2020步步高教师用书(京津鲁琼专用)高考数学-第九章微专题十一

1、微专题十数学问题中圆的寻觅解题技法众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵当 我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影,常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分 三个方面予以概述.一、寻觅几何圆所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题.例1在锐角 ABC中，A= 45若a=2，求be的取值范围.以下是本题的常见解法：解 因为 B + C = 180 A = 135 0B90 , 0C90 所以 45C90 .又由余弦定理得 b = 2sin B, e=

2、 2sin C,所以 be= 2sin(135 C) 2sin C= 2sin(2C 45) + 2.因为 452C 45 135，所以 ysin(2C 45 ) 1,所以 bc (2 2, 2 + ,2.上述解法，局限于 “数”，倘若基于“形”，则可画出 ABC的外接圆O,如图1,设BM,CN为圆O的直径.因为 A = 45 BC =迄，由圆的几何性质可知，当点A在劣弧MN（不含端点）上运动时， ABC即为锐角三角形，此时, ABC 的面积 S满足 SmbcSW SAdbc(D 为劣弧MN的中点），即图I图21 1 1 22MB MC sin Mgbcsin AqDB s in D,2所以

3、bc (MB MC , DB .易求得 MB MC = 2 2, DB所以AD = 3入a不难证明：当 入最大时，AD过圆心 O(否则A D0),过圆心C作CD丄I，交直线I与点D.由直观图可知，|a b|的最小值是|CD 1= . 3 1故选A.BD丄BC, BD = 2BC，求线段 AD的最大例4 在平面四边形 ABCD中，AB = 1, AC = 5 值与最小值.本题是某地模拟试卷中的一道题，其中给出的该题详解是基于正弦定理、余弦定理的求解， 过程不易.下面给出根据已知构造解析圆的更加简捷的求法.解 如图4,以B为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 A（ 1,0）.设 BC

4、 = r，则可设 C(rcos a, rsin a,由 AC = 一 5可得(rcos a+ 1)2+ (rsin a)2= 5.又因为BD丄BC, BD = 2BC,则点D的坐标(xd, yD)满足(nxd = 2rcos a+ = 2rsin a,i nyD = 2rsin a+ =2rcos a.结合式可得xD + (yD + 2)2= 20,即点D的轨迹为圆E: x2 + (y+ 2)2= 20.易知|AE|= 5，点A( 1,0)在圆E内，所以，线段 AD的最大值与最小值顺次为，20+ |AE|=3 ,5,20 |AE|= ,5.三、寻觅双面圆寻觅双面圆，即寻觅隐含在问题背后的具有几

5、何与代数特征的圆，然后，借助于圆的综合性质，达到破解问题的目的.例5 已知a0, b0，且|+1，求p = a + b + a2+ b2的最小值.本题按照常规思路求解，不太容易如若能够伸出圆的视角，则能峰回路转请看以下求解过程.解如图5,考虑直线I: ：+1，因为a+ b = 1，不难发现，直线I过点P(2,3)，构造圆 C: (x r)222+ (y r) = r，与直线I切于点T,显然圆C与x轴、y轴分别切于点 M(r,0), N(0, r).易得A(a,0), B(0, b), |AB|= a2+ b2,所以 P= a + b+ a2+ b2=|OA|+ |OB|+ |AB|= |OA|+ |OB|+ |TA|+ TB|= |OA|+ |OB|+ |AM + |BN|= |OM |+ |ON|= 2r.222由于点P(2,3)在圆外，故有(2 r) + (3