人教版教材高中数学必修一《几种不同增长的函数模型》教案

1、3.2.1几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1知识与技能（ 1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（ 2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2过程与方程利用函数图象， 借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受 “绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性 .（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比

2、较函数增长快慢的能力.教学环节教学内容师生互动设计意图观察函数 yxx 在与 y40， +）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况 .在同一坐标中函数图象如下yxy提出问题4y引入课题yxOx结论：若0 x16 则xx4x若 x16 则x4师：增函数的共同特点是函数值 y 随自变量 x 的增长而增长， 但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？师生合作观察研究函数x与 yx 的增长快慢 .y4x (0，16)时， yx 的图象在由 问 题x图象上方引入课题，激y发学习兴趣 .4可知 yx 增长较快 x(16,) 时， yx 的图在xy 图象下方，4幂、指对函1实例探究：数增长快比较函数

3、 y=2 x， y= x2， y =慢比较形log2x 的增长快慢 .成比较方方法：作图，列表比较、法.验证x可知 y4 增长较快师生合作：借助计算机作图， 列表，进行探究由特殊到一列表般探究规律x0.20.61.01.41.8y =2x1.1491.51622.639 3.482x2应用二分法求2= x 的x2根，即 y = 2 与 y = x 的交2规律总结一般地，对于指数函数y=ax(a1) 和幂函数y=xn( n 0)，在区间 (0,) 上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内， ax 会小于 xn，但由于 ax 的增长快于 xn 的增长，因此总存在一个 x0，当 x

4、 x0 时，就xn会有 a x .对于对数函数y=log ax( a 1)和幂函数 y = xn(n0)在区间 (0, ) 上，随着 x的增大， logax 增长得越来越慢 .在 x 的一定变化范围内， log ax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn 的增长，因此总存在一个x0，当 x x0 时，就会有 loga x xn.在区间(0,) 上，尽管函数 y = ax(a 1) ， y = logax( a1)和 y = xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着 x 的x速度越来越快，会超过并远远大于 y = xn(n 0)的增长速度，而

5、 y = log a x(a1)的增长速度则会越来越慢 . 因此，总会存在一个 x0，当 x x0 时，就有 loga x xn ax.y =x20.040.3611.963.24y=log 2x2.3220.737 00.485 0.848x2.22.63.03.4y=2x4.5956.063810.556y=x24.846.76911.56y=log 2x1.1381.379 1.585 1.766作图结论2xxR 时 log 2x x ，且 log 2x2 .进一步探究 y = x2 与 y = 2 x 的增长快慢 .列表x01234y=2 x124816y=x2014916x5678y

6、=2 x3264128256y=x225364964作图结论 x (0，2)时 2x x2，x (2 ，4)时， 2x x2，x (4,) 时 2x x2在同一平面直角坐标系内三个函数图象如下：作出下列函数的图象，并进一步熟悉比较它们的增长情况：函数增长快巩固练习（ 1 ） y=0.1ex100,x1,10 ；慢的比较方法及步骤 .（ 2）y=20lnx+100, x 1,10 ；（ 3） y=20x, x 1,10.由图象可以看到， 函数（ 1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定； 函数（ 3）以稳定的速率增加.课后作业3.2 第一课时习案巩固知识，培学生独立完成养能

7、力备选例题例 1某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018 x；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2= 0.02x + 0.2 ；第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2+ 2x 35；问： (1)投资 4 万元，选择哪种投资方案 .(2)投资 10万元，选择哪种投资方案 .【解析】(1)投资 4 万元，则有：Q1 = 0.072； Q2 = 0.28；Q3 = 23.8， Q2 Q1Q3选择第二种方案(2)投资 10 万元，则有： Q1 = 0.18； Q2 = 0.4； Q3 = 5， Q3 Q2Q1，选择第三种方

8、案 .例 2为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的 “便民卡” 与“如意卡” 在某市范围每月 （ 30 天）的通话时间 x（分），与通话费 y(元)的关系如图所示 .便民卡如意卡（ 1）分别求出通话费 y1， y2 与通话时间 x 之间的函数关系式；（ 2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（ 1）由图象可设y1 = k1x +29 ，y2 = k2x，把点 B (30, 35) ，C (30, 15) 分别代入y1，y2 得 k11 , k21 .52 y1115x 29, y2x .2（ 2）令 y1 = y2，即 1 x 291 x ，则 x 96 2 .523当 x = 96 2 时， y1 = y2，两种卡收费一致；3当 x 96 2 时， y1 y2，即如意卡便宜；3当 x 96 2 时， y