高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书 理 苏教版(2021年最新整理)

1、（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书 理 苏教版（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书 理 苏教版 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书 理 苏教版）的内容能够给您的工作和

2、学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书 理 苏教版的全部内容。17第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在r上的奇函数，f（2）0，当x0时,有0的解集是_。答案(，2）(0，2）解析当x0时,0，（x）为减函数，又（2）0,当且仅当0x0,此时x2f（x）0。又f(x）为奇函数,h（x

3、）x2f（x)也为奇函数.故x2f（x)0的解集为(,2)（0，2）。命题点2证明不等式例2（2016全国丙卷）设函数f(x)ln xx1。(1)讨论f(x）的单调性；(2）证明:当x（1，)时，1cx。（1)解由题设，f(x）的定义域为（0，)，f（x)1，令f（x)0，解得x1.当0x1时，f（x)0,f（x）单调递增；当x1时，f(x)0，f（x）单调递减。(2）证明由(1)知，f(x)在x1处取得最大值,最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1。故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即10，g（x)单调递增;当xx0时,g（x）0，g(x)单调递减.由(2）知1c，故0x01。

4、又g（0)g（1）0，故当0x0。所以当x（0，1）时，1（c1）xcx.命题点3不等式恒成立或有解问题例3已知函数f(x）。(1)若函数f（x）在区间（a，a)上存在极值,求正实数a的取值范围；(2）如果当x1时,不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围.解（1)函数的定义域为（0，），f(x），令f(x）0，得x1；当x(0,1)时，f(x)0，f（x）单调递增；当x（1，)时，f(x）0，f（x)单调递减.所以x1为极大值点，所以0a1a，故a0，所以g(x)为单调增函数，所以g（x)g(1）2，故k2。所以实数k的取值范围是(,2。引申探究本题(2)中，若改为存在x01，e，使不等式f

5、(x）成立，求实数k的取值范围.解当x1，e时，k有解，令g(x)，由例3(2)解题知，g(x）为单调增函数，g（x）maxg（e）2，k2，即实数k的取值范围是(，2.思维升华(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f（x）的不等式,可得到和f（x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式.(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x）g（x),x（a，b),可以构造函数f（x)f（x)g(x）,如果f（x）0，则f（x)在（a，b）上是减函数,同时若f（a)0,由减函数的定义可知，x（a,b)时，有f（x）0，即证明了f（x）g（x）.(3）利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造

6、函数,利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围。也可分离变量，构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.（2015福建）已知函数f（x）ln x.(1）求函数f(x）的单调递增区间；(2)证明：当x1时,f（x）x1；（3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x（1,x0）时，恒有f(x)k（x1）.（1）解f(x）x1，x(0,）。由f(x）0,得解得0x.故f(x）的单调递增区间是。(2)证明令f(x）f(x）（x1），x(0，）.则有f（x）。当x（1，)时，f(x）0,所以f（x)在(1，）上单调递减，故当x1时，f(x）f(1)0,

7、即当x1时，f(x）x1.（3）解由（2)知，当k1时，不存在x01满足题意。当k1时，对于x1,有f(x）x1k(x1），则f（x）k（x1）,从而不存在x01满足题意。当k1时,令g（x)f（x)k(x1），x（0，）,则有g（x)x1k。由g(x）0，得x2（1k)x10。解得x10，x21。当x（1，x2)时，g（x)0，故g(x）在(1，x2)内单调递增.从而当x(1,x2）时，g(x）g(1）0，即f(x）k（x1).综上,k的取值范围是（,1）。题型二利用导数研究函数零点问题例4(2016扬州模拟）设函数f(x）xexasin xcos x （ar，其中e是自然对数的底数）.（1

8、)当a0时，求f（x）的极值；(2）若对于任意的x0,，f（x）0恒成立，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x)在区间（0，）上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.解（1） 当a0时，f(x)xex,f(x)ex(x1)，令f(x)0,得x1。列表如下:x(，1)1（1,）f（x)0f(x)极小值所以函数f(x）的极小值为f（1），无极大值。(2）当a0时，由于对于任意x0,，有sin xcos x0,所以f(x)0恒成立，即当a0时,符合题意；当01时,f（0)1a0，设f（)0，其中是f（x)0中最接近x0的零点。所以f(x)在(0,）上为减函数，此

9、时f（x)1时，不符合题意.综上所述，a的取值范围是(，1.(3）不存在实数a，使得函数f(x)在区间（0,)上有两个零点.由(2）知，当a1时，f（x）在（0，）上是增函数，且f（0)0，故函数f(x）在区间（0，)上无零点.当a1时，f（x)ex(x1)acos 2x。令g(x）ex(x1)acos 2x，则g(x）ex(x2)2asin 2x,当x(0，）时，恒有g(x)0，所以g(x）在（0,)上是增函数.由g(0)1a0，g()(1）a0，故g（x)在（0，）上存在唯一的零点x0,即方程f(x）0在（0，）上存在唯一解x0.且当x(0，x0)时，f（x）0；当x(x0，)时，f（x)

10、0，即函数f（x）在(0，x0)上单调递减,在(x0，）上单调递增。当x（0，x0)时，f（x）f（0)0，即f（x)在(0，x0)上无零点；当x(x0，）时,由于f(x0)0，所以f（x)在（x0，）上有唯一零点.所以，当a1时，f（x）在（0，）上有一个零点。综上所述，不存在实数a，使得函数f（x)在区间（0，)上有两个零点.思维升华利用导数研究方程的根（函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题。可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数。(2016南通模拟)已知函数f（x)

11、aln x(ar）.(1)求f（x）的单调区间;（2)试求f(x)的零点个数，并证明你的结论。解(1)由f（x）aln x知函数f(x）的定义域为（0，），f（x）(2ln x)。令f(x)0，得x.当x变化时，f(x)，f（x)的变化情况如下表:x(0，）（，)f（x）0f（x）极小值所以，函数f（x)的单调减区间为（0,)，单调增区间为(,）。(2）由(1)知f（x)minf(）a。若a,因为f（x）f（x）minf(）a0,所以此时函数f（x)的零点个数为0。若a，则f（x）minf（）a0,而函数f（x）在（0,)上是单调减函数,在(，）上是单调增函数,即当0x时，f(x)f(）0。于

12、是，此时f（x)有唯一零点，即零点个数为1.若a，则f（x)minf()a0.当a0时，因为当x（0，时,f(x)aln xa0，所以函数f(x)在区间（0，上无零点；因为函数f（x）在,）上是单调增函数,且f(）a0，而e2a（，)，f（e2a)a(12ea）0,所以函数f（x)在（，e2a)上恰有一个零点。于是函数f（x)在，）上恰有一个零点。从而当a0时，函数f(x）的零点个数为1；当0a时，因为函数f(x)在，）上是单调增函数，且f(1)a0，f（）a0,所以函数f(x)在（，1)上恰有一个零点，于是函数f（x）在（，）上也恰有一个零点.因为函数f（x）在（0，）上是单调减函数，且f（

13、)a0时,exx2”进行放缩)，此时,函数f(x）在（0，）上恰有一个零点，故当0时，函数f(x)的零点个数为0；当a或a0时，函数f（x）的零点个数为1；当0a时，函数f（x)的零点个数为2。题型三利用导数研究生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克）满足关系式y10(x6）2,其中3x6，a为常数。已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。（1)求a的值；（2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。解（1）因为当x5时，y11，所以1011,a2.（2)由（

14、1)可知，该商品每日的销售量为y10（x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10（x6）2210（x3）（x6)2，3x6.从而，f（x）10(x6）22（x3）(x6）30(x4)(x6).于是,当x变化时，f(x），f(x）的变化情况如下表：x（3,4)4(4，6）f（x)0f(x）单调递增极大值42单调递减由上表可得，当x4时，函数f（x）取得极大值,也是最大值。所以，当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42。答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。思维升华利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤（1)分析实际问题中各个量之间的关系，

15、列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf（x）.(2)求函数的导数f(x），解方程f(x)0.（3）比较函数在区间端点和使f(x）0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小）值;若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点。（4）回归实际问题作答。（2016苏北四市调研)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x0);月需求量为y2万吨,y2x2x1，当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量,该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积。(1）若a，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给

16、量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围。解(1) 若a，由y2y1，得x2x1x（)2，解得40x6 。 因为1x14,所以1x6.设该商品的月销售额为g（x)，则g（x）当1x6时，g(x）（x）xg(6）.当6x14时，g(x）（x2x1)x，则g（x）（3x24x224）（x8）（3x28），由g(x)0，得x8,所以g(x）在6,8)上是增函数,在(8,14）上是减函数，故当x8时，g(x）有最大值g(8)。(2)设f(x)y1y2x2(a）xa21a,因为a0,所以f（x）在区间（1，14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，则函数f

17、(x)在区间6，14）上有零点,所以即解得00,得x，又x0，2，所以g（x）在区间0，上单调递减，在区间，2上单调递增,所以g（x)ming（)，g（x)maxg（2)1.故g（x1)g（x2）maxg(x)maxg（x)minm，则满足条件的最大整数m4.7分（2)对于任意的s，t,2，都有f(s）g（t)成立,等价于在区间，2上，函数f(x)ming（x）max。9分由（1）可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2）1。在区间,2上，f（x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立。设h(x）xx2ln x,h（x)12xln xx，可知h（x）在区间，2上是减函数，又h(1）0

18、，所以当1x2时，h（x）0;当x0.14分即函数h（x）xx2ln x在区间(，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，）。16分1。函数f（x）(x1)2(x2）2的极大值是_。答案解析f(x)(x1）2（x2）2，f(x）2(x1）（2x3）（x2).令f（x）0，得可能的极值点x11，x2,x32.当x变化时,f（x）,f（x）的变化情况如下表:x（，1)1(1,）（，2）2(2，）f(x)000f(x)极小值极大值极小值f(）是函数的极大值。2。已知曲线yx2aln x(a0）上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小

19、值为4，则此时切点的坐标为_.答案（1,1)解析函数yx2aln x(a0)的定义域为xx0，y2x24，则a2,当且仅当x1时，“”成立，将x1代入曲线方程得y1，故所求的切点坐标是(1,1)。3.如果不等式对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为_.答案（0，1解析由题意知k0，令f（x）(x0)，则f（x)，因此f(x），令f(x)0，解得x，且函数f（x）在x处取得极大值,也是最大值，由题意有，所以0k1。4.若商品的年利润y（万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0）,则获得最大利润时的年产量为_百万件.答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0x3时

20、，y0,即ab的最小值是42ln 2。6。已知函数f(x）若f(x）|ax，则a的取值范围是_.答案2，0解析|f（x)|ax成立.由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立.当x0时，ar；当x0时，有x2a恒成立,所以a2。故a2。由（2)得ln（x1)ax0在区间（0,)上恒成立，设h(x)ln(x1)ax（x0)，则h（x）a（x0),可知h（x）为减函数。当a0时，h(x）0，故h(x）为增函数，所以h(x）h(0)0恒成立；当a1时,因为(0,1），所以h(x）a0,故h(x）为减函数，所以h(x)h（0)0恒成立，显然不符合题意；当00，满足h（x0)ln（x01）ax00成立.如a时，取x04，则h（x0)ln 520成立，可知0a1时,不符合题意.故a0.由可知a的取值范围是2，0。7.若函数f(x）ax24x3在0,2上有最大值f（2),则a的取值范围是_。答案1，)解析f（x）2ax4，由f(x)在0，2上有最大值f(2），则要求f(x)在0，2上单调递增，则2ax40在0，2上恒成立.当a0时，2ax40恒成立；当a1，f（0）4，则不等式exf（x）ex3（其中e为自然对数的底数)的解集为_。答案(0，）解析设g（x）exf（x)ex(