的函数 f(x)、方程 f(x)0 和不等式 f(x)0 的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0，) 上的关系.解析设函数 y (a1

5、)x1，y x 2ax1，则这两个函数图像都过定点 p(0，1)，问题可转化为两个函数在区间(0，)上的符号相同在函数 y11(a1)x1 中，令 y 0，得 x 0，a1即函数 y1 的图像与 x 轴的交点坐标为 m ， 而函数 y2 x2ax1 的图像过点 m，则1 a12a 3.a1又 a1，所以 a2.三、迁移应用练透1已知关于 x 的不等式 x2ax2a0 在 r 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析 (1)x2ax2a0 在 r 上恒成立，a242a0，解得 0a0 对任意实数 x 恒成立，所以 a24310，解得2 3a0 对xr 成立；当 a0 时，要使xr，f(x)0 恒

6、成立，a0，则 解得 0a4.a24a1 的解集为( )(a2)x1(az)，且函数 f(x)在(2 ，1)上恰有一个零点，则a(，1)(0，) b(，0)(1，) c(1，0) d(0，1)解析 (1)f(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa240，函数 f(x)ax2(a2)x1 必有两个不同的零点 又 f(x)在(2，1)上恰有一个零点，f(2)f(1)0，3 5即(6a5)(2a3)0， a1 即为x2 解得1x0，5若不等式 x2ax20 在区间1，5上有解，则 a 的取值范围是( )2 55552 2a 22 2a2amin23 23a. ， b. ，123c(1，) d. ，

7、解析由 a280，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根23于是不等式在区间1，5上有解的充要条件是 f(5)0，解得 a ，523故 a 的取值范围为 ， ，故选 a.6若关于 x 的方程 x2(m1)xm220 的两个实根一个小于 1，一个大于 1，则实数 m 的 取值范围是( )a( 2， 2) b(2，0) c(2，1) d(0，1)解析 设 f(x)x2(m1)xm22，由关于 x 的方程 x2(m1)xm220 的两个实根一个小于 1，一个大于 1，得 f(1)0，即 12(m1)m220，化简得 m2m20，解得2m1，即实数 m 的取值

8、范围是(2，1).7 已知函数 f(x)x2axb(a，br)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为( )a0 b3 c6 d9a a2解析 由题意知 f(x)x2axb x b .4a2 a2f(x)的值域为0，)，b 0，即 b ，4 42f(x) x ，a a af(x)c，即 x c，解得 cx0，即 4a24(2a)0 或a1，g（1）0，解得3a1.故所求 a 的取值范围是3，1例题：设函数 f(x)mx2mx1.(1) 若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围；(2) 对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围 .(3) 对于任意 m1,3 ，f(x)m5 恒成立，求实数 x 的取值范围.解： (1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10，满足题意；m0，若 m0，则m24m0，即4m0.4m0.(2)方法一要使 f(x)m5 在 x1,3上恒成立，就要使 m