（推荐）传热学第3章非稳态导热

1、第三章 非稳态导热 主讲人：孙晴主讲人：孙晴 1 第三章第三章 非稳态导热非稳态导热 非周期性非稳态导热非周期性非稳态导热 1 1、非稳态导热的基、非稳态导热的基 本概念本概念 2 2、集中参数法分析、集中参数法分析 非稳态导热非稳态导热 3 3、非稳态导热的正、非稳态导热的正 规状况阶段（无限大规状况阶段（无限大 平壁的瞬态导热）平壁的瞬态导热） 4 4、非稳态导热的非、非稳态导热的非 正规状况阶段（半无正规状况阶段（半无 限大物体的瞬态导热）限大物体的瞬态导热） 5 5、多维非稳态导热、多维非稳态导热 周期性非稳态导热周期性非稳态导热 本章知识结构 2 3.1 3.1 非稳态导热的基本概念

2、非稳态导热的基本概念 导热系统内的温度场随时间变化的导热过程为导热系统内的温度场随时间变化的导热过程为 。温度随时间变化，热流也随时间变化。温度随时间变化，热流也随时间变化。 非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热） ：物体温度随时间而做周期性的变化。：物体温度随时间而做周期性的变化。 （瞬态导热）：物体的温度随时间（瞬态导热）：物体的温度随时间 不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热

3、 平衡。平衡。 3 两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶段）、两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶段）、 正规状况阶段正规状况阶段 ：环境的热影响不断向物体内：环境的热影响不断向物体内 部扩展的过程，即物体大部分区域受到初始温度部扩展的过程，即物体大部分区域受到初始温度 分布控制的阶段。必须用无穷级数描述。分布控制的阶段。必须用无穷级数描述。 ：环境的热影响已经扩展到整：环境的热影响已经扩展到整 个物体内部，即物体主要受热边界条件影响的阶个物体内部，即物体主要受热边界条件影响的阶 段。可以用初等函数描述。段。可以用初等函数描述。 4 x 0 x t t (b) (a) (c) 边界条件对系统温

4、度分布边界条件对系统温度分布 的影响是很显著的的影响是很显著的 , ,这里以一这里以一 维非稳态导热过程（也就是大维非稳态导热过程（也就是大 平板的加热或冷却过程）为例平板的加热或冷却过程）为例 来加以说明。来加以说明。 图中表示一个大平板的加图中表示一个大平板的加 热过程，并画出在某一时刻的热过程，并画出在某一时刻的 三种不同边界情况的温度分布三种不同边界情况的温度分布 曲线（曲线（a a）、（）、（b b）、（）、（c c） 5 x 0 x t t (b) (a) (c) 这是这是下下 可能的三种温度分布。可能的三种温度分布。 按照传热关系式按照传热关系式 作一个近似的分析。作一个近似的分

5、析。 tt h tt q ww 1 6 x 0 x t t (b) (a) (c) 曲线（曲线（a a）表示平板外环境）表示平板外环境 的换热热阻的换热热阻 1/h 远大于平远大于平 板内的导热热阻板内的导热热阻 , , 即即 /1h 从曲线上看，从曲线上看， ，物体的温，物体的温 度场仅仅是时间的函数，与度场仅仅是时间的函数，与 空间坐标无关。这样的非稳空间坐标无关。这样的非稳 态导热系统可用态导热系统可用 求解。求解。 7 x 0 x t t (b) (a) (c)曲线（曲线（b b）表示平板外环境）表示平板外环境 的换热热阻的换热热阻 相当于相当于 平板内的导热热阻平板内的导热热阻 ,

6、, 即即 h1 /1h 这也是正常的第三类边界条这也是正常的第三类边界条 件件 8 x 0 x t t (b) (a) (c) 曲线（曲线（c c）表示平板外环境）表示平板外环境 的换热热阻的换热热阻 远小于远小于 平板内的导热热阻平板内的导热热阻 , , 即即 h1 /1h 从曲线上看，物体内部温度从曲线上看，物体内部温度 变化比较大，而变化比较大，而 ，此时可用，此时可用 认为认为 。那么，。那么， 边界条件就变成了边界条件就变成了 ，即给定物体边界上，即给定物体边界上 的温度。的温度。 w tt 9 h h Bi 1 是导热分析中的一个重要的无因次是导热分析中的一个重要的无因次准则数，准

7、则数， 它它表征了给定导热系统内的表征了给定导热系统内的与其与其 的对比关系。的对比关系。 10 平壁非稳态导热第三类边界条件表达式平壁非稳态导热第三类边界条件表达式 x x h x xx x xhBi 1 h Bi h 11 ( /,0)OBi 2 2）毕渥数）毕渥数BiBi对温度分布的影响对温度分布的影响 12 13 3.2 3.2 集中参数法分析导热问题 当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻，当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。认为物体内部在同一瞬

8、间均处于同一温度下。 此时此时 0hBi 对于任意形状的物体当对于任意形状的物体当Bi0.1Bi t t ） ttA d dt cV 初始条件为初始条件为 ： 0 ，0tt 引入过余温度：引入过余温度： tt 0 ,0; cV A d d cV A n 0 分离变量积分并代入初始条件得：分离变量积分并代入初始条件得： (1)(1)温度场的计算温度场的计算 16 物体的温度随时间的变化关系是一条负物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数自然指数曲线，或者无因次温度的对数 与时间的关系是一条负斜率直线。与时间的关系是一条负斜率直线。 cV hA e 0 FoBi A

9、V A V cV A eee 2 )( a )( 0 其中其中V/AV/A具有长度的量纲，称为特征长度。具有长度的量纲，称为特征长度。 （2 2）导热量的计算）导热量的计算 17 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。 /0 /s 0.386 1 01 386.0 1 0 e 当当=4=4s s，01.0 6.4 0 e 工程上认为工程上认为 = = 44s s时导时导 热体已达到热平衡状态。热体已达到热平衡状态。 物体的过余温度已经降到了

10、初始过余温度的物体的过余温度已经降到了初始过余温度的36.8%36.8%。 是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量取决于自身的热容量cvcv及表面换热条件及表面换热条件hAhA。热容量越大，。热容量越大， hA cV 称为系统的时间常数，记为称为系统的时间常数，记为 s s。 18 二、集中参数法的适用范围二、集中参数法的适用范围 如何去判定一个任意的系统是否适用集中参数法如何去判定一个任意的系统是否适用集中参数法 ？ 对于直径为对于直径为2r2r的球体的球体 V/A=r/3V/A=r/3 则则 M M = 0.33 = 0.3

11、3 直径为直径为2r2r的长圆柱体的长圆柱体 V/A=r/2 V/A=r/2 则则 M M = 0.5 = 0.5 对于厚度为对于厚度为2 2 的大平板的大平板 V/A= V/A= 则则 M M = 1 = 1 19 3.3 3.3 无限大无限大平平壁的非稳态壁的非稳态导热导热 （正规状况（正规状况阶段）阶段） 厚度厚度 2 2 的无限大平壁，的无限大平壁， 、a a为已知常数为已知常数； =0=0时时 温度为温度为 t t0 0; ; 突然把两侧介质温度降低突然把两侧介质温度降低 为为 t t 并保持不变；壁表并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热面与介质之间的表面传热 系数为系数为h h

12、。 两侧冷却情况相同、温度两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。分布对称。中心为原点。 20 导热微分方程：导热微分方程： 2 2 x t a t 初始条件：初始条件： , 0 0 tt 边界条件：边界条件： ( (第三类第三类) ) 0 , 0 xtx )(- , tthxtx 21 过余温度 ),( txt 2 2 x a 00 , 0 -tt 0 , 0 xx x hxx- , 解的最后形式为：解的最后形式为： )exp()cos( cossin )sin(2),( 2 2 1n 0 nn nnn n axx 22 )exp()cos( cossin )sin(2),( 2 1n

13、 0 nn nnn n Fo xx 2 FoahBi 23 )exp()cos( cossin )sin(2),( 2 1n 0 nn nnn n Fo xx 若若FoFo0.20.2时，利用上述公式计算时，采用该级数时，利用上述公式计算时，采用该级数 的第一项与采用完整的级数计算平板中心的温度的第一项与采用完整的级数计算平板中心的温度 差别小于差别小于1%1%。因而可以简化为：。因而可以简化为： )exp()cos( cossin )sin(2),( 2 11 111 1 0 Fo xx 所以对于所以对于 时无限大平壁的非稳态导热时无限大平壁的非稳态导热过过 程程, ,温度场温度场可按上式计

14、算。可按上式计算。 24 对于圆柱体和球体在对于圆柱体和球体在下的一维下的一维 非稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。非稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。 2 0 1 0 Jexp nnn n r CFo R 1 22 01 J ()2 J ()J n n nnn C 1 0 J () J () n n n Bi 2 1 0 sin(/) exp / n nn n n r R CFo r R sincos 2 sincos nnn n nnn C 1cot nn Bi 25 26 32 0 12 1 )( 1 )1 ( )( dxcxbxaxJ bBi cBia B ebaA B

15、i b a cBi 二、非稳态二、非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法导热正规状况阶段的工程计算方法 2.2.诺谟图法诺谟图法 26 0 1 mm0 cos, xx fBi 2 1 m1 0111 2sin , sincos Fo ef BiFo 2 1 1 1 0111 ,2sin cos sincos Fo xx e 27 m m 00 )( )( ),(),( 00 m m xx )Fo Bi,( ) Bi,( ; )( )( ),(),( 00 f x f xx m m 28 )( ),( ) Bi,( m xx P130P130图图3-83-8 29 P129P129图图3-73-7

16、 )Fo Bi,( ) Bi,( ; )( )( ),(),( 00 f x f xx m m 0 )( Fo) (Bi, m 30 定义无量纲的热量定义无量纲的热量 0 Q Q 其中其中Q Q 为 为0 0时间内传导的时间内传导的热量热量 VcQ 00 从初始时刻到平板与周围介质处于从初始时刻到平板与周围介质处于 热平衡这一过程中所传递的热平衡这一过程中所传递的总总传热传热 量（物体内能改变总量）量（物体内能改变总量） 经过经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热 量：量： 2Fo 1n 2 2 0 00 mJ cossin sin2 12 )()( 2 n e

17、c dxcdxttcQ nnnn n 31 ttcQf Q Q 0 2 00 0 m2 );Bi Fo,(平壁每 P130P130图图3-93-9 32 傅里叶准则数：傅里叶准则数： FoFo：称之为称之为或或。其。其 表征非稳态过程进行深度的无量纲时间，是给定表征非稳态过程进行深度的无量纲时间，是给定 系统的动态特征量。这一无量纲时间越大，热扰系统的动态特征量。这一无量纲时间越大，热扰 动就越深入地传播到物体内部，因而物体内部各动就越深入地传播到物体内部，因而物体内部各 点的温度就越接近周围介质温度。点的温度就越接近周围介质温度。 由正规状况阶的分析解及诺莫图可以看出，物体由正规状况阶的分析

18、解及诺莫图可以看出，物体 中各点的中各点的。 33 3.43.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 （非正规状况阶段）（非正规状况阶段） 在一定的时间内，边界面处的温度在一定的时间内，边界面处的温度 扰动只能传播到有限深度，在此深度以外，物体仍保扰动只能传播到有限深度，在此深度以外，物体仍保 持原有状态（初始状态）。于是，在此时间内，可以持原有状态（初始状态）。于是，在此时间内，可以 把物体视为把物体视为。 假设半无限大物体具有均匀假设半无限大物体具有均匀 一致的初始温度一致的初始温度t t0 0、常物性、无、常物性、无 内热源内热源, ,表面温度突然升至表面温度突然升至t t

19、w w并保并保 持不变。选择坐标系如图，这是持不变。选择坐标系如图，这是 一维的非稳态导热问题。一维的非稳态导热问题。 34 数学模型：数学模型： 2 2 tt a x 0 w 0 0, 0, , tt xtt xtt 分析解：分析解： w 00w tt tt erferf 2 x u a 高斯高斯误差函数误差函数 2 0 2 erf u x uedx 2 2 a x 0 0 0, 0,0 ,x x w t t 35 2 2 x u a 0 /erf0.99531u 说明以下两点：说明以下两点： 4xa （1）在 时刻， 深 处的温度尚未变化，仍为t0， x 也称为穿透深度穿透深度。 t t0

20、 tw x 1 2 3 x1x2x3 （2）当 时，深 度x 处的温度保持不变，时 间 称为深度 x 处的惰性时间惰性时间。 2 /16xa 2 /16xa 36 根据傅里叶定律，半无限大物体内任意一点在根据傅里叶定律，半无限大物体内任意一点在 时刻的热流密度时刻的热流密度为：为： 2 w0 exp 4 x tttx q xaa 表面表面（X= =0 )在在 时刻的热流密度时刻的热流密度为：为： w0 ww0 () ctt qtt a ww0 0 d2()/Qqttc 可见，在温差一定的情况下，可见，在温差一定的情况下， 越大，越大，通过表通过表 面的面的热量越多，热量越多， 称为称为，反映物

21、体从与其，反映物体从与其 接触的高温物体的吸热能力。接触的高温物体的吸热能力。 c c 37 1 1、常热流边界条件下半无限大物体内温度场的解析、常热流边界条件下半无限大物体内温度场的解析 解：解： 0w ( , )( , )2ierfc 4 x xt xtq ca 0 f0 ( , )t xt tt 2 2 erfcexperfc 44 xhxh axh a aa 38 3.5 多维非稳态导热的分析解 多维导热问题中，几种简单几何形状物体的非多维导热问题中，几种简单几何形状物体的非 稳态导热问题的分析解，可以用几个相应的一稳态导热问题的分析解，可以用几个相应的一 维非稳态分析解维非稳态分析解得出，称之为得出，称之为。 乘积解法实际上与数学上的分离变量法的原理相似。因乘积解法实际上与数学上的分离变量法的原理相似。因 此其应用也就有相应的限制条件。此其应用也就有相应的限制条件。 n 物体的初始温度均匀物体的初始温度均匀 n 周围介质温度均匀周围介质温度均匀 n 表面传热系数均匀表面传热系数均匀 n 常物性没有内热源常物性没有内热源 39 22 2 y x 0 21 1 例如：例如：1.1.矩形截面的长棱柱矩形截面的长棱柱 （正四棱柱）（正四棱柱）：可由两个