二阶常微分方程解.

1、第七节二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结 构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求 二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节 讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线 性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐 次方程的求解方法。 7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为+p业 + qy= 0（7.1）dx dx其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程（7.1） 的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解yi,y 2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程（7.1）可能具有什么形式的特解，

2、从方程的形式上来看，它的特点是 空，dy，y各乘dx2 dx以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其dy2, dy, y之间只相差一个常数因子，这样的函dx2dx数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函 数erx，符合上述要求，于是我们令rxy = e(其中r为待定常数)来试解将 y = e , dy = re0,鸽=r2erx 代入方程(7.1)dxdx2得r2erx + prerx + qe = 0或e (r2 + pr + q)= 0因为erx工0,故得2r + pr + q=0由此可见，若r是二次方程2r + pr + q = 0(7.2)的根，那么erx就是方程(

3、7.1)的特解，于是方程(7.1) 的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称 (7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次 代数方程。特征方程的两个根r 1， r 2，称为特征根， 由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面 我们分别进行讨论。(1) 若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r 1，r2， 此时er 1 x，er2x是方程(7.1)的两个特解。rix因为字=e(ri-r2)x工常数 e2所以erix, er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.i)的通解为y = Gerix + C2er2x(2) 若特

4、征方程(7.2)有两个相等的实根ri = r2,此 时 p2 4q= 0,即卩有 r i = r 2=卫，这样只能得到方程(7.i)的一个特2解y i = er 1 x，因此，我们还要设法找出另一个满足 去工yi常数，的特解y2，故东应是x的某个函数，yi设蚩=u,yi其中u= u(x)为待定函数，即y 2 = uyi = ue r i x对y2求一阶，二阶导数得dy2du rixrix2 = e + r iue = （k riu）edx dxdx2 2d y2/ 2du | d u、rix2 = （r i u+ 2ri +2 ）edx2dxdx2将它们代入方程（7.i）得（r 2iu+2 n

5、史 + 马）erix + p（史 + nu）erix +dx dxdxr1xque = 0歸+(2r1+P)du + (r 21 + pri + q)u er1x dx因为er1x半0,且因ri是特征方程的根，故有r2】 +pr i+ q = 0,又因ri = p故有2ri+ p= 0,于是上式2成为d2udx2显然满足乎=0的函数很多我们取其中最简单的一个u(x) = x则y2 = xerx是方程(7.1)的另一个特解， 且yi, y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.i)的通解是y= Cierix + C2xerix = (Ci + C2x)erix(3) 若特征方程2)有一对共轭复根r

6、 i= a+ i 3 , r2= a i 3 此时方程(7.i)有两个特解(a + i 3 )x( a i 3)xy i = ey 2= e则通解为 y = Cie(a+ i x + Ge(a i x 其中Ci, G为任意常数，但是这种复数形式的解, 在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式 的通解，为此利用欧拉公式ix|ixe = cosx + isinx , e = cosx isinx有1 (e ix + eix) = cosx21ix ix(e e ) = si nx2i1 (y 1 + y) = 1eax(ei 卩x + ei 3x ) = eaxcos 3 x2 211 a

7、x i 3 x- i 3 xa x(y i y2)= e (e e ) = e sin 3 x2i2i由上节定理一知，(y 1 + y2), 1 (y 1 y2)是方程22i(7.1) 的两个特解，也即eaxcos 3 x, eaxsin 3 x是方程(7.1) 的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知， 方程(7.1)的通解为y = Geaxcos 3 x+ C2eaxsin 3 x或 y= ea x(Gcos 3 x + C2sin 3 x)其中C, G为任意常数，至此我们已找到了实数形 式的通解，其中a，3分别是特征方程(7.2)复数根的 实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程

8、(7.1)的通 解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三 种情况确定其通解，现列表如下特征方程r2+ pr + q = 0的 根微分方程d-y2 + pdy + qy dx2dx=0的通解有二个不相等的实根n,r2y = Ger1x + C2er2x有 二重根 r 1 = r 2y = (G1+ C2x)er1xr = 口 + i P有一对共轭复根r2 = g - iPy = eax(C1COS 3 x+ C2sin3 x)例1.求下列二阶常系数线性齐次方程的通解(1) 竺2 + 3史-10 y = 0dx2 dx(2) 空4矽 + 4y= 0 dx2 dx(3) 空 + 4业 +

9、 7y = 0dx2 dx解(1)特征方程r2+ 3r 10= 0有两个不相等的 实根r1 = 5， r 2 = 2所求方程的通解 y = Ge 5r+ C2e 2x(2) 特征方程r2 4r + 4= 0,有两重根r1 = r 2= 2所求方程的通解y = Q + C2x)e 2x(3) 特征方程r2+ 4r + 7= 0有一对共轭复根r1 = 2+ 3i r 2= 23i所求方程的通解 y = e2x(CiCos . 3x+ C2sin3x) 7.2二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系 数线性非齐次方程(7.3)理 + pdy + qy=f(x)dx

10、dx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再 求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解， 而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决， 因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关， 这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。a X=pn(x)e一、f(x) = pn(x)e ax ，其中pn(x)是n次多项式，我 们先讨论当a = 0时，即当 f(x) = pn (X)时方程(7.4)空 + pdy + qy=pn(x)dx2 dx的一个特解。(1) 如果qz0，我们总可以求得一 n次多项式满足此方程，事实上，可设特解y =

11、 Q(x) = axn+ axn_ 1 + an ，其中ao, ai,an是待定常数，将y及其 导数代入方程（7.4），得方程左右两边都是n次多项 式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数ao ,ai， an。例1.求也+ dy + 2y = X2 3的一个特解。dx2 dx解 自由项f(x) = X2 3是一个二次多项式，又q=2工0,则可设方程的特解为2y = aox + aix + a2求导数y = 2aox + aiy = 2ao代入万程有 2ax + (2a o+ 2ai)x +(2ao+ ai + 2a2) =x2 3比较同次幂系数i2ao M2i2ao 2a o 解得 印I22a

12、。ai 2a? = -37比4所以特解y = x2 lx 7224(2) 如果q= o,而pHo，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时y = Q(x)不能满足方程，但它 可以被一个(n + 1)次多项式所满足，此时我们可设y = xQ(x) = aoxn 十1+ aixn+ anx代入方程4)，比较两边系数，就可确定常数 ao, ai，.an o例2.求方程 心2 + 4dy = 3x2 + 2的一个特解。dx2 dx解 自由项f(x) = 3x2 + 2是一个二次多项式，又 q= 0, p=4工0,故设特解32y = aox + aix + a2X求导数y = 3aox + 2aix

13、+ a2y = 6ax + 2ai代入方程得2(2 ai + 4a2) = 3x + 2,2i盯43 ai =i6i912aox +(8ai + 6a) x 比较两边同次幂的系数i2a厂 38a6a厂0 解得2a4a2 二 2a2所求方程的特解y =x2+ 19 X41632(3) 如果p= 0, q= 0,则方程变为dy = pn(x),此 dx时特解是一个(n + 2)次多项式，可设y = x2Q(x),代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。下面讨论当a工0时，即当f(x) = pn(x)e ax时方程dJ2 + pdy + qy= pn(x)e a xdx dx的一个特解的求法，方程(

14、7.5)与方程(7.4)相比， 只是其自由项中多了一个指数函数因子e “x，如果能通过变量代换将因子e“x去掉，使得(7.5)化成(7.4)式 的形式，问题即可解决，为此设y = ue 是待定函数，对y = ueax，求导得dyax du a=e + a uedx dx求二阶导数dy = edx代入方程(7.5)得d2u 丄 c du 丄_2十2 a十dx2dxd u + 2a ea dx2+ pe(7.5)，其中 u= u(x)du + a 2ueaxdx虫 + a u +dxa x/ a xque = pn(x)e消去eax得d U + (2 a + p) dU + ( a 2+ p a

15、+ q)u = pn ( X) dx2dx6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：(1) 如果a + p a + qM 0，即a不是特征方程r + pr+ q= 0的根，则可设(7.6)的特解u=Q n(x),从而可设5)的特解为y = Q(x)e(2) 如果 a + p a + q = 0，而 2 a + pM 0，即 a 是 特征方程r2+ pr + q= 0的单根，则可设(7.6)的特解u=xQ(x)，从而可设(7.5)的特解为y = xQ(x)ea x(3) 如果 r2+ p a + q= 0，且 2 a + p= 0，此时 a 是特征方程r2+ pr +

16、q= 0的重根，则可设(7.6)的特 解u = x2Q(x)，从而可设(7.5)的特解为y = x Q(x)e a x例3.求下列方程具有什么样形式的特解(1) 电 + 5dy + 6y = e 3xdx dx(2) 耳 + 5dy + 6y= 3xe - 2xdx2dx(3) dy + a dy + y=-(3x2 + 1)e -x dx dx解(1)因口= 3不是特征方程r2+ 5r + 6= 0的根， 故方程具有形如y = ae 3x的特解。(2) 因a= 2是特征方程r2+ 5r + 6= 的单根， 故方程具有形如y = x(a x + ai)e 2x 的特解。(3) 因a= 1是特征

17、方程r2+ 2r + 1 = 的二重 根，所以方程具有形如y = x2(a x2 + aix+ a? )e x 的特解。例4.求方程弓+ y= (x 2归的通解。 dx解特征方程r 2 + 1 = 特征根r = i得，对应的齐次方程 理 + y= dx2的通解为丫 = C cosx+ C2sin x由于a = 3不是特征方程的根，又pn(x) = x 2为一次 多项式，令原方程的特解为y = (aox+ aje 3x此时 u = ax + a1, a = 3, p= 0, q= 1，求 u 关于 x 的导数du = a,空=0,代入dxdx2d U + ( 2 a + p) dU + ( a

18、+ a p+ q)u = (x 2)dx2dx得：10a ox + 10ai + 6a。= x 21350比较两边x的同次幂的系数有10町1解得 a0 = 1 , a110a1 6a0 = - 210于是，得到原方程的一个特解为/ 113 3xy = (x -)e1050所以原方程的通解是x 13) e3x1050 1 y = Y+ y = Ocosx + C2si nx +(例 5.求方程 d y 2dy 3y = (x 2 + 1)e x 的通 dx2 dx解。解特征方程r 2 2r 3= 0特征根 r 1 = 1, r2= 3所以原方程对应的齐次方程 空2dy 3y=0的dx2 dx通解

19、丫= Cex + C2e3x,由于a= 1是特征方程的单根， 又pn(x) = x2 +1为二次多项式，令原方程的特解y = x(a 0X + ax + a2)e此匕时u= aox3+ ax2+ a2X, a = 1, p= 2, q = 一 3对u关于x求导du = 3aox2 + 2ax + a2dxd-u = 6ax+ 2a1dx2代入 d U + (2 a + p) + ( a + pr + q)u = x + 1, dx2dx12ax + (6a 0 8a)x + 2a1 4a2 = x + 1 比较 x 的同次幂的系数有- 12a0 二 1a _ 1a。0 126a0 - 8印=0

20、解得1ai 二162a1 - 4a0 二 09已2 =32故所求的非齐次方程的一个特解为 x / x2 | x | 9、 xy = (+ + _ )e4348二、f(x) = pn(x)e axcos B x 或 pn (x) eaxsin B x, 即求形如4 + pdy + qy= pn(x)e a xcos B xdx2 dx(7.7)心2 + pdy + qy= pn(x)e axsin B xdx2 dx(7.8)这两种方程的特解。由欧拉公式知道，pn (x) excos B x, pn(x)e xsin x分别是函数pn(x)e (a+iB) x的实部和虚部。我们先考虑方程d Vi

21、 dy( a +i B ) x2 + qy= pn (x) edx2 dx(7.9)方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的 特解的求法已在前面讨论。由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是 方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程 (7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特 解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的 一个特解。注意到方程9)的指数函数e(a + i B) x中的a+ i B(p工0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程， 所 以a+ i卩最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特 解形为 Q(x)e (a

22、+ip)x或 xQn(x)e (a+ip)x 。例6.求方程 空 y = excos2x的通解。dx解特征方程r 2 1 = 0特征根 r 1 = 1, r 2 = 1于是原方程对应的齐次方程的通解为丫 = Gex+ C2ex为求原方程的一个特解y2先求方程一冷y =的一个特解，由于idx2+ 2i不是特征方程的根，且Pn(X)为零次多项式，故 可设 u = ao，此时 a= (1 + 2i) , p= 0, q= 1 代入方 程d U + (2 a + p) dU + ( a + a p+ q)u = 1 dx2dx2得(1+ 2i ) 1 ao= 1，即(4i 4)ao= 1,得11 .a

23、 o = (i +1)4(iT)8这样得到空y = e(1 + 2i)x的一个特解dx28+ 1)e(1 + 2i ) x由欧拉公式y =-1 (i + 1)e+2i)x8=1 (i + 1)ex(cos 2 x + isin2x)8=1 x-e (cos2x sin2x ) + i(cos2x + sin2x) 8取其实部得原方程的一个特解 1 %y = ex(cos 2 x sin2x)8故原方程的通解为y = Y+ y = Oex + C2ex 1 ex(cos2x sin 2x)8例 7. 求方程 dy2 + y= (x 2)e3x + xsinx 的通dx2解。解 由上节定理三，定理

24、四，本题的通解只要分别求dy + y=0的特解Ydx2铠+ y= (x 2)e3x的一个特解 ,dx鸽+ y= xsin x的一个特解 y2dx2然而相加即可得原方程的通解，由本节例4有丫 = Gcosx + Qsinx ,y1 =( x 13)e3x1050下面求 y2，为求 y先求方程啤 + y=xeixdx由于i是特征方程的单根，且pn (x) = x为一次式，、 2故可设 u = x(a0x + a” = aox + ax，此时 a = i ,p= 0, q= 1,对u求导屯=2ax + a1,色=2a。dxdx1 = 4i4 1 + y = xeix的一个特解i 21ixy = (

25、x + - x)e44i 21=(-x + - )(cosx + isi nx)44代入方程dU + ( a + p a+ q)u = x dxo + 2i(2a ox + a1)+ 0 = x今 + (2 a+ P)dx2得 2aox+ 2ia 1 + 2ao= x即 4ia比较x的同次幂的系数有:4ia0 = 12ia2a0 二 0即方程空dx21 2 1 1 2 1=(xsinx + -xcosx) + i( -x cosx + xsinx) 44取其虚部，得 1 2y2 = 4xcosx+ 1x sin4所以，所求方程的通解y = 丫+ y1 + y2=Gcosx + C2sinx +

26、 ( 13)e 3x 1x2cosx +10541 .xsinx4综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程理 + pdy + qy=f(x) dx dx当自由项f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解y可用待定系数法求得，其特解形式列表如下:自由项f(x)形式特解形式f(x) = pn(x)当 qM 0 时 y = Q(x) 当 q= 0,p M 0 时 y = Q(x)当 q= 0,p = 0 时 y =2x Q(x)f(x) = pn (x) eax当a不是特征方程根时y = Q(x)e “x当a是特征方程单根时y=xQ(x)e ax当a是特征方程重根时y =x2Q(x)e axf(x) =

27、 pn(x)e a xcos 3 x 或f(x) = pn(x)e axsin 3 x利用欧拉公式ei 3x = cos 3 x + isin 3 x,化为 f(x)= pn(x)e (a + i x 的形式求 特解，再分别取其实部或 虚部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。例 8.求 y + 3y+ 3y+ y = ex 的通解 解对应的齐次方程的特征方程为32r + 3r + 3r + 1 = 0 r 1 = r 2= r 3= 1 所求齐次方程的通解丫= (C1+ Gx+ Gx2)e x 由于a =1不是特征方程的根因此方程的特解y =

28、ae代入方程可解得ao =-8故所求方程的通解为y = Y+ y = (C1 + Gx+ C3x2)e x+ Xex 7.3欧拉方程下述n阶线性微分方程8nn _1a oxnd + aixnld 丿 + + an- 1xd + any = f(x) axdxdx称为欧拉方程，其中ao, ai，an都是常数，f(x) 是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线 性方程。下面以二阶为例说明。对于二阶欧拉方程(7.10)a ox2d y + aixdy + a?y = f(x)dx2 dxIn x作变量替换令x = d，即t = 引入新变量t,于是有dy = dy dt =dx dt dxdy 1 = 1 dydt x x dtdy) + dy_d( 1) dt dt dx xd2y = A ( 1dy) =(dx2 dx x dt x dx=1 d2y dt _ 1 dyx dt2 dxx2 dt=1 dy _ 1 dy=x2 dt2x2 dt代入方程10)得 a o(雪 _ 史)+ 电或 + ay = f(e )dt2dt dt2即d_y