学而思四年级奥数等差数列进阶

1、大家，晚上好！ 什么是等差数列？ 定义：一列数中，每相邻两个数之间 的差是定值的数列是等差数列. 等差数列的认识 1. 1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2.2.数列中数的个数称为项数。数列中数的个数称为项数。 3. 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项的差称为公差。称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 4. 4.例如：例如：1 1、3 3、5 5、7 7、9 9、9797、9999，这是一个，这是一个 首项为首项为1 1、末项为、末项为9999、项数为、项数为5

2、050、公差为、公差为2 2的等差的等差 数列。数列。 练习练习1 1： 2,5,8,11,14.32,35 2,5,8,11,14.32,35. . 练习练习2 2： 10,20,30,40.110010,20,30,40.1100 练习练习3: 99,97,96,95.2,13: 99,97,96,95.2,1 等差数列我们要学些啥？ 分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算 又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！ 先来后到 题型1：找规律 (1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15

3、,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ). 题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （2）写出该数列的后5项。 【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。 【例题例题1 1】在数列在数列5,9,13,171455,9,13,17145中，问中，问 （1 1）这个数列中第）这个数列中第2020个数是多少？个数是多少？ （2 2）8585是这个数列的第几个数？是这个数列的第几个数？ （3 3）这个数列一共有几项？）这个数列一共有几项？ （4 4）将数列中所的数加起来，和是多少？）将

4、数列中所的数加起来，和是多少？ 解解1 1）根据通项公式知：）根据通项公式知：a20=5+=5+（20-120-1）4=81 （2 2）根据项数公式可知）根据项数公式可知n=(85-5)n=(85-5) 4+1=214+1=21 (3)(3)根据项数公式可知根据项数公式可知n=(145-5)n=(145-5) 4+1=364+1=36 (4)(4)根据求和公式知：和根据求和公式知：和=(5+145)=(5+145) 36 2=2700 点兵点将，对号入座 【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）公差 项数公式： 项数=（末项-首项）公差

5、+1 练习练习1 1：一个等差数列是一个等差数列是6 6、1313、2020、 2727、678678 (1)(1)它的第它的第3030项是多少？项是多少？ (2)622(2)622是它的第几项？（是它的第几项？（3 3）这个数列共有几）这个数列共有几 项项 解：解：(1)第n项=首项+（项数n-1）公差 第30项=6+（30-1）（13-6）=6+297=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）公差+1 =（622-6）7+1=6167+1=88+1=89 （3）项数=（末项-首项）公差+1 =（678-6）7+1=6727+1=96+1=97 【例题例题2 2】一个等差数列的第一个等

6、差数列的第4 4项为项为2121，第，第6 6项项 为为3333。求它的第。求它的第8 8项。项。 【思路导航】 步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。 步骤二：公差=（33-21）2=6，首项=21-36=45 步骤三：第8项=3+（8-1）6=45。 【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差， 是解此类等差数列问题的一种方法。 练习练习2 2： 一个等差数列的首项是一个等差数列的首项是1212，第，第6 6项是项是2727。求公差。求公差。 解：第6项比首项多5个公差。 公差=（27-12）5=155=3 例例3.73.7个连续奇数的和是个连续奇数的和是147147

7、，其中最大，其中最大 的奇的奇 数是几呢数是几呢 解解：中项定理：和=中间数项数 中间数=和项数 计算中间数 第4个数， 计算第7个数 所以147 7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面 三项是23，25，27 练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？ 例例4 4，某学校有，某学校有304304个小朋友围成若干个圆（一圈个小朋友围成若干个圆（一圈 套一圈）做，已知最内圈套一圈）做，已知最内圈2424人，最外圈人，最外圈5252人，如人，如 果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的 相差多少人？相差多少人？ 分析：本题实际上是求公差分析

8、：本题实际上是求公差 解：这一等差数列的和是解：这一等差数列的和是304304，首项，首项2424，末项，末项5252， 先根据公式：和先根据公式：和= =（首项首项+ +末项）项数末项）项数2 2，求，求 出项数：出项数：304304 2 76=8，再根据 公式末项=首项 +(n-1) 公差，求出公差52-24）7=4 练习：牛牛读一本练习：牛牛读一本550550页的故事书，第一天读了页的故事书，第一天读了3030 页，最后一天读页，最后一天读 7070页，每天读的页数刚好构成等页，每天读的页数刚好构成等 差数列。那么每一天比前一天多读几页？差数列。那么每一天比前一天多读几页？ 例4建筑工地

9、有一批砖，最上层2块砖，第2层6块 砖，第3层10块砖，每层都比上一层多，每层都比上一层多4 4块砖，块砖， 已知最下层有已知最下层有402402块砖，问中间一层有多少块砖？块砖，问中间一层有多少块砖？ 这堆砖共有多少块？这堆砖共有多少块？ 解：方法解：方法1 1，如果我们把每层砖的块数依次记下来，如果我们把每层砖的块数依次记下来， 2 2，6 6，1010，14 14 ，容易知道这是一个等差数列。，容易知道这是一个等差数列。 402402是第是第(402-2)(402-2) 4+1=101层，中间一层是第 （101+1） 2=51层，那么中间一层有2+（51-1 ） 4=202块。这堆砖共有

10、202 101=20402 方法方法2 2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均 数，所以中间层有（数，所以中间层有（402+2402+2 ）2=202块，层数 (402-2)(402-2) 4+1=101层， 。这堆砖共有202 101=20402 练习：8个连续自然数的和是164，其中最 小的数是多少？ 例1.计算： 1+3+5+7+9= 1+3+5+7+9+11= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+.+99+100 = 练习1：2+4+6+8+10+12+.+98+100= 练习2：99+97+95+93+91+.+3+1= 拓展练习1

11、：5+10+15+20+.95+100= 求和速算 技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）项数2 例例5 5计算计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+36+37+39+401+3+4+6+7+9+10+12+13+36+37+39+40的和是多的和是多 少？少？ 分析：双重等差数列分析：双重等差数列-跳着看跳着看-分离出两个等差数列分离出两个等差数列-分别分别 计算求和计算求和-计算总和计算总和 方法方法1：拆项，把原数拆成：拆项，把原数拆成1+4+7+40和和3+6+9+39 两个等差数列，分别求和得两个等差数列，分别求和得287，273，所

12、以原式，所以原式 =287+273=560 方法方法2：补项：补上：补项：补上2+5+8+38使原式成为一个连续的自然使原式成为一个连续的自然 数列，分别求和得数列，分别求和得260，820，所以原式，所以原式=820-260=560 方法方法3：合并，将原数列中从：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连续的自然数合开始，每两个连续的自然数合 并成为一项，那么原数列成为一个新的数列并成为一项，那么原数列成为一个新的数列1+7+13+79, 求和得求和得560 练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+32+33+ 37+38 方法1：拆项，把原数列拆成2+7+12+37和 3+8+1

13、3+38 两个等差数列，求和得320 方法2：合并，将原数列中从2，3开始，每两个连续的自然数合并 成为一项，那么原数列成为一个新的数列5+15+25+75，求和 得320 例题6：1，2，4，7，11，16，22，29，37，, 问这列数的第101个是多少？ 分析：二级等差数列找规律-相邻两数找差-差是连续自然数-用连续自然数表示数 解：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数差是2，第四个数与第三个数相差3以此类推，以后每一项与前一项 的差都会依次增加1，因此 有以下规律： 第1个数：1=1 第2个数：2=1+1 第3个数4=2+2=1+1+2 第4个数7=3+4=1+1

14、+2+3 第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。 第n个数：1+1+2+3+4+5+(n-1) 第101个数为：1+1+2+3+4+5+。+（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6+。+100=5051 有一列数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，问这 列数中的第100个数是多少？ 小结 等差数列的认识：等差数列的认识： 1. 1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2. 2.数列中数的个数称为项数。数列中数的个数称为项数。 3.

15、 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为 等差数列，后项与前项的差称为公差。等差数列，后项与前项的差称为公差。 等差数列的题型解题技巧：等差数列的题型解题技巧： 1. 1.通项：通项：第第n n项项= =首项首项+ +（项数（项数n-1n-1）公差）公差 2. 2.求公差求公差 =(M =(M项项-N-N项项) )(M-N)(M-N) 3. 3.求两项之间相差几个公差求两项之间相差几个公差 4. 4.求项数求项数= =（末项（末项- -首项）公差首项）公差+1+1 5. 5.求和求和: :首项首项+ +末项）项数末项）项数2 2 作业为课后

16、练习1,2,3,4 5，6 加油！ 再见 谢谢 先来后到 题型1：找规律 (1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ). 题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （2）写出该数列的后5项。 【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。 例例3.73.7个连续奇数的和是个连续奇数的和是147147，其中最大，其中最大 的奇的奇 数是几呢数是几呢 解解：中项定理：和=中间数项数 中间数=和项数 计

17、算中间数 第4个数， 计算第7个数 所以147 7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面 三项是23，25，27 练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？ 例例4 4，某学校有，某学校有304304个小朋友围成若干个圆（一圈个小朋友围成若干个圆（一圈 套一圈）做，已知最内圈套一圈）做，已知最内圈2424人，最外圈人，最外圈5252人，如人，如 果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的 相差多少人？相差多少人？ 分析：本题实际上是求公差分析：本题实际上是求公差 解：这一等差数列的和是解：这一等差数列的和是304304，首项，首项2424，

18、末项，末项5252， 先根据公式：和先根据公式：和= =（首项首项+ +末项）项数末项）项数2 2，求，求 出项数：出项数：304304 2 76=8，再根据 公式末项=首项 +(n-1) 公差，求出公差52-24）7=4 练习：牛牛读一本练习：牛牛读一本550550页的故事书，第一天读了页的故事书，第一天读了3030 页，最后一天读页，最后一天读 7070页，每天读的页数刚好构成等页，每天读的页数刚好构成等 差数列。那么每一天比前一天多读几页？差数列。那么每一天比前一天多读几页？ 练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+32+33+ 37+38 方法1：拆项，把原数列拆成2+7+12+37和 3+8+13+38 两个等差数列，求和得320 方法2：合并，将原数列中从2，3开始，每两个连续的自然数合并 成为一项，那么原数列成为一个新的数列5+15+25+75，求和 得320 例题6：1，2，4，7，11，16，22，29，37，, 问这列数的第101个是多少？ 分析：二级等差数列找规律-相邻两数找差-差是连续自然数-用连续自然数