圆锥曲线几何问答的转换

1、几何问题的转换 -、基础知识: 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件 的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常 见的一些几何条件的转化。 K在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后 可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标 的运算，与方程和变量找到联系 2、常见几何问题的转化： （1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进 行判定 （2

2、）点与圆的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目 中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内， uur uuur uur uuur ACB为钝角（再转为向量：CA CB 0 ；若点在圆上，则ACB为直角（CA CB 0） ； uur uuur 若点在圆外，则ACB为锐角（CA CB 0 ） （3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算： r r

3、r r rr a xi, yi , b X2, y2 別 共线xiy2 X2yi ； a b X1X2 yiy2 0 （5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系 （6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向 量的方向是同向还是反向） 3、常见几何图形问题的转化 D三角形的“重心”:设不共线的三A xi, yi ,B X2, y2 , C x3, y3 ,则VABC的重 点 xi X2 X3 yi y2 y3 2）三角形的“垂 :伴随着垂直关 即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化 向量数墨积为零系，为 3）三角形的“内心”：伴随着角平分线

4、讪角平分线性质可知（如 图）：IP AC,IQAQ I在 BAC的角平分线上AP AQ nr uuur Al AC LIT UJID Al b AB uuu AC AB P是以DA, DB为邻边的平行四边形的顶点 uuur uuur uuur DP DA DB B P 5）P是以DA, DB为邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上 D 6）共线线段长度的乘积：若A, B.C共线，则线段的乘积 可转化为向量的数量积，从而简化运算, 角） uuur uuur （要注意向量的夹 uuur uuur AC BC 例如：AC AB AC AB , AC BC 、典型例 题： 2 F为其右焦点，2是 T

5、例1：如图：A, B分别是椭圆C: s1 a b 0的左右顶点, a2 b2 AF , FB的等差中项，3是AF , FB的等比中项 (1) 求椭圆C的方程 (2) 已知P是椭圆C上异于A,B的动点，直线I过点A且垂直 于x轴，若过F作直线FQ AP ,并交直线I于点Q。证明： Q, P, B三点共线 解：(1)依题意可得：A a,0 ,B a,0 ,F c, 0 AF c a, BF a c Q 2是AF , FB的等差中项 4 AF FB a c a c 2a a2 Q 3 是 AF , FB 的等比中项 3 AF FB a c a c a2 c2 b2b2 3 Q椭圆方程为： 2）由（1

6、）可得：A 2,0 ,B 2, 0 ,F 1,0 设AP: y k x 2 ,设P xi,yi ,联立直线与椭圆方程可得 22 2 3x 4y 1 2 2 4k y k x 2222 3 x2 16k2x 16k2 12 0 16k2126 8k2 xaxir 4k2 3 /3 12k6 8k2 . 12k yi k xi 24k2 34k? 34k2 3 另一方面，因为FQ AP FQ : y 1 x 1 ,联立方程：k x2 Q B 2,0 BQ 22 3 4k 12k 4k 6 8k2 4k2 3 12k 16k2 3 4k B, Q, P三点共线 2 例2 :已知椭圆X2 a 2 2

7、1 (a b 0) 的右焦点为 F , M为上顶点，0为坐标原点，若 1) 求椭圆的方程; 且椭圆的离心率为 2) 是否存在直线I交椭圆于P, Q两点，且使点卩为厶PQM的垂心？若存在，求出 直线 I的方程; 若不存在，请说明理由. 解： (1) tOMF 0M OF 1 be 2 a:b:c 2:1:1 1 1 b2 be 椭圆方程 为： 1)可得：m 0, 1 ,F 1,0 2)设 p (xi, yi) , Q(X2, 由 *1 QF为PQM的垂心 MF PQ 设 PQ : y x m uuur uuur MP xi, yi 1 ,FQ21, y2 uuu uuur r MD FQ xi

8、X2 11 y2 因为P, Q在直 yxm上 纬 由 F PQM 的垂心可得: MP 0 yi xi y2 X2 xi m 1 x2 1) m J| 2XiX22 1(abO)的一个焦点是 b2 D若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 椭圆的万 程； 2)设过点F且不垂直x轴的直线I交椭圆于A,B两点，若直线I绕点F任意转动，恒 有 OA OBAB 求a的取值范 围 解： (1)由图可 0,比由正三角形性质可 得： b 得： 3 Mr 0 b3 b2 MFO 椭圆方程 为： 2）设 I : kx y 0 OA 2 OB OA cos AOB AOB为钝角 uuur uuur OA

9、OB X1X2 联立直线与椭圆方 程： 2 2 2 2 2 2 1， A xi, yi AB OB 2 AB 2 OA OB yiy2 0 I 2 2 yk b x 2 ay B X2, y2 2 2 2 2 b xa k 2 2 a b a2b2 ,整理可得: 2 k. k2 a a 2 2 X d X 2 ib a 22 X y2 y1y 2 a 2 2 k 2 2 a 2 2 2 ak y2 y1y bb2 22 2 b 2 2 k 2 2k a a 2 2 k k b a K a 2 2 2 22 22 22 即/ a2 2 2 2 b a b 2 2 2 2 a b a b 2a2

10、1 22 aa a2b2恒成立 22 2 2 Q b a a的取值范围是 门例4：设A,B分别为椭圆2y bO的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦 232 b2 且椭圆上的点到右焦点距离的最小值 为 D求椭圆的方 程； 2）设P为直线x 4上不同于点 直线AP, BP分别与椭圆相交于异A,B的点M,N，证明：点B在以MN为直径的圆内 于 解：（D依题意可得 2c,且到右焦点距离的最小值为a d a 可解得：a 2,cb3 椭圆方程为 4 2）思路：若要证B在以MN为直径的圆内，只需证明 MBN为钝角，即MBP为锐 uuuur uuur 角，从而只需证明BM BP 0,因为A,B坐标可求，所以只要

11、设出AM直线（斜率为k）, uuuur uuur联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而BM BP可用匕表示。 即可判断 uuuur uuur BM BP的符号，进而完成证明解：由（1）可得A 2,0 ,B 2,0，设直线AM, BN的斜率分别 为 k , M xi, yi ,贝l AM : y k x 2联立AM与椭圆方程可得： y k x 23x2 4y2 12 得：22 ，消去 y 可 4弋 3 x2 16k2x 16k2 12 0 XAX1 曲12 4k异3 6 14k2 3 屮 kxi 2k T ,即M 4k2 3 6 8k212k 4k2 34k2 3 设 P 4, yo

12、因为P在直线AM 上，所以 yo k 4 2 6k,即 P 4, 6k uuur uuuur BP 2, 6k , BM 2 16k2 . 12k 2 2 4k 3 4k 3 uuur 32k212k 40k2 uuuur 4k2 3 Mk23 4k2 3 BP BM MBP为锐角, MBN为钝角 M在以MN为直径的圆内 例5 :如图所示，已知过抛物线x2 32 3线相 x2 1的交点为C, D ,是否 交于A, B两点，与椭圆“2八 2 4 DF ?若存在，求出直线I的 存在直线I使得AF CF BF方 程，若不存在，请说明理由 解：依题意可知抛物线焦点F 0, 1 设| . kx 1 4y

13、的焦点F的直线I与抛物 1 Q AF CF BF DF AF DF AF DF BF CF ，刁、妨设bf CF uuur uuur uuur uuur 则 AF FB, DF FC AF xi, 1 yi , FB X2, y2 1 uuur CF uuur X3, 1 y3 , FD X4, y4 1 设 A xi, yi , B X2, y2 , C X3, y3 , D X4, y4 l li il l KI ll II I k* 2考虑联立直线与抛物线方程: y kx 1 x2 2 x2 4kx 4 0 4y X1 X2 1 4k x2 . ,消去X2可 1 2 2 X1X2 X2

14、4徨. 4k2 联立直线与椭圆方2? 程：6x 3y2 X k 5 4得 22 3k2 6 x2 6kx X3 X4 6k X42 3k2 6 1 2 X3X4 36k 3k2 6 由可得： 4k23k362k 6,解得: 所以存在满足条件的直线，其方程 为： 例6：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x?2py p 0的准线方程为y 点M 4,0作抛物线的切线MA ,切点为A （异于点0 ）,直线I 过 点M与抛物线交于两点P, Q ,与直线0A交于点N 1）求抛物线的方程 的值是否为定值? 2）试问MP MQ 若是，求出定值；若 不 是，请说明理 由 解：（1）由准线方程可得： 抛物线方程

15、：X2 2y 1 2 yx切线斜率为kxo 初舛七壬口刃.vv v v，代入M 4,0及yoiXo2 切线方程为 y yo xo xxo 可得： 2Xo xo 4 xo ,解得：xo 0 （舍）或 xo 8 A & 32 OA: y 4x 设 PQ: x my 4 Q M, P, N, Q共线且M 在x轴上 MNMNyN MP MQyP yN1 yQyP 1 yQ yp yo VN VP Q 联立PQ和抛物线方程： 2 x2y 4 xmv my 2 4 2 2y ,整理可得: 22 m2 y2 8m 2 y 16 0 2 8m 16 yp yo 2 , yp yo 2 mm y 4x 再联立O

16、A,PQ直线方程： 16 x my 4 1 4m 例7：在VABC中 2,0 ,点G是VABC的重心，y轴上 2 8m 一点M满足GM AB，且 MC MB MN MN yp yo 16 m MP yN MQ ypyo 1 4m 16 2 m A, B的坐标分别是 2, 0 1）求VABC的顶点C的轨迹E的方程 2）直线I : y kx m与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹E上存在点R ,使得四边形 OPRQ为平行四边形（其中0为坐标原点）,求m的取值范围 解：（1）设C x,y由G是VABC的重心可得： G ，丫由y轴上一点M满足平行关系，可得M 0,了 由MC MB可得： 石，3 y 12

17、 Jo Q y2 化简可 22 xy 得： 26 1 y 0 2 X U旳轨处t旳 2 ly 2) Q四边形OPRQ为平行四边形 uuur uuur uuur OR OP OQ 设p xi, yi , Q X2, y2 Q R 在椭圆 上 2 3 X1 X2 yi y2 3x 2 2 i yi 3x22 y22 6x1x2 2yiy2 12 6 联立方程可 得： y kx m k2 2 2 3x y -1 ”2 T2 3k 2, yiy2kxi m kX2 R xi X2, yi y2 6X1X2 2yiy2 6 3xi2 2 yi 6 代入可 3x2 2 得： y2 6 3X1X2 yiy2

18、 3 x2 2kmxm2 6 2 2 m 6 k 3 k2 X1X2 km xi”2 因为P, Q在椭圆上，所 以 3m2 6k2 2 k 3 代入可 2 3 m22 6 2 k 3 2 3m 2 k 2 6k 3 2 2 2mk 3 22 2 2 k 3 x 2kmx m2 0有两不等实根可 得： 2 2 4k m 4 k2 3 c22 Q 3m6k 18 3m2 6 2m2 3 18 0 0，代入 k2 2m2 3 另一方面：2m2 3 k2 0 2 u 22 22 例8 :已知椭圆 C 2 y21 a 2 .2 a b 1 b 0的离心率为，直线 I 过点 A 4, 0 , B 2 且与

19、椭圆C相切于点P (1)求椭圆c的方程 2)是否存在过点 A 4,0 的 得 椭圆交于 不同的两点M 36 AP 35 AM AN ?若存在, 求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由 c1 a2 a:b:c 2: 3:1 椭圆方程化 为： QI 过 A 4,0 ,B 2 x 2 4c 0,2 2 y 2 3c 2 2 2 3x2 4y2 12c2 xy 设直线1:心 3X2 联立直线与椭圆方程: 4y2 1 x 2 12c2 消去y可得：3x2 12c2 整理可得：X2 2x 3C2 c1 QI与椭圆相切于P 4 4 4 3c2 2)思路：设直线 再由A 4, 0可知AP 45 4 若要求得

20、 3 1,-2 xi, yi , N X2, y2 由 (1) 可得: P 1,32 , 或证明不存在满足条件的k 式 ),则可通过等 AN ,尽管可以用两点间距离 式表示出AM , AN，但运算较为复杂。观察图形特点可知 公A,M,N共线，从而可想到利 36 AP 35 AM AN列出关于k的方程。 对于AM 用向量数量积表示线段的乘积。因 为 uuuur uuur AM , AN同向，所以AM AN uuuur uuur AM AN。写出 uuuur uuur AM, AN的坐标即可进行坐标运算，然后再联立rri与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可 得到关于k的方程，求解即可 解：由题意可

21、知直线m斜率存在，所以设直m: y kx 4 , M xi, yi , N X2, y2 线 AP 2 42 45 4 uuuur 同向 Q A, M, N 共线且 uuur AM , AN uuu uuur ur X1 4, yi , AN X2 4, y2 ASuu UUU ur rxi 4 X2 4 yiyz 联蜒琳与椭圆方 程：2 42 3x购”消去y并整理可得： kx 4 1 x2 32k 4k2彳,X1X2 2 64k2 12 4k2 3 AM AN UUU UUU ur r AM AN T2 yiy2 4 xi X2 16 4k2 3 x2 32k2x 64k2 12 0 36k

22、2 244 炸 uuuur 64k2 12 36k2 uuur AM 2 4k 3 4k2 3 AN Q36 AP 35 AM AN ,代入 36 45 35 2 36 k2 4 4k2 3 4 4说 4k2 2 “ 3 3 16 36 / 1 4k2 3 UUU UUU 36 k2 1 AP 4 ur r 2可得: AM AN 4k2 3 可解 得: 若方程4k2 则32k2 22 32k2x 64k2 12 22 4 4k2 3 64k2 12 0有两不等实 根 0 11解得： 2符合题意 22 直线m的方程 为： y2 4 x 4 ,即: y 2 x 2 或 y 2x 2 44 例9:设

23、椭圆C 2 2 x y 22 1 a b 0 的左, 右焦点分别为Fi, F2 ,上顶点为A ,过点A ab 与AF2垂直的直线交x uuuur uuuur r 轴负半轴与点Q ,且2FiF2 F2Q 0 1）求椭圆C的离心率 2）若过A, Q, F2三点的圆恰好与直线I :x 3y 3 0相切，求椭圆C的方程 （3）在（2）的条件下，过右焦点&作斜率为k的直 线I与椭圆C交于M ,N两点，在x轴上是否存在点 P m,0使得以PM, PN为邻边的平行四边形是菱形？ 如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明 理由解：（D依题意设A 0, b , F1 c, 0 , F2 c, 0 , Q

24、x0, 0 uuuur uuuur r Q2F1F2 F2Q 0 uuuur uuuur F1F2 2c, 0 , F2Q xo c, 0 4c xo cO xo 3c Q 3c, 0 人nb kA0 kAF2 b 由AQ AF2可得 3c 2 c 22 1 AF AO K0 2 1 2 2 LO- 2 2 3c 2 2 2 2 2 an 2 a 2 2）由（1）可得：a:b:c 2: 3:1 2 Q AQ AF2 A, Q, F2的外接圆的直径为 QF2 ,半径设为 Q 3c, 0 , F2 c, 0 QF2 2c , 圆心 由圆与直线相切可 得： 解得：c 1 2,b 2 X 2 2 y 1 椭圆方程为 4 3 3）由（2）得 1,0,1 线 设M xi, yi , N X2, y2 ,若 PM , c, 0 e3 2c nc 3 4c 1,0 :设直 I: y k x 1 PN为邻边的平行四边形是菱形 3xi2 4yi2 12 22 j 22 3 M X2 4 ”2 f 12 3 X1 X2 T 42 yi y2 设M, N中点 xo, yo 3xo 3xo 4kyo 0 yo 4k MN的中垂线方程为 代入P m,0 可得：m kyo xo 3x2 4y2 y 12 联立方 程： k x 2 8k B1 2 0 23 Ik0