隐式Euler求解一阶常微分方程

1、matlab语言及应用大作业姓名：学号：学院：班级：题目编号：2013年10月13隐式euler求解一阶常微分方程。一、隐式euler的数学理论微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：dy/dx=f(x,y)，xa,by(a)=y0可以将区间a,b分成n段，那么方程在第xi点

2、有y(xi)=f(xi,y(xi)，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi)/h= f(xi,y(xi)，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,l这就是欧拉公式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,l。为简化分析，人们常在yi为准确即yi=y(xi)的前提下估计误差y(xi+1)-yi+1，这种误差称为局部截断误差。如果一种数值方法的局部截断误差为o(h（p+1）)，则称它的精度是p阶的，或称之为p阶方法。欧拉格式的局部截断误差为o(h2)

3、，由此可知欧拉格式仅为一阶方法。二、隐式euler的算法和流程图算法:用向后差商y(x(i+1)-y(x(i)/h替代方程y(x(i+1)=gx(i+1),y(x(i+1)中的导数项y(x(i+1),再离散化，即可导出下列格式y(i+1)=y(i)+hg(x(i+1),y(i+1), i=0,1,2。因此是隐式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通式为：y(0)(i+1)=y(n)+hg(x(i),y(i);y(k+1)(i+1)=y(i)+hg(x(i+1),y(k)(i+1) (k=0,1,2.)流程图：三、隐式euler的matlab实现建立euler_2.m文件：function e2=

4、euler_2(fun,x0,y0,xn,n)% 向后euler公式，其中，%fun为一阶微分方程的函数%x0,y0为初始条件%xn为取值范围的一个端点%h为区间步长%n为区间的个数%x为xn构成的向量%y为yn构成的向量x=zeros(1,n+1);y=zeros(1,n+1);x(1)=x0;y(1)=y0;h=(xn-x0)/n;for n=1:n%用迭代法求y(n+1) x(n+1)=x(n)+h; z0=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n); for k=1:3 z1=y(n)+h*feval(fun,x(n+1),z0); if abs(z1-z0) euler_2(f,0,1,1,10)t = 0 1.0000 0.1000 0.9091 0.2000 0.8264 0.3000 0.7512 0.4000 0.6828 0.5000 0.6207 0