2023-2024学年安徽省合肥八中高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省合肥八中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数(3+i)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设D为△ABC所在平面内一点，且DBA.AD=2AB−AC 3.已知非零向量a，b满足|a|=4|b|，且(aA.π6 B.π3 C.2π4.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=πA.712π B.512π C.5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2−8A.4 B.2 C.43 6.已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则这个圆台的体积为(

)A.263π B.383π C.7.平行四边形ABCD中，|AB|=8,|AA.−8 B.8 C.12 D.8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，向量m=(3,sinB)A.33 B.63 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是(

)A.棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点

B.四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD的对角线交点为O，若SO⊥平面ABCD，则该四棱锥是正四棱锥

C.10.设z1，z2为复数，则下列命题正确的是(

)A.若z12∈R，则z1∈R B.若|z1|=|z211.已知e1,e2是夹角为2π3A.e1⋅e2=−12 B.|b|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z的实部为5，虚部为−1，则|z1+i13.如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1

14.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知3CA⋅C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)已知向量a=(2,1)，点A(2,−1)，若向量AB⊥a，且16.(本小题15分)

“大湖名城，创新高地”的“湖”指的就是巢湖，为治理巢湖环境，拟在巢湖两岸建立A，B，C，D四个水质检测站.已知C，D两个检测站建在巢湖的南岸，距离为203km，检测站A，B在湖的北岸，工作人员测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，∠ADC17.(本小题15分)

如图，在△AOB中，AO⊥OB,∠OBA=60°,OB=3,D18.(本小题17分)

由扇形OAC和△OBC组成的平面图形如图所示，已知OB=3，AO⊥BO，∠OBC=π3,BC=2，点E在A19.(本小题17分)

已知锐角△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a2+c2−b2=2bc答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由题意，(3+i)(1−4i)=2.【答案】A

【解析】解：由DB=BC，

可得AD=AB+BD

=3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，向量垂直的判断，考查运算求解能力，属于基础题．设向量a，b夹角为θ，由(a+2b)⊥b得(a+2b)⋅b=0，由向量数量积即可求解．

【解答】

解：设向量a，b夹角为θ，θ∈[0,π]4.【答案】A

【解析】解：由正弦定理bsinB=csinC，得2sinB=222，

所以sinB=12，5.【答案】D

【解析】解：因为a2−8=(b−c)2,A=π3，

则a2=b26.【答案】B

【解析】解：设截面圆的半径为r，则r3=6−26，即r=2，

所以S1=4π，S27.【答案】B

【解析】解：在平行四边形ABCD中，由BM=2MC,DN=3NC，

可得AN=AD+DN=AD+34AB，

NM8.【答案】C

【解析】解：m//n，则3cosB=sinB，即tanB=3，所以B=π3，

BM=MC=a2,AM=AC=b，

在△ABM中，b2=a24+c9.【答案】AD【解析】解：对A选项，用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体就是棱台，

所以棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点，故A选项正确；

对B选项，由四边形ABCD的对角线交点为O，SO⊥平面ABCD，无法确定四边形ABCD是正方形，

所以四棱锥S−ABCD不一定是正四棱锥，故B选项错误；

对C选项，任意一个棱柱的侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是矩形，故C选项错误；

对D选项，球O的直径2r=10.【答案】BD【解析】解：设z1=i，则z12=−1∈R，而z1∉R，A错误；

因为z1⋅z1−=|z1|2,z2⋅z2−=|z2|2，又|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z211.【答案】AB【解析】解：已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量，

对于选项A，e1⋅e2=1×1×cos2π3=−12，

故A正确；

对于选项B，|b|=|e1−e2|=e12−2e1⋅e2+e12.【答案】13【解析】解：由题意得z=5−i，则z1+i=5−i1+13.【答案】6+【解析】解：已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为2，

得BD=22，矩形BB1D1D的面积为S1=BD⋅BB1=22×2=4，

△A14.【答案】3π【解析】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，

已知3CA⋅CB=2AB⋅AC,tanC=12，

即3abcosC=2bccosA，

即3acosC=2c15.【答案】解：(1)设点B(m,n)，由A(2,−1)，得AB=(m−2,n+1)，

由AB⊥a，得AB⋅a=2(m−2)+(n+1)=0，

又因为|AB|=5，所以(m−2)2+(【解析】(1)设点B(m,n)，写出AB的坐标表示，利用AB⊥16.【答案】解：(1)根据题意，可得∠BCD=∠ACD−∠ACB=45°，∠BDC=∠ADC+∠ADB=75°，

所以在△BDC中，∠CBD=180°−∠BCD−∠BDC=60°，由正弦定理BD【解析】(1)在△BDC中，算出∠BCD与∠CBD，然后根据正弦定理列式算出BD的长，即可得出B、D两个检测站之间的距离；

(2)在17.【答案】解：(1)△AOB中，

由AO⊥OB,∠OBA=60°,OB=3，得AB=23．

∴圆锥的底面面积为S1=π(3)2=3π，

圆锥的侧面面积为S2=π×3×2【解析】(1)由已知求解圆锥的母线长，再由圆的面积公式及圆锥的侧面积公式求解；

(2)由题意可得，当正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时18.【答案】解：(1)在△BOC中，∠BOC=α，

由余弦定理知，OC2=OB2+CB2−2OB⋅CB⋅cos∠CBO

=9+4−2×3×2×12=7，

故OC=7，

由正弦定理知，OCsin∠CBO=BCsin∠BO【解析】(1)先由余弦定理可求OC，然后结合正弦定理表示sin