2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5

1、2.32.3等差数列的前等差数列的前n n项和项和 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.了解等差数列前了解等差数列前n n项和公式的推导过程项和公式的推导过程. . 2.2.掌握等差数列前掌握等差数列前n n项和公式及其应用项和公式及其应用. . 3.3.能灵活应用等差数列前能灵活应用等差数列前n n项和的性质解题项和的性质解题. . 4.4.理解理解a an n与与S Sn n的关系的关系, ,会利用这种关系解决有关问题会利用这种关系解决有关问题. . 素养达成素养达成 通过对等差数列前通过对等差数列前n n项和的学习项和的学习, ,培养学生观察、归纳培养学生观察、归纳 和逻辑推理的

2、能力和逻辑推理的能力. . 新知导学新知导学 课堂探究课堂探究 新知导学新知导学素养养成素养养成 1.1.数列数列aan n 前前n n项和的定义及表示项和的定义及表示 一般地一般地, ,我们称我们称a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和, ,用用S Sn n表示表示, ,即即S Sn n= = . . a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n 思考思考1:1:对于数列对于数列aan n,关系式关系式a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1一定成立吗 一定成立吗? ? 2.2.等差数列的前等差数列的前n n项和

3、公式项和公式 1 2 n n aa 1 1 2 n nd na 已知量已知量首项、末项和项数首项、末项和项数首项、公差与项数首项、公差与项数 求和求和 公式公式 S Sn n= = . . S Sn n= = . . 思考思考2:2:等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和的两个公式涉及几个量项和的两个公式涉及几个量? ?至少要知道几个至少要知道几个 量才能求解量才能求解? ? 3.3.等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质 记等差数列记等差数列aan n 中中, ,其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,则则aan n 中连续的中连续的n n项之和构成的数列项之和构成的数列

4、 S Sn n,S,S2n 2n-S -Sn n,S,S3n 3n-S -S2n 2n,S ,S4n 4n-S -S3n 3n, ,构成公差为构成公差为n n2 2d d的等差数列的等差数列. . 名师点津名师点津 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 题型一等差数列前题型一等差数列前n n项和的基本运算项和的基本运算 (2)a(2)a1 1=1,a=1,an n=-512,S=-512,Sn n=-1 022,=-1 022,求求d;d; (3)S(3)S5 5=24,=24,求求a a2 2+a+a4 4. . 方法技巧方法技巧 一般地一般地, ,等差数列的五个基本量等差数列的五个基本量a a

5、1 1,a,an n,d,n,S,d,n,Sn n, ,知道其中任意三个量知道其中任意三个量 可建立方程组可建立方程组, ,求出另外两个量求出另外两个量, ,即即“知三求二知三求二”问题问题, ,若能巧妙地若能巧妙地 利用等差数列利用等差数列( (或前或前n n项和项和) )的性质会使计算更简便的性质会使计算更简便. . 即时训练即时训练1 1- -1:1:(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a4 4=9,a=9,a9 9=-6,=-6,若若S Sn n=63,=63,求求n n的值的值; ; (2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知a a3 3=16,

6、S=16,S20 20=20, =20,若若S Sn n=110,=110,求求n.n. 备用例备用例11(1)(1)(20192019江西新余检测江西新余检测) )在等差数列在等差数列aan n 中中; ; 已知已知a a5 5+a+a10 10=58,a =58,a4 4+a+a9 9=50,=50,求求S S10 10; ; 已知已知S S7 7=42,S=42,Sn n=510,a=510,an-3 n-3=45, =45,求求n.n. (2)(2)已知等差数列已知等差数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,a3 3=-3.=-3. 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式

7、; ; 若数列若数列aan n 的前的前k k项和项和S Sk k=-35,=-35,求求k k的值的值. . 解解: :(2)(2)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,则则a an n=a=a1 1+(n-1)d.+(n-1)d. 由由a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3可得可得1+2d=-3,1+2d=-3,解得解得d=-2.d=-2.从而从而a an n=1+(n-1)=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n. 题型二等差数列前题型二等差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题 例例22已知等差数列已知等差数列aan n 中中,a,a1 1=9

8、,a=9,a4 4+a+a7 7=0.=0. (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ; 规范解答规范解答: :(1)(1)由由a a1 1=9,a=9,a4 4+a+a7 7=0,=0,得得 a a1 1+3d+a+3d+a1 1+6d=0,+6d=0,2 2分分 解得解得d=-2,d=-2,4 4分分 所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)+(n-1)d=11-2n.d=11-2n.6 6分分 (2)(2)当当n n为何值时为何值时, ,数列数列aan n 的前的前n n项和取得最大值项和取得最大值. . 方法技巧方法技巧 即时训练即时训练2 2- -1:1:已

9、知已知aan n 是一个等差数列是一个等差数列, ,且且a a2 2=1,a=1,a5 5=-5.=-5. (1)(1)求求aan n 的通项的通项a an n; ; (2)(2)求求aan n 前前n n项和项和S Sn n的最大值的最大值. . 备用例备用例22(1)(1)(2019(2019福建泉州检测福建泉州检测) )在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=25,S=25,S17 17=S =S9 9, ,求求S Sn n 的最大值的最大值; ; (2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a10 10=18, =18,前前5 5项的和项的和S S5 5=-15.

10、=-15. 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ; 求数列求数列aan n 的前的前n n项和的最小值项和的最小值, ,并指出何时取得最小值并指出何时取得最小值. . 题型三等差数列前题型三等差数列前n n项和的性质及应用项和的性质及应用 例例33(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中中, ,若若S S4 4=1,S=1,S8 8=4,=4,则则a a17 17+a +a18 18+a +a19 19+a +a20 20= = . . 解析解析: :(1)(1)由等差数列的性质知由等差数列的性质知S S4 4,S,S8 8-S-S4 4,S,S12 12-S -S8 8,

11、,也构成等差数列也构成等差数列, ,不不 妨设为妨设为bbn n,且且b b1 1=S=S4 4=1,b=1,b2 2=S=S8 8-S-S4 4=3,=3,于是可求得于是可求得b b3 3=5,b=5,b4 4=7,b=7,b5 5=9,=9,即即 a a17 17+a +a18 18+a +a19 19+a +a20 20=b =b5 5=9.=9. 答案答案: :(1)9(1)9 (2)(2)有一个共有有一个共有100100项的等差数列项的等差数列, ,其奇数项与偶数项之和分别为其奇数项与偶数项之和分别为100100和和 200,200,则公差则公差d=d=. 答案答案: :(2)2(2

12、)2 方法技巧方法技巧 等差数列前等差数列前n n项和性质小结项和性质小结: : (1)(1)等差数列等差数列aan n 中中, ,公差为公差为d,d,前前k k项的和为项的和为S Sk k, ,则则S Sk k,S,S2k 2k-S -Sk k,S,S3k 3k-S -S2k 2k, , S Smk mk-S -S(m-1)k (m-1)k, ,构成公差为构成公差为k k2 2d d的等差数列的等差数列. . (2)(2)等差数列等差数列aan n 中中, ,公差为公差为d:d: 若共有若共有2n2n项项, ,则则S S2n 2n=n(a =n(an n+a+an+1 n+1);S );S偶

13、 偶-S -S奇 奇=nd;S =nd;S偶 偶 S S奇 奇=a =an+1 n+1a an n. . 若共有若共有2n+12n+1项项, ,则则S S2n+1 2n+1=(2n+1)a =(2n+1)an+1 n+1;S ;S偶 偶-S -S奇 奇=-a =-an+1 n+1;S ;S偶 偶 S S奇 奇=n(n+1). =n(n+1). (4)(4)设设S Sn n,S,Sn n分别为等差数列分别为等差数列aan n,b,bn n 的前的前n n项和项和, ,则则a an nbbn n=S=S2n-1 2n-1 S S2n-1 2n-1. . 即时训练即时训练3 3- -1:1:等差数列

14、等差数列aan n 的前的前5 5项和为项和为15,15,前前1010项和为项和为20,20,则则a a21 21+a +a22 22+a +a23 23+ + a a24 24+a +a25 25= = . . 解析解析: :在等差数列在等差数列aan n 中中,S,S5 5,S,S10 10-S -S5 5,S,S15 15-S -S10 10,S ,S20 20-S -S15 15,S ,S25 25-S -S20 20成等差数列 成等差数列, , 而而a a21 21+a +a22 22+a +a23 23+a +a24 24+a +a25 25=S =S25 25-S -S20 20

15、, , 故故a a21 21+a +a22 22+a +a23 23+a +a24 24+a +a25 25=S =S5 5+(5-1)+(5-1)(S(S10 10-S -S5 5-S-S5 5)=15+4)=15+4(20-15-15)=-25.(20-15-15)=-25. 答案答案: :-25-25 备用例备用例33已知数列已知数列aan n 为等差数列为等差数列, ,其前其前1212项和为项和为354,354,在前在前1212项中项中, ,偶偶 数项之和与奇数项之和的比为数项之和与奇数项之和的比为3227,3227,求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式. . 题型四易错辨析题型四

16、易错辨析忽略忽略S Sn n与与a an n的关系致误的关系致误 例例44已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2+n-1,+n-1,求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式, ,并判并判 断断aan n 是否为等差数列是否为等差数列, ,为什么为什么? ? 错解错解: :a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1=(n =(n2 2+n-1)-(n-1)+n-1)-(n-1)2 2+(n-1)-1=2n.+(n-1)-1=2n. 又又a an n-a-an-1 n-1=2n-2(n-1)=2, =2n-2(n-1)=2, 即数列即数列aan n 的每

17、一项与前一项的差是同一个常数的每一项与前一项的差是同一个常数, , 所以所以aan n 是等差数列是等差数列. . 纠错纠错: :用公式用公式a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1时 时, ,要求要求n2,n2,忽视了这一条件而不去验证忽视了这一条件而不去验证n=1n=1 的情况从而导致判断错误的情况从而导致判断错误. . 学霸经验分享区学霸经验分享区 (1)(1)已知数列的前已知数列的前n n项和项和S Sn n求数列的通项公式时求数列的通项公式时, ,需分类讨论需分类讨论, ,即即n=1n=1与与 n2n2两种情况两种情况; ;当当n=1n=1满足满足a an n的式子时的式子时

18、, ,才能用同一个式子来表达才能用同一个式子来表达, ,否否 则必须分段表示则必须分段表示. . (2)(2)求等差数列前求等差数列前n n项和项和S Sn n的最值的常用方法有两种的最值的常用方法有两种: : 用二次函数的性质求解用二次函数的性质求解; ; 明确数列中的正项与负项明确数列中的正项与负项, ,用负项之和最小用负项之和最小, ,正项之和最大来解决正项之和最大来解决. . 课堂达标课堂达标 A A1.1.在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=3,d=2,=3,d=2,则则S S10 10等于 等于( ( ) ) (A)120(A)120 (B)240(B)

19、240 (C)180(C)180 (D)280(D)280 2.2.设设S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,已知已知a a2 2=3,a=3,a6 6=11,=11,则则S S7 7等于等于( ( ) ) (A)13(A)13(B)35(B)35(C)49(C)49(D)63(D)63 C C 3.3.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2+2n,+2n,则数列则数列aan n 的通项公式的通项公式a an n= =. . 解析解析: :当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=3.=3. 当当n2n2时时, , a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1=n =n2 2+2n-(n-1)+2n-(n-1)2 2-2(n-1)=2n+1.-2(n-1)=