三角形垂心的质总结资料

1、三角形垂心的性质总结 三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。 证明：如图：作 BE LAC 于点E，CF_AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并 延长交BC于点D。现在我们只要证明 AD _BC即可。 因为 CF/B，BE_ _ / 所以四边形BFEC为圆内接四边形。 四边形AFHE为圆内接四边形。 所以/ FAH= / FEH= / FEB=Z FCB 由/ FAH=/ FCB得 四边形AFDC为圆内接四边形 所以/ AFC玄 ADC=90 即 AD_BC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 三角形垂心的性质定理 1： 锐角三角形的垂心是

2、以三个垂足为顶点的三角形的内心。 如上图，在三角形 ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分 别为垂足，H为三角形 ABC的垂心。求证：H为三角形 DFE的内心。 证明：要证 H为三角形 DFE的内心，只需证明 HF、HE、HD分别平分/ DFE / FED / EDF 同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。 由BCEF四点共圆得/ EFC=/ EBC（都是弧CE所对的圆周角） 由HFBD四点共圆得/ HFD=/ HBD/ EBC（都是弧HD所对的圆周角） 所以/ EFH=/ HFD所以HF平分/ EFD 同理HE平分/ FED HD平分/ FDE 所以H为三

3、角形DFE的内心。 点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到 6个圆内接四边形， 你不妨找一找。 三角形垂心的向量表示： 在中，若点O满足_K二：，则点0为三角形ABC的垂 心。 证明：由丄一二得，所以 丄 同理0B，则点0为垂心。 三角形垂心性质定理 2: 若三角形的三个顶点都在函数 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 证明：设点O（x,y）为叮厂的垂心，则上面的向量表示得丁门 y =虫（血,一） 因为的三个顶点都在函数上的图象上，所以设， 0厂力也-勒）+（丄-刃（-） = 0 所以j . 1 (1) y-花也x+ -X乃巧 所以1 1 一.一y二丙西x+一无阳心

4、 同理: 由一丄.得 联立（1）（ 2）两式，就可解出 1 丿二一 显然有垂心O在函数的图象上。 点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了 数形结合的数学思想。 （2005年全国一卷理科） 二二T的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为H , 亠， 则实数m 分析：H显然为 KABC 的垂心，我们可取特殊情况来猜想m的值。于是我取 为 直角三角形，角 A为直角，此时H点与A点重合，且0为BC的中点（如图所示）。此时 亠2 _T，于是猜想 m=1. 而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理 3： KABC 的外心为0,垂心为H，则 二 一

5、 D 一 二 证明：作出的外接圆和外接圆直径 AD，连接BD,CD。 因为直径所对圆周角为直角，所以有 因为H为的垂心，所以 匚厂二匸 所以HC/BD，BH/DC,所以四边形 BDCH为平行四边形，所以 因为二一二匸一：二，且二- J 所以- ?1 - ； 点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。以此为背景出 高考题，也确实体现了命题者深厚的知识功底。 三角形垂心性质定理3 : 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 即：山的外心为0,垂心为H , D为BC中点，贝V AH=20D 。 证明：因为D为BC中点 所以二 由性质2知:匚打；卜得 20D=O

6、B+OC = OH-OA = AH 所以 AH=20D。 点评：性质定理3,也可看做是性质定理 2的推论。 三角形垂心性质定理4 : 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 分析：应用上面的性质定理3，上面这一结论可改为 锐角三角形的外接圆与内切圆径之和等于外心到三角形三边距离之和。 即:如图在锐角 匚H厂中，0为外心，D,E,F分别为三边的中点。设外接圆半径 为R，内切圆半径为 r,贝U 0D+0E+0F=R+r. 证明：在锐角 血C 中，0为外心，D,E,F分别为三边的中点，贝UOF；， 所以有 -l.?2 _-丄 -OFOAB+ODUA C+0砸 C C

7、设 KABC 中角A,B,C所对边的长分别为 a,b,c. 在圆0中，弧AB所对的圆心角一二.=2C 又因OA=OB , OF_L；，所以一：爪- OF=OA*cosC=RcosC 。 同理 OD=R*cosB, OE=R*cosA cos C + dfcos 而由三角形内切圆的性质知: 爲二一尸(m+B+Q) 所以 I . j .： - . I -. -I 这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。 而要证 OD+OE+OF=R+r R(c cosC + acosA+b cos B) 需证：RcosA+RcosB+RcosC=R+ a+b+c 即需证 门 ；: .l -!- :;- i.

8、f .： .: - - -.I i 需证(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c 而对上式的证明我们可采用正弦定理，化角为边， 即需证： sin BcosA+s in CcosA+s in AcosB+s in CcosB+s in AcosC+s in BcosC=s in A+s in B+s inC 需证：si n( A+B)+si n( A+C)+s in( B+C)=s in A+si nB+s inC 而因为 A+B+C=匚所以 sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC显然成立 所以命题得证。 点评：此题的证明

9、充分联系我们初高中的大量知识，真是做到了“八方联系，浑 然一体”(孙维刚老师语)。通过这样的一个问题，我们的数学能力将大大提高。 三角形垂心性质定理5 : H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点 为一一垂心组)。 此定理的证明相对简单，读者不妨自已试试。在此提出这个性质，主要是看到这 里存在的一种广义对称性，即四个点中每一点都可为垂心。这个结论进一步提醒我们 要经常换个角度相问题。 三角形垂心性质定理6 : H为仏ABC的垂心，贝U ABC , ABH , BCH , ACH 的外接圆是等圆。 分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。而这两 圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。 AC II AC KABC 的直径为sin 5，的直径为丄-， 因为HD_丄；，；二丄 所以四边形BEHD是圆内接四边形 所以丨一二 所以 sinB=sin ZAHC |AC AC 所以一二一 J = =肿乙4血 所以的外接圆为等圆。 同理 ABC， ABH， BCH， ACH的