高中数列经典题型_大全

1、n +1 nn +1n +1n高中数学：递推数列经典题型全面解析a=a + f ( n ) 类型 1nn +1解法：把原递推公式转化为an +1-a = f ( n) n，利用累加法 ( 逐差相加法 ) 求解。例: 已知数列an满足a1=1， a =a + 2 n21+n，求an。类型 2an +1= f ( n ) an解法：把原递推公式转化为an +1an= f ( n )，利用累乘法 ( 逐商相乘法 ) 求解。例: 已知数列a满足 na =12 n， a = a3 n +1n，求an。例: 已知a =31，an +1=3n -13n +2a ( n 1) n，求an。类型 3an +1=

2、 pa +qn（其中 p ，q 均为常数，( pq ( p -1) 0)）。例: 已知数列an中，a =1 ， a 1n +1=2 a +3 ，求 a . n n变式 : 递推式：an +1= pa + f (n) n。解法：只需构造数列b，消去 f (n) n带来的差异类 型 4an +1= pa +qnn（ 其 中 p ， q 均 为 常 数 ，( pq ( p -1)( q -1) 0)）。（an +1= pa +rqnn, 其中 p ，q, r 均为常数） 。例: 已知数列an中，a1=5 1 1 , a = a +( )6 3 2n +1，求an。类型 5 递推公式为an +2= p

3、an +1+qan（其中 p ， q 均为常数）。解法一（待定系数迭加法） : 数列an：3an +2-5 an +1+2 a =0( n 0, n n ) n，a =a , a =b 1 2，求数列a的通项公式。 n解法二（特征根法）：数列an：3an +2-5 an +1+2 a =0( n 0, n n ) n，a =a , a =b 1 2n12 3nnn +1 nn1n -1nn -1n的特征方程是：3x 2 -5 x +2 =0。q x =1, x = 1 22 2 , a = ax n -1 +bx n -1 =a +b ( )3 3n -1。又由a =a , a =b 1 2，

4、于是a =a +b a =3b -2 a 2 b =a + b b =3( a -b )故2a =3b -2 a +3( a -b )( )3n -1例: 已知数列an中，a =1 , a =2 , a 1 2n +22 1= a + a ，求 a 。 3 3类型 6 递推公式为 s 与 a 的关系式。 ( 或n ns = f ( a ) n n)解法：这种类型一般利用 a =s (n=1) 1s -s (n2) n n -1与例：已知数列an前 n 项和sn=4 -a - n21n -2. （ 1 ）求a与 a 的关系；（ 2）求通项公 n +1 n式an.类型 7an +1= pa +an +b ( p 1、0，a0) n解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an +1+x ( n +1) +y = p ( a +xn +y )n， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解 出 x, y , 从 而 转 化 为a +xn +y n是公比为 p 的等比数列。例: 设数列an：a =4, a =3a 1 nn