暑期华杯赛暑期赛前培训资料：(3)教师版

1、计算：(2000-1)+(1999-2)+(1998-3)+ +(1002-999)+(1001-1000)= ?2010年暑假华杯赛赛前培训 经典例题分析（3）姓名指导教师：陟乃赋联系方式：Email : 手机准确填空:1.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是0.98元，付运费等开支1840元, 预计损耗为1%如果希望全部进货销售后能获利17%问：每千克苹果零售价应当定 为元？解：全部进货所需费用：0.98 X 52000+ 1840= 50960+ 1840= 52800（元）能销售的总量：52000X （1-1%） = 52

2、000X 99%= 51480（千克）设每千克苹果零售价应当定为x元，则52800X （1+17%） = x X 51480x=52800X 1.1751480 x=1.2答：每千克苹果零售价应当定为1.2元.2.计算:19+199+1999+ +199999 =?解:19+199+1999+ +199999 1999个=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+ , +(2000 00 -1) 52=20+200+2000+ +2000 00- (1 1 1)1999 个=222220-19991999 个=222 22 202211996 个评注：像上例那样，加减运算时，常采用凑整的

3、方法使运算简便，有时，加减运算还可采用其他方法，使运算简便如:解法一：先把每个小括号内的结果算出来，所得的差分别是1999、1997、19953、1,可按求连续奇数的和，求出算式的结果原式=1999+1997+1995+3+1199911=(1999+1) X咼斯求和公式2 21=2000X 10001= 10000002或原式=1999+1997+1995+3+1#1999 +1 2从1开始若干个连续奇数和等于奇数个数的平方=10002 = 1000000解法二：先把所有的小括号去掉，然后利用加法交换律，减法的运算性质进行计算原式=2000-1+1999-2+1998-3+ +1002-99

4、9+1001-1000 =(2000+1999+1998+ +1002+1001)-(1+2+3+ +999+1000)=(2000+1001)X2000 一100111-(1+1000) X 1001 一11 12 2 2 2=3001X 500-1001X 500高斯求和的方法=（3001-1001% 500=2000X 500= 1000000当然，进行分数加减时，需考虑分母的特征，选择恰当的方法进行计算总之，进行加减计算，究竟采用什么办法，需要依据题目的特征，具体问题具体分析、谨慎推理:3 某商贸服务公司，为客户出售货物收取 3%勺服务费，代客户购置物品收取 2%艮 务费今有一客户委托

5、该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备已知该公司共扣取了客户服务费264元，而客户恰好收支平衡，问：所购置的新设备花费了多少 元？解：为简洁一些，用字母 m代表出售货物的钱，用字母n代表购置设备的钱，根据 题意，该公司共扣取了客户服务费 264元，列出关系式：m X 3%+n X 2%= 264（元）.又根据题意，“客户恰好收支平衡”，即m x (1-3%) = n + n x 2%m = n x (1+2%)1-3%,所以n x (1+2%)1-3%x 3%+n x 2% 264(元),也就是n x (1+2%) x 3%+i x 2%x (1-3%)=264x (1-3%)(元),n x

6、 (1+2%) x 3%+2% (1-3%)=264x (1-3%)(元)因此，n = 264x (1-3%)(1+2%) x 3%+2% (1-3%)=264x 97%1.02x 3%+0.97x 2%=264x 973.06+1.94=256085= 5121.6(元)答：所购置的新设备花费了 5121.6元.4一列数，前3个是1, 9, 9,以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得 的余数，求：这列数中的第1999个数是几？解：根据题意，写出这列数的一部分，1, 9, 9, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 2,.可以看出，除了

7、前3项1, 9, 9,这个数列每隔13项(1 , 1, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 0)循环一次，所以，这列数中的第 1999个数是几，关键是看1999 个数中除前3个以外，每13个数循环一次，循环若干次后的余数.(1999-3) - 13= 1996- 13= 153,7也就是说，这列数中的第1999个数，正好是按1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 0这样的顺序每13个数循环一次，总共循环了第153次后，第154次循环 开始的第7个数，正好是0.答：这列数中的第1999个数是0.、急中生智:5.将19这九个数字填入图7-7的

8、9个圆圈中，使每 个三角形和每条直线上的 3个数字之和相等(写出一 个答案即可).解答：根据题意，将19这九个数字填入9个圆圈中，正好将19这九个数字的和平均分成三组， 因此可以求得每个三角形和每条直线上的 3个数字 之和：(1+2+3+, +8+9)宁 3 = 45宁 3= 15按题目要求，图7-7共有六祖数，用了 18个数字，每个数字使用了 2次。相当于将1 - 9这九个数字分为3组，每组数字和是15，有两种不同的分法。现在分配如下：第一种：(1, 6, 8)，(2, 4, 9)，(3, 5, 7 )第二种：(1, 5, 9), (2, 6, 7), (3, 4, 8)将第一种分法的三组数

9、放在三条线段上,第二种的三组数自然就被确定在三个三角形上(见图7-7a).类似，将第二种分法的三组数放在三条线段上，第一种的三组数自然就被确定在三个三角形上(见图7-7b)所以，如果不计较三个三角形和三条直线的相互位置，那么图7-7a和图7-7b则是仅有 的两种填法 评注：解答填数问题，除了首先找出平均数外，有时还需要在不止一个的答案中，选择符合题目要求的答案.如:在一个由六个圆圈组成的三角形里，把10到15这6个数分别填入图7-8的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和 S都相等，那么S的最大值是多少?图7-8解答：根据题意，10到15这6个数的和是75,而其中有三个数被加了两次，为使三角

10、形的每条边上的三个数的和S不仅相等，且 S的值最大，那么被加 了两次的3个数应是13、14、15,所以，三角形的 每条边上的三个数的和是：（75+13+14+15） - 3 = 117- 3= 39图 7-8a这就是说，三个较大的数（被加了两次的数）应分别填 入三角形的三个顶点上（图7-8a）.6.如图7-9，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面 的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求图示立体的表面积和体积.（取 n = 3.14）图7-9解：根据题意，所求图形的表面积和体积，都和被

11、挖去的部分有关。根据题意，所求图形表面积由两部分组成：外 侧表面积和内侧表面积.外侧表面积，实际上是原来大正方体的表面积, 除去四个边长为4厘米的正方形的面积，再除去两 个直径为4厘米的圆的面积（见图7-9）.即210X 10X 6-4 X 4X 4- 2 XnX 2图 7-9a=600-64-25.12=510.88（平方厘米）而内侧表面积是被挖去部分的表面积，除去两个直径为4厘米的圆面积，再除去四个边长 为4厘米的正方形面积（见图7-9a）.即4 10 - 4 ： 2 164 4 -22 二 2 4二 10 - 4 亠 2 2=192+6.88+75.36 = 274.24（平方厘米）因此

12、，所求图形的表面积：274.24+510.88 = 785.12（平方厘米） 结合图示，所求图形的体积等于原来大正方体的体积减去被挖去部分的体积 原正方体的体积是10X 10X10= 1000(立方厘米),被挖去部分的体积(见图7-9b):1(4 X 4X 3) X 4+4X 4X 4+ X n X (10-4) -2X 2= 192+64+75.362=331.36(立方厘米).因此，所求图形的体积： 1000-331.36 = 668.64(立方厘米).答：所求立体的表面积是785.12平方厘米，体积是668.64立方厘米.四、规律探求：7. a是自然数，且17a =111111，求a的最

13、小值.n个1解答：问题相当于求最小的n,使111111能被17整除。由于9与17是互质的，n个1问题又转化为相当于求最小的n,使得999999能被17整除。n个910n _，11b(10n-1)沁 =(10n-1) 0.05882352941 176471717大家知道：一个小数被10乘过之后，就等于将原小数的小数点向右移一位 .将上面 那个循环小数记作x，于是b=10nxx，其中10n将x中的小数点向右移n位.由此 可见，如果b是正整数，必须而且只须 n是x的循环节中所含数字的个数的倍数，即n= 16k，k = 1，2，,.当k = 1时，有最小的n=16,因此，17a =111111,于是

14、16个1a =11T 111 一 17 =65359477124183.16个18. 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2;如果是奇数则加1,如此进行直到为1,操作停止.求经过9次操作变为1的数有多少个？解：设给出一个自然数X。，按照题目中指定的操作，可以经过 9次操作，作出以下1210 个自然数：x0 x1 x x8 x9.已知X9 = 1，有多少个自然数X8按题目的操作得到1676图 7-12411? X8只能是2;,这时有多少个自然数 X按题目的 操作得到2,显然，两种可能X7 = 4和1;再倒推一 次，X6有三种可能：2, 3, 8,依次计算，画出树形 图（图 7-12 ）。做

15、过第k步之后，设ak是Xk为的偶数的个数，0是奇数的个数（k二0, 1,2,9），如由图7- 12所示，：由操作方法可知：对于偶数 m，有2m和m1依照题目操 作可以得到这个偶数 m ;对于奇数m，就仅有一个数2m依照题目操作可以得到这 个奇数m。所以：a k = ak 1 A 1, b k = ak 1 依上述规律，列出下表：X9X8X7XJJJX2X1X偶数个数0112358132134奇数个数101123581321答：经过9次操作后变为1的数有55个.五、小试牛刀：9. 已知m, n,k为自然数，m 一 n 一 k , 2m - 22k是100的倍数，求m n - k的最小值.解：因为

16、 100 整除 2m2n -2k,100= 4X 25,2m- 2n-2k =2k2m2 - 1 .n = k ,否则，2m 2n -2k = 2m就不能被25整除，可见n k 一2。这时候，若有最 小的m -k n -k使2m*2n* -1被25整除，则有最小的 m-k n-k k = m n -k使2m - 2n -2k是100的倍数。可以取k尽可能的小，所以，k =2.为表达简洁一些，下面的式子评注：2三2 （Mod5）表示2被5除的余数是2;24(Mod5)表示22被5除的余数是4;2三3(Mod5)表示23被5除的余数是3;24=1(Mod5)表示24被5除的余数是1;这时候若 2心

17、=4并且2=2 :2心=3并且2=3时，则有2心 2心被5整除余1, 2m -2n2 _1应当被5整除。所以可以计算：(注意m_n ) 当2心4并且2心2时，当门=3,m=4 , 2mi2n_1 = 50,不是 25 的倍数；当 n =3,m=8 , 2m， 2心 _1 = 65,不是 25 的倍数；当 n =3,m =12 , 2心-2心 一1 = 1025，是 25 的倍数；此时 m n - k = 13. 其余的情况，m n 一 k . 13 2m=3并且2心3时，n =5,m=5, 2m - 2n -1 = 15,不是 25 的倍数；其余的情况，m n - k 13 .答：使得100整

18、除2m 2n -2k的最小的m n - k的值是13.评注：解题过程应用了同余的性质，请参考“华罗庚金杯”少年数学邀请赛培训教材中第三篇。10. 若1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从1报到64,再依次从1报到64, 一直报下去，直到每个报过10次为止，问：(1)有没有报过5,又报过10的人？有多少？说明理由； 有没有报过5,又报过11的人？有多少？说明理由.解答： 做带余除法：1998 =31 64 14，余数是14。这个余数表明，如果某个小朋友在 第k轮报数中报的数是ak，那么，在第k 1轮中报的数是则akak 14或者 &卅弋+14_64 (如果a1O64), ak十和ak有相同的奇偶性，说明同某个小 朋友所报的数或者都是偶数，或者都是奇数。所以没有一个小朋友既报过5,又报过10； 某个小朋友第一次报5后，经过第k轮所报的数是：k -114 5被64除的余数。例如：第2次报数时，这名小朋友报的数是 2114*5 = 19，不难计算出，当k =6时，6-1 14 764 11，这名小朋友报的数是11； 前面第说明第1轮报数为5,则在第6轮报11,，第5轮报数为