在“解决问题”的教学中引领学生建模

1、在“解决问题”的教学中引领学生建模义务教育数学课程标准在前言中指出，模型思想的建立 是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径， 建立和求解 模型可以提高学习数学的兴趣和应用意识。 如何帮助学生从已有 经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解 释与运用的过程？我们积极寻找以教促学的教学策略， 针对苏教 版二年级下册“解决实际问题”， 从模型构建、 提升与突破三个 方面入手，点拨学生思维，发展学生初步的比较、分析、抽象、 概括、运用等能力。一、自主操作探究，合作交流建模 心理学家皮亚杰认为“智慧的鲜花是开放在手指尖上的”， 一语道出了操作实践的重要性。动手操作是数学学习的重要方

2、 式，有利于发挥学生的主观能动性，让学生在解决问题中，经历 知识形成，构建数学模型。因此，我们在教学活动中，要尽可能 给学生提供操作探究的机会。1. 在操作感悟中，建构数量关系模型 如教材第 1 页例题 1，重点是引导学生通过分铅笔的操作， 感知平均分后有剩余的现象。（1）经验操作。把 10支铅笔按 2 支一份平均分，可以分给 几个人？明确： 10支铅笔。每人分 2支，正好分给 5 人。把 10 支铅笔按 3 支、4 支、5 支一份平均分，分别会出现怎样的结果。 用小棒代替铅笔分一分， 再和小组同学说说分的过程 和结果。（ 2）演示操作。 10 支铅笔，每人分 3 支，结果又是怎样？ 展示操作

3、过程。结合学生演示，明确： 10支铅笔，每人分 3 支， 可以分给 3人，还剩 1 支。继续演示反馈“每人分 4支”“每人 分 5 支”的情况。 学生在操作和交流中充分感知平均分东西， 有 时能全部分完， 有时会剩下一些不能继续分了， 从而产生对余数 的感性认识。（ 3）填写表格。 你能把每次分铅笔的结果记录在表格里吗？ 学生通过填表对操作过程和结果进行梳理， 对平均分后出现 的情况进行分类：把一些物体平均分后，有时正好分完，有时会 有剩余。教师适时点拨，像这样平均分后还有剩余的情况，也可 以用除法算式来表示。从学生操作以后所填写的表格里，提取“ 10 支铅笔，每人 分 3 支，可以分给 3

4、人，还剩 1 支”这个事实，写出除法算式“ 10+ 3=3（人）1 （支）”，指出算式里的“ 1”是“余数”。（4）模型体验。根据“ 10 支铅笔，每人分 4 支，可以分给 2人，还剩 2 支”这个事实，写出相应的除法算式，初步学会有 余数除法算式的写法和读法。教学中，紧扣分铅笔的操作过程和结果， 引导理解除法算式， 使学生在具体事实和相应算式之间建立联系。 体会这道算式比表 内除法多了“余数”，是由于平均分东西没有全部分完所造成 的。学生在操作活动中获得了感性的经验， 有余数的除法数量关 系的模型也就呼之而出。2. 在操作感悟中，理解“余数要比除数小”的道理“余数都比除数小”对低年级孩子来讲

5、， 是一个比较抽象的 数学规律， 学生理解这个道理会有一些困难。 如果采取直接的方 式告诉学生， 就不能内化为学生的认知结构。 他们需要丰富的感 性认识为缓冲带， 逐步上升成理性认识的过程。 教材重点引导学 生通过摆正方形的操作，理解除数和余数之间的关系。如教材第 2 页例题 2。首先明确用 4根小棒可以摆 1个正方形， 8根小棒可以摆出 2 个正方形。在此基础上提出“像这样用12、 13、14、 15、 16根小棒摆正方形结果会怎样。 学生通过操作， 填写算式和表格丰 富了对有余数除法的认识。12- 4=3 （个）13- 4=3 （个）1 （根）14- 4=3 （个）2 （根）15- 4=3

6、 （个）3 （根）16- 4=4 （个）结合算式和表格引导学生深入思考：（1） 用 12根小棒或 1 6根小棒摆正方形，小棒正好用完， 没有剩余；用 13、 14、 15 根小棒摆正方形，都有剩余的小棒， 为什么剩下的小棒根数分别是 1 根、2根、3根？（2）用 12、13、14、15根小棒都是摆成 3 个正方形，用 16根小棒摆成 4 个正方形，为什么多了 1 个正方形？（3）如果用更多根小棒摆正方形，余数可能超过3 吗？随着学生对这些问题的思考与感悟， 他们就能发现： 剩下的 小棒够摆一个正方形，就要继续摆下去，直到不够摆为止，这里 的余数只能是 1、 2、3。 “余数都比除数小”就不再是

7、一个机 械记忆的知识，而是一个通过操作建模体验的数学规律。二、加强数学语言训练，提高数学建模能力 数学语言是一种科学语言，它是对数学概念、解题思路、推 导过程等的表述。它具有准确、简练、符号化的特点。它有利于 培养学生揭示事物本质的能力，帮助学生更好的概括事物的规 律。训练数学语言的过程就是通过师生、 生生之间的交流提升思 维品质的过程，它是提高学生数学建模能力的有效途径。1. 在计算过程中，注重学生复述 计算题教学的重点是让学生在理解算理的基础上掌握计算 方法。在低年段数学的计算教学中，加强算理教学，重视过程复 述训练， 既可以帮助学生巩固所学的计算方法， 又能提高数学语 言表达能力，发展学

8、生思维。（1）除法竖式。除法竖式和学生已经熟悉的加、减法竖式 不一样， 在计算的过程中包含“除乘减”三步， 学生较难接 受。在教学中不能停留在将竖式当作是一种格式， 它更是一种数 学的符号语言，具有计算与表达的双重功能。 表内除 法。比如教材第 4 页例题 3，从解决实际问题切入：妈妈买了 12 个苹果，每 4 个放一盘，放了几盘？学生很容易列出除法算式 12+4=3 （盘）。教材告诉学生，除法也可以用竖式计算，同时 给出了这道除法的竖式，并对竖式的各个部分做出解释。引导学生结合平均分过程， 口述用竖式计算的过程： 利用乘 法口 ？E“三四十二”得出商3;接着用乘法计算，把3和4相乘 得 12

9、，（表示 3 盘分掉 12 个苹果）；最后用减法计算， 12 减 12 等于 0 （表示苹果全部分完，没有剩余） 。在复述过程中进一步体会除法竖式的形式、 结构以及书写格 式，为教学有余数除法的笔算做好准备。有余数除法竖式。例题用图画给出 12个苹果，要求学生 每 5 个放一盘，在图画中圈一圈，得出可以放 2 盘，还余 2 个， 并填写除法算式12+ 5=口（盘）（个），把教学引入有 余数的除法。学生已经知道被除数、除数、商在竖式中的位置，能够写出图 2 的样子：首先引导学生，竖式中的商“ 2”应该怎样想到，联系平均 分操作活动，可以这样想： 12 里面最多有 2 个 5，商是 2;接着 用乘

10、法计算 2 个 5 是 10，表示 2 盘分掉 10个苹果;最后用减法 计算， 12 减 10等于 2，表示还剩余 2 个苹果。在尝试完成竖式以后， 复述展示计算步骤， 每一步计算表示 什么，以及计算时要注意什么。通过口述交流，学生进一步明确 有余数除法求商时， 可以想被除数里最多有几个除数， 明确竖式 的写法以及竖式中“ 10”和“ 2”所表示的意思。学生从这样的 复述过程中抽象出数学模型， 建立起有余数除法与表内除法计算 方法的联系和区别， 更好地掌握用竖式计算有余数除法的思考过 程和书写规范。（2）加减法计算。加、减法计算是小学数学十分重要的教 学内容，也是整数阶段最后一次教学加、减法计

11、算。如学习书本 68 页例题 142+86 的竖式计算时，要求学生通 过分析说出算理：相同数位对齐，从个位加起。个位上 2 个一加 6 个一得 8 个一，在个位上写 8；十位上 4 个十加 8 个十，得 12 个十，在十位上写 2，向百位进一；百位上 1 个百，加进上来的 1 个百，得 2 个百，在百位上写 2。这样通过说算理，使学生条 理清楚，思维深刻。又如书本 77 页例题：学习隔位退位减法，用竖式计算 204-108 。在引导学生通过探索理解隔位退位减法的算理和算法 基础上，要求学生复述：个位上不够减，要从十位上退1，十位上是 0，就向百位退 1；百位上还剩 1 个百，十位上是 10 个

12、十； 再从十位上退 1，十位上还剩 9个十。个位上 14个一减 8 个一 得 4 个一；十位上是 9 个十减 0 得 9 个十；百位上 1 个百减 1 个 百，就没有了。 经常训练学生清晰而又准确地表达自己的计算思 维，学生思维程序优化进程就会大大加强。2. 在解决问题过程中，重视让学生说清解题思路表达解题思路， 是发展学生语言的又一重要方法。 学生在口 述解题思路时，首先需要明确题意，判断数量关系，确定解决问 题的策略，然后组织语言，有条理地表达出来。如： 25个气球，平均分给 6 个同学，每人分得几个，还剩 几个？先让学生读懂题意， 用数学语言转换成符合题意的数量关 系和解题思路：把总数

13、25 个气球平均分，分成的份数是 6，得 到的每份数是 4 个，还剩 1 个。课本 82 页第 6 题解决实际问题（如下图）。这是关于求比一个数少几的数是多少的连续两问的实际问 题，学生列式解答以后， 需要让他们连贯地说说解决问题的思路， 每一步算的是什么，第二步算式是如何利用第一步计算得数的。 引导学生组织语言： 先根据二年级修补 254 本图书和一年级比二 年级少修补 69 本，求出一年级修补多少本；再根据求出的一年 级修补的本数和二年级修补 254 本图书，求出两个年级一共修补 多少本。在教学中， 老师适当点拨， 帮助学生逐步规范地运用数学语 言，让学生有根、有据、有序地口述解题思路，

14、表达数量关系。 课堂上学生你一言，我一语，不仅调动了他们的学习积极性，使 教师能及时获得反馈信息， 了解学生对知识掌握的程度， 更能促 进学生举一反三，触类旁通，面对不同形式的问题，不会束手无 策，而是能熟练运用策略、驾驭策略。三、走进生活，突破模型解决实际问题数学源于生活，又广泛地用于生活。让数学模型回归生活， 将现实生活材料当作问题来解决，能激发学生研究问题的兴趣， 更能拓展模型的外延， 突破模型化的思维定式， 有效地打破套型 解题的弊端。教材十分重视在具体的生活情境中， 利用余数意义去解决实 际问题。书中第 7 页，练习一第 9、10 题。都是通过连续发问的 形式重点引导学生灵活选择算法

15、、 灵活处理余数。 引导学生结合 实际来解决问题。 30张纸，每 4 张纸做一个灯笼，可以做几个 灯笼，还剩几张纸？这些纸够做 8 个灯笼吗？ 45 个皮球，每 6 个装一盒，可以装几盒，还剩几个？如果全部装入盒中，至少需 要多少个盒子？两个后续追问都需要联系实际，或是去掉余数， 商增加 1，或是去掉余数，商不变。两条练习有效地训练学生根 据实际情况和问题来判断是把余数“进一”还是“去尾”， 进一 步感受了余数的应用价值， 形成思维模型的突破， 避免了简单的 模仿。教材 80 页最后一题是拓展练习（见图） 首先鼓励学生用不同的方法分析题中的数量关系， 然后组织 学生讨论与交流，充分展示学生中各种不同的解题策略。例如， 学生联系生活经验，可以想到：看一本同样的故事书，剩下的页 数多，看的页数就少；剩下的页数少，看的页数就多；剩下部分 相差的页数应该等于已看部分相差的页数。小芳看的页数最多， 小华看的页数最少， 两人看的页数相差： 43-26=17（页）。再如， 可以先假设故事书的总页数是 100 页，这样小明看的页数是 100-34=66（页），小华看的页数是 100-43=57 （页），小芳看 的页数是 100-26=74 （页）。