小学奥数盈亏问题题库教师版

1、 知识点说明： 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为“亏”，分配有 余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物 品就有余（也就是盈），如果每人多分，则物品就不足 （也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问 题” 可以得出盈亏问题的基本关系式： （盈 亏） 两次分得之差 人数或单位数 （盈 盈） 两次分得之差 人数或单位数 （亏 亏） 两次分得之差 人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题” 注意1.条件转换

2、2.关系互换 板块一、直接计算型盈亏问题 【例1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬 5块，则 少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两 次搬砖，每人相差5 4 1 （块）第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差 砖数：7 2 9 （块），每人相差1块，结果总数就相差 9块，所以有少先队员9 1 9 （人）共 有砖：4 9 7 43 （块） 【巩固】 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了 8元；每人出7元，就多出了

3、4 元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 【巩固】 老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃， 那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？ 【巩固】 有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班 有多少学生，多少练习本呢？ 【例2】(2007年“走进美妙的数学花园”初赛)猴王带领一群猴子去摘桃下午收工后，猴王开始分 配.若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个.若大、小猴都分 4个，猴王能留下20个.在 这群猴子中，大猴(不包括猴王)比小猴多 只. 【详解】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可

4、留10个.若大、小猴都分4个，猴王能留下20个.也就是 说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20 10 10 个，所以大猴比小猴多 10只. 【巩固】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本, 还差2本，请冋有多少老师？多少本书？ 6块就少12块，如果每人发 9块就少24块，总共有 【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发 多少块糖呢？ 【巩固】 王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差 110元；若买5把，则所带的钱还多 30 元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？ 【巩固】 工人运青

5、瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔 100元运完这 批花瓶后，工人共得 4400元，则损坏了多少个？ 【例3】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住 7人，则多出4个床位， 问宿舍几间？住宿生几人？ 【解析】由已知条件 每间5人 少14个床位 每间7人 多4个床位 比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7 5) 2人， 一共要多出(14 4)18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数， 然后根据已知条件可求出住宿生人数. 解：(414)(75)=9(间) 5 9 14 59（人），或 7 9

6、 4 59（人） 巩固】 学校有 30 间宿舍，大宿舍每间住 6 人，小宿舍每间住 4 人已知这些宿舍中共住了 168 人，那 么其中有多少间大宿舍？ 巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果， 如果每人分 4粒就多 9粒，如果每人分 5 粒则少 6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？ 巩固】 秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃 4 个，要多出 48 个萝卜；如果每天吃 6 个，则又少 8 个萝卜那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少 天？ 板块二、条件关系转换型盈亏问题 【例 4】 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分 10 条鱼，就多出 8 条鱼，每只小

7、猫分 11 条鱼则正好分完，那 么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？ 8 条，两次分配之差是 解析】 猫 妈妈的第一种方案盈 8 条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是 11 10 1（条），由盈亏问题公式得，有小猫： 8 1 8 （只），猫妈妈有 8 10 8 88 （条）鱼 4 个就少 9 个，如果每人分 3 个 巩固】 学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分 正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？ 巩固】 学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分 4 个，就差 66个，如果每班分 2 个，则正好 分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？ 巩固】 一

8、位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多 9 粒，如果每人分 5粒正好分完，问：有多少位 学生？共多少粒糖果？ 巩固】 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人， 恰好多出一辆车 . 问一共有几辆车，多少个学生？ 例 5 】 甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张 信纸，一段时间后， 甲用完了所有的信封还剩下 20 张信纸， 乙用完所有信纸还剩下 10 个信封， 则他们每人各买了多少张信纸？ 例 6 】 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分 5 个，则余下 10 个。

9、如全 部分给小班的小朋友，每人分到 8 个，则缺 2 个。已知大班比小班多 3 人，问：这筐苹果共有 多少个？ 巩固】 幼儿园把一袋糖果分给小朋友如果分给大班的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒如果分给小班的 小朋友，每人 4 粒就余 4 粒已知大班比小班少 2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？ 例 7】 有一些糖，每人分 5 块则多 10块，如果现有人数增加到原有人数的 1.5倍，那么每人 4 块就少两 块，这些糖共有多少块？ 解析】 第一次每人分 5 块，第二次每人分 4 块，可以认为原有的人每人拿出 5 4 1块糖分给新增加的人， 而新增加的人刚好是原来的一半， 这样新增加的人每人可分到

10、2 块糖果，这些人每人还差 4 2 2 块 ， 一 共 差 了 10 2 12 块 ， 所 以 新 增 加 了 12 2 6 人 ， 原 有 6 2 12 人 糖 果 数 为 ： 12 5 10 70（块） 巩固】 卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分 5 个还多余 10 棵竹子，如 果大熊猫数增加到 3 倍还少 5 只，那么每只大熊猫分 2 棵竹子还缺少 8 棵竹子，问有大熊猫多 少只，竹子多少棵？ 巩固】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余 10 个羽毛球，如果人数增加到 3倍，那么 每人分 2 个羽毛球还缺少 8 个，问有羽毛球多少个？ 例 8】 王老

11、师给小朋友分苹果和桔子， 苹果数是桔子数的 2倍.桔子每人分 3个，多 4个；苹果每人分 7 个，少 5 个 . 问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 解析】 因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个 .又已知苹果 每人分7个少5个，所以应有（8+5 ）-（6-5 ） =13 （人）. 苹果个数为13 X7-5=86（个）. 桔子数为 13 X3+4=43（个）. 答：有 13 个小朋友， 86 个苹果和 43 个桔子 . 巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副，余乒乓球拍 15副

12、，每组分羽毛球拍 14副，则差 30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒 乓球拍各多少副？ 例 9】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4 米 . 求绳子长度和 井深. 例 10】 乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比 5分币多 22个；按钱数算， 5分币却比 2 分币多 4 角；另外，还有 36 个 1 分币乐乐共存了多少钱？ 例 11】 阳光小学学生乘汽车到香山春游 如果每车坐 65人，则有 5人不能乘上车； 如果每车多坐 5人， 恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？ 巩固】 幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3 人

13、则多出 7 人，若每条长椅上多坐 4 人则多出 3 条长椅问：到会议室开会的少先队员有多少人？ 巩固】 智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐 3 人则多出 9 人，若每条长椅上坐 4 人则 多出 3 人. 问：合唱队有多少人？ 巩固】 少先队员去植树，如果每人挖 5 个树坑，还有 3 个树坑没人挖；如果其中两人各挖 4 个树坑， 其余每人挖 6 个树坑， 就恰好挖完所有的树坑。 请问， 共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？ 巩固】 六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐 6人，那么还剩下 22 人没船坐。安排时发现 有 3 条船坏了，于是改为每船坐 8 人，结果还剩下 6 人没

14、地方坐，请问：一共有多少学生？ 例 12 】 学校为新生分配宿舍每个房间住 3 人，则多出 23 人；每个房间住 5 人，则空出 3 个房间问 宿舍有多少间？新生有多少人？ 解析】 每个房间住 3人，则多出 23 人，每个房间住 5人，就空出 3个房间，这 3个房间如果住满人应 该是 5 3 15（ 人） ，由此可见，每一个房间增加5 3 2 （ 人） 两次安排人数总共相差 23 15 38（人），因此，房间总数是：38+2= 19（间），学生总数是：3 19 23 80（人），或者 5 19 5 3 80（人） 巩固】 学校为新生分配宿舍每个房间住 3人，则多出 22人；每个房间多住 5人，

15、则空 1 个房间问 宿舍有多少间？新生有多少人？ 巩固】 军队分配宿舍，如果每间住 3人，则多出 20人；如果每间住 6人，余下 2人可以每人各住一个 房间，现在每间住 10 人，可以空出多少个房间？ 巩固】 猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐 4 只小猪就有 6 只小猪没地方坐，如果每张餐布 周围多坐一只小猪就会余出 4 个空位子， 问：一共有多少只小猪， 猪妈妈一共带了多少张餐布？ 例 13】 国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆如果每人摆5盆花，还有 3 盆没人摆；如果 其中 2人各摆 4 盆，其余的人各摆 6盆，这些花盆正好摆完问有多少少先队员参加摆花盆活 动，一共摆多少花

16、盆？ 巩固】 妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分 4 个，其余人每人分 2 个，则多出 4 个；如果 其中一人分 6个，其余人每人分 4 个，则缺少 12个，妈妈买来橘子多少个 ?全家共有多少人 ? 例 14】 四班举行“六一”联欢晚会， 辅导员老师带着一笔钱去买糖果 如果买芒果 13千克，还差 4元； 如果买奶糖 15 千克，则还剩 2 元已知每千克芒果比奶糖贵 2 元，那么，辅导员老师带了 元钱 解析】 这笔钱买 1 3千克芒果还差 4元，若把这 1 3千克芒果换成奶糖就会多出 13 2 26元，所以这笔钱 买1 3千克奶糖会多出 26 4 22元而这笔钱买 1 5千克奶糖会多出

17、2元，所以每千克奶糖的价格 为： （222） （15 13） 1 0 （元）辅导老师共带了 10 15 2 152元 巩固】 小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买 10千克牛肉则还差 6元，若买 12 千克猪肉则还剩 4元已 知每千克牛肉比猪肉贵 3 元，问：小明妈妈带了多少钱？ 巩固】 食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4元；如果买猪肉 20 千克，则 多 2 元. 已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角. 问牛肉、猪肉各多少钱一千克？ 巩固】 李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8 元和 10 元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣 粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋，并且没有

18、剩余的钱问：李妈妈带了多少钱？ 例 15】 小强由家里到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟走 60米，就可以比 上课时间提前 2 分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 解析】 迟到 3分钟转化成米数： 50 3 150（米），提前 2 分钟到校转化成米数： 60 2 120（米），距 离上课时间为： （150 120） （60 50） 27（分钟），家到学校的路程为： 50 (27 3) 1500(米) 巩固】 东东从家去学校，如果每分走 80米，结果比上课提前 6分到校，如果每分走 50 米，则要迟到 3 分，那么东东家到学校的路程是 米 巩固】 王老师由家里

19、到学校，如果每分钟骑车 500 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟骑车 600 米， 就可以比上课时间提前 2 分钟到校 .王老师家到学校的路程是多少米？ 巩固】 学校规定上午 8 时到校，小明去上学，如果每分种走 60 米，可提早 10 分钟到校；如果每分钟 走 50米，可提早 8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8 时到校？由家到学校的路程是多少？ 例 16 】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价1 元钱 2个，白球原价 1 元钱 3个因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2 元钱 5个，结果 小明少花了 4 元钱，那么小明共买了多少个球？ 解析

20、】 花球原价 1元钱 2个，白球原价 1元钱 3个即花球原价 10元钱 20个，白球原价 10元钱 30个那 么，同样买花球和白球各 30 个，花球要比白球多花 10 2 5（ 元 ），共需要 30 2 30 3 25 （元）现在两种球的售价都是 2元钱 5个，花球和白球各买 30个需要 （30 5）2 2 24（元）， 说明花球和白球各买 30 个能省下 25 24 1（ 元）现在共省了 4 元，说明花球和白球各有 30 4 120（个 ），共买了 120 2 240 （个） 例 17】 （ 2009“数学解题能力展示”中年级组复试题）幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果 糖她发给每个小

21、朋友 2 块巧克力， 7 块奶糖和 8 块水果糖发完后清点一下，水果糖还剩 15 块，而巧克力恰好是奶糖的 3 倍那么共有 个小朋友 解析】 画 线段图分析，由题意知： 巧克力L|J 奶餓晝 水果糖L一J 从奶糖的 7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等.如图： 巧克力专取、1 奶勲1f旳nI 水果糖d 那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于 19份量，水果糖中原有的 8份就是现在的 16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是： 16 5 80 （块），小朋友的人数是：80 8 10 （人） 方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下 1

22、份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶糖每人分得相差 5 块，对应剩下的糖相差 2份，水果糖与奶糖每人分得相差 1块，则对应剩下的糖应相差 2 5 0.4 份，所以水果糖最后应剩下 1 0.4 0.6份，恰是15块，所以1份对应的是15 0.6 25，所以应 用盈亏问题共有（25 15） （8 7）10 （人）. 【例18】一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块.小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结 果共用了 1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第 3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？ 【解析】小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋

23、放1块糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋 放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前 2盒用掉方糖量的一半. 同时，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差 12块，因此 一包又24块方糖与两包差 24块方糖一样多，一包方糖有 （24 24） （2 1） 48 （块）. 于是喝前两盒咖啡用掉方糖 48 24 72 （块），每盒咖啡的袋数为：72 3 2 12 （袋）. 【巩固】 巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又 来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友， 巧克力还要增加一盒，则最后共有

24、多少个小朋友？ 【例19】 有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片， 则还缺少5张现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张问：共有多少个小 朋友？ 【详解】 首先由题意，一盒卡片每人分 7张则有剩余，每人分 8张则少5张，证明总人数多于 5个. 如果一共有7盒卡片，则所有人每人要想分到8 7 56 （张）卡片，还缺 35张，卡片张数比题 中所述要少. 如果一共有9盒卡片，则只要再添上5 9 45 （张）卡片，就能使所有人每人分到 8 9 72 （张）, 1 人数为（45 4） （7260）4丄5，不满足总人数多于 5个的要求. 12 类似

25、地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人数多于5个的要求. 因此卡片一共有 8盒，添上5 8 40 （张）卡片，就能使所有人每人分到8 8 64 （张），所以 总人数为：（404） （64 60）11 （人） （二解）60 7 8L 4 , 60 8 7L 4，说明卡片的盒数是 8盒，“若都分8张则还缺少5张”即如 果我们在每盒中加 5张（8盒共加40张），每人就可以得到 8 8 64 （张），现在实际每人得到 60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多下来的，还有 40张是我们一开始借 来的要还出去，即要退出44张，44 4 11 （人），说明有11人. 【例20】 有若干个苹果

26、和若干个梨如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩 2个苹果；如果 按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个？ 【解析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到原因在于第一种方案是 1个苹果“搭配” 2个梨，第二种方案是 3个苹果“搭配” 5个梨如果将这两种方案统一为 1个 苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了 将原题条件变为“ 1个苹果搭配2个梨，缺4个梨； 1个苹果搭配 5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为 4 1 5（个）梨，两次分配数之差为 2 5/3 1/3 （个）梨所以有苹果（4 1） （2 5 15（个），有梨15

27、 2 4 26（个）. 【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按 1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按 半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果问梨有多少个？ 例 21】幼儿园老师给小朋友分糖果 若每人分 8块，还剩 10块；若每人分 9 块，最后一人分不到 9 块， 但至少可分到一块那么糖果最多有多少块？ 分析】 最后一人分不到 9块，那么最多可以分到 8 块，即若每人分 9 块，还差 1块根据盈亏计算公式， 人数有（1 10）（9 8） 11（人），糖果最多有 9 11 1 98（块）；最后一人分不到 9 块，但至少 可分到一块，即最少是最后一人差 8 块，根据盈

28、亏计算公式，人数有 （8 10）（9 8） 18 （人 ）， 糖果最多有 9 18 8 154（块）；所以，这批糖果最多有 154 块 例 22】幼儿园有三个班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙 班每个小孩少分 3 个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣，结果甲班比乙班共多分 3 个 枣，乙班比丙班总共多分 5 个枣问：三个班总共分了多少个枣？ 解析】 设丙班有 x 个小孩，那么乙班就有 （x 4）个小孩，甲班有 （x 8）个小孩 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5个枣，那么x个小孩就少分5x个枣，而乙班比丙班总共多分 5个枣，所以多出来的那

29、 4个小孩分了 （5x 5）个枣. 同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分 3个枣，那么（x 4）个小孩就少分（3x 12）个枣， 而甲班比乙班总共多分 3个枣，所以多出来的那 4个小孩分了 3x 12 3 3x 15个枣 甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣， 4个小孩就少 3 4 1 2个枣，因此我们得到： 5x 5 3x 15 12 ，解得 x 11 所以，丙班有 11个小朋友，乙班有 15个小朋友，甲班有 19个小朋友；甲班每人分 12个枣，乙班 每人分 15个枣，丙班每人分 20个枣共分了 12 19 15 15 20 11 673（个）枣 巩固】 有 48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5 人如果把书全部分给第一组，那么每人 4本，有剩余；每人 5 本， 书不够如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人 4 本， 书不够问第二组有多少人？ 例 23】 “六一”儿