极化恒等式教师

1、极化恒等式（教师版）引例：平行四边形是表 你能用向量方法证明： 等于两条邻边平方和的示向量加法和减法的几 平行四边形的对角线的 两倍.何模型。平方和证明：不妨设AB=a,AD=b,J则AC =a +b,DB =a -b,图1AC2f_+ 2a b +DB(1) 2 . - 2=DB =(a-b)（2）两式相加得:,2 _,AC +DBb2一 2(1)2=2+ AD2平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍结论： 思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得到什么结论呢？极化恒等式a.b=qG+bLGbP4 I对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式

2、的几 何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角1线”平方差的丄.42-DB2（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢?因为AC =2AM，所以a b =AM2 -1 DB （三角形模式）41.掌握用极化恒等式求数量积的值例1.（2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中点，AM =3,BC =10，则解：因为M是BC的中点,由极化恒等式得:2 1=9-咒100= -1642 1 BC4【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再 写出极化恒等式。目

3、标检测（2012北京文13改编）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝y DE -DA的值为2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围例2.（自编）已知正三角形 ABC内接于半径为2勺圆0,点P是圆0上的一个动点,则PA PB的取值范围是PB解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为 正三角形，所以 0为三角形ABC的重心，0在CD 上,且 OC =2OD =2，所以 CD =3，AB =23（也可用正弦定理求 AB）2 1 -AB4因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max = 3当P在CO的延长线与圆 O的交点处时，| PD |min = 1又由极化恒等式得：P

4、APB = PD23所以PA卩Bq2,6【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结 合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测2 2（2010福建文11）若点0和点F分别为椭圆 令+号=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为（）A. 2B.3C.6D.83:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题例3.一一占八、1（2013浙江理7）在也ABC中，P。是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任4T T T TP,恒有 PB PC F0B P0C。则（）A.必 ABC =90 B. NBAC =90,C.AB =A

5、CD. AC = BC目标检测（2008浙江理9）已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量C满足（ac） （b-c） =0，贝y c的最大值是（）A.1B.2C*2D.空2W 7设正方旳ABCV的边长为4 ,动点P在tiJB为直祎圖圆： APB上f如图.斯示丿,.Hl 戸巴而的取值范圉是KAB【解析】取3中点联统PE.在APDC内便用极化恒等式得-4 由图可知J西|22坷故疋 帀06卜PC ro=|-|Df =1 西p -i|c- =11*8在AJBC中.点F分别是找段ABAC的中点点PSfi檢貯上若4SC的面积为2. PB + BC的最小值S（2012年江苏省南京ft数学髙乌模拟试J

6、S）【分析】如图.取BC的中点D在APBCrttt用极化恒等式得PC P5 = |pd| -155| = |ro| -i|sc.从而 PC- + 5c=|+|S W为 disc的面积 4J2为2.所以“BC的高h= 乂 EF为UBC的中位线故APBC的髙为三从而PD.BCBCBCW此Pc ra + Scp+|B*273.当H仅当PD丄=时等号成井例9如图，在半於为1的形03中，ZXOB6（巴C为上的动点，ztB与OC交于点P.W 更丽的鼓小值为【解析】如图取OB的中点D,挣DE丄/B于点E,根据极化恒等式5 5=i（5 + 6/-（5-）-可知, 5?丽=而丙丄（而+丙）2（？5-丙）卜丄（2?5f44 阴e网.|疋I M d-55 =而S 知则乔丽丽弓哙曲故页-丽的最小值为飞42其实本只需要等边三角形zJ0