以算法“生成”促算理“内化”

1、以算法“生成”促算理“内化”算理和算法是计算教学中相辅相成的两个方面， 算理是算法 的理论依据， 算法是算理的诠释和演示。 算法探究过程中的每一 次抽象与创造都是算理的无形内化，需要精心设计， 才能促进 算理的深层感悟与算法的有效生成，实现算理和算法的相互交 融。笔者主要结合借助模型、数形结合、直观对比三种方式谈谈 以算法“生成”促进算理“内化”的看法。一、借助模型，以算法形成促算理理解 小学生的思维特点以直观形象为主， 而算理、 算法又十分抽 象，因此，如何沟通思维的直观具体与算理、算法抽象概括之间 的关系， 在算法形成的过程中渗透算理的理解， 就成为教学的难 点所在。例如福州的一位教师在两

2、位数乘两位数的教学中，首先 让学生自主观察主题图，寻找有效数学信息（每本书 24 元，有 12 本，一共需要多少元？）并初步交流自己的各种想法，如估 算、笔算等； 接着，教师重点引导学生进行小组合作： 利用学具， 将 12 个磁扣看成 12 本书，每本书 24 元，用分一分、摆一摆、 算一算等方法求出24X 12的结果。在学生展示讨论结果时，要 求学生叙述思考过程（见图 1 、2、 3），并且通过分析“ 12 还可 以分成（ ）和（ ）”初步概括出计算的思路：不论将 12 怎样 分，它们都有一个共同的特点，那就是不直接用12 与 24 相乘，而是都把 12 分开了，最后又把 12 合起来算，也

3、就是“先分后合” 的思路。在交流、分析、初步概括的基础上，进一步引导学生反 思：一位数乘两位数可以直接口算，而且，口算是一切计算的基 础。“两位数乘两位数”为什么要分呢？分的目的是什么？使学 生明白“分”是为了更容易进行计算， 把“不会”的内容转化为 “会”的技能方法达到问题解决，这是研究数学经常用到的方 法化新为旧或转化的方法；最后，结合未简化的竖式（见图4），思考四个问题： （ 1）竖式中有没有“先分再合”的做法？ （ 2）竖式过程与刚才的哪一种分法的思考过程一样？（ 3）说一 说笔算的过程：先求什么？再求什么？最后求什么？（ 4）根据 以前学过笔算的知识将竖式进行简化 （将十位相乘后的零

4、去掉） ， 再次引导学生探究竖式中的算理。在这样的教学中， 教师并没有将会写“竖式”作为最终的教 学目标，而是为学生提供了“磁扣”这一直观的模型作为研究素 材，呈现了学生多种多样的思考成果。对乘数十位上的数与 24 相乘得 240，教师并没有仓促地将 240 末尾的 0 省略，而是再次 将磁扣的分法与竖式的过程进行了对应， 使学生对竖式运算的每 个环节达到真正的理解， 逐步完成了从“具体操作的算法直 观形象的算理抽象的算法”间的过渡。 在教学中， 教师要重 视引导学生探索计算过程， 让学生在充分体验中一步步深入地理 解计算中每一个细节背后的道理， 从而达到对算法的把握和算理 的理解。二、数形结

5、合，以算法拓展促算理深刻 在小学数学计算教学中， 教师有必要探究在学生理解基本算 理的基础上，通过各种方法与手段引导学生自主地进行算法拓 展，使算理在学生知识经验中内化。从小学生的特点出发，数形 结合无疑是一种行之有效的 方法。例如，笔者在观摩一位教师教学 9 的乘法口诀中，就充 分将数形结合的方法用得恰到好处。 她在学生学习并编写出 9 的 乘法口诀之后，并没有满足于学生能正确地编出9 的乘法口诀，而是通过有序材料呈现，在三个层次步步深入的探究活动过程 中，引导学生结合数形，进行算法拓展，内化算理。在第一层次的自主观察中，通过展示“9 的乘法算式与口诀 竖向排列图”（见图 5），让学生寻找并

6、发现其中的规律，如： 第1个数字是9第2个数是从19积的个位从9不断减少， 十位第 2 道起从 1 不断增加， 积的个位与十位相反， 积的个位与 十位相加得 9等。学生通过竖向排列图， 不仅重温了乘法算式的 意义，无形中又渗透了函数的思想。 （如积的个位与十位的增减 变化等） 但是，在这一层次学生显然仅将视觉放在算式中各个数 字表面的变化关系上。教师在第二层次中，有意识地引导学生利用已知去推导未 知，让学生从另一角度探索算式间内在纵横联系， 用递加或递减 的方法加以解决。 如：“如果我忘了七九是多少怎么办？”， 可以求 7个 9相加的和，六九五十四，六个 9加上 1 个 9就是 7 个 9，是

7、 63 或八九七十二， 8 个 9 减 1 个 9 就是 7 个 9 ，是 63 等。这种带有针对性的探究问题， 让学生对 9 的乘法计算方法的 掌握与算式算理理解已经较为深刻，对提高学生的能力也大有 帮助。接着，在第三层次，教师为学生提供了强烈直观的记忆线索， 如图 6：用手势记忆，将两只手掌掌心面向自己，几九就弯第几 根手指，弯曲的手指左右两边手指的根数就是这句口诀的结果； 图 7 展现星星图，数形结合：几个九就比几个十少几，结合算理 引导学生进行算法拓展与延伸，使 9 的乘法计算方法更显多样 化，从而很好地实现了使学生通过数形结合， 在算法有效拓展中 更深刻地把握算理实质的目的，学生的运

8、算技能也得到了提高， 促进了算理的深刻理解。三、直观对比，以算法优化促算理内化新课程标准指出， 在计算教学中既要关注学生的个性， 鼓励 算法多样化， 又要提倡算法的优化。 教师除了要关注算理理解与 算法生成的链接， 也要重视凸显算理与算法优化之间的联系， 在 算法多样化的基础上， 让学生充分做到算理在直观对比中的再理 解，促进算法优化与算理内化。例如，一次公开课上，赵老师在教学 9 加几一课中，引 导学生探索发现 9+4的多种算法， 并初步感知“凑十法”的算法 之后，并没有简单地以“大家可以用自己喜欢的方法进行计算” 或立即用技能性的练习让学生机械选取“凑十法”进行计算， 而是通过简洁、直观的

9、对比形式，让学生进一步深刻体会在9 加几中运用“凑十法”的算理内涵与优化。“凑十法”是 20 以内进位加法的基本计算思路，其算理就 是化难为易，将进位加法转化为 10 加几的算式，再进行计算。 教师首先出示以下图片（见图 8），让学生说说“哪幅图中苹果 的总数最好算？”， 学生的兴趣一下子被调动起来， 纷纷表示第 3 幅图片最好算； 接着，教师再追问“为什么第 3 幅最好算？”， 让学生在交流中再次体验先凑“十”再算“十加几” 的简便快 捷，进一步巩固了进位加的算理， 初步感受到了“凑十法”的优 越性；紧接着，教师又让学生说说为什么第 1 幅与第 2幅不好算？ 并想想有什么方法把它们变得好算些

10、？学生通过整理、对比， 结合已知经验， 很快就想到可以将第 1 幅与第 2 幅通过圈一圈、 凑 一凑，再算“十加几”。（如图 9）笔者以为，教学中， 赵老师没有将这一直观对比图放在本节 课的引入阶段， 而是在学生自主探索各种算法， 且对“凑十法” 有了一定的认识之后再引导学生进行对比探究，具有一定匠心： 既避免了在新知一开始就给学生造成单一用“凑十法”计算的 思维定势，又通过直观的对比，使抽象的算理变得形象生动，学 生在明理中顺利、 自然地达到算法的优化， 实现算理的真正内化。又如，笔者在教学三年级数学广角重叠问题时，创设喜 羊羊水果店两天进货的情境，先是让学生运用自己的方法解决“两天一共进了

11、多少货？”这一问题，如：连一连或圈一圈、 画一画， 将相同水果连线或圈出相同的水果、 在相同的水果上画 上相同的符号，只算一次；在水果上标上数字序号，相同的水 果标上相同的序号，标到几号就有几种水果等。（见图 10）通 过对比，发现用序号标注的方法，不需要再数水果的种数，最为 方便快捷。接着，引导学生用标注数字或序号的方法，经历韦恩 图的形成过程（见图 11），要求学生仔细观察并描述韦恩图各 部分意义， 并充分利用自己探索出的韦恩图进行计算方法的探究 与拓展。如： 4+5-3=6 ， 1+3+2=6， 4+2=6， 5+1=6， 3+3=6（两天 之中没有重复与重复的水果各是 3 种），使学生在寻求不同解决 问题方法的过程中， 通过直观的对比越来越清晰地认识到计算简 单的重叠问题时， 无论用哪一种方法计算， 重复的东西只能算一