傅里叶变换公式

1、名师推荐精心整理学习必备第2章信号分析本章提要信号分类周期信号分析-傅里叶级数 非周期信号分析-傅里叶变换 脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 2 1信号的分类两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定 的。进一步分为：周期信号，非周期信号。质量一弹簧系统的力学模型x(t)二Acos JKt + 0m非确定性信号(随机信号)：给定条件下 取值是不确定的按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散, 并用二进制表示。信号描述方法时域描述如简谐信号频域描述以信号的频率结构来描述信号的

2、方 法：将信号看成许多谐波（简谐信号）之 和，每一个谐波称作该信号的一个频率 成分，考察信号含有那些频率的谐波， 以及各谐波的幅值和相角。vpage break 2-2 周期信号与离散频谱 一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号时域表达式x(t)二 x(t T)= x(t 2T)八 二 x(t nT)(n 1 , 2 ,)T:周期。注意n的取值：周期信号 无始无 终”#傅里叶级数的三角函数展开式x(t)二 a。 (an cosn 0t bn sin n 0t)n=1(n=1,2, 3,)傅立叶系数：a。1: x(t)dtT Tan2 2j T x(t)cos n 0tdtbn2 2Tx(

3、t)s inn 0tdt式中T-周期；o-基频，o=2/To 三角函数展开式的另一种形式：人=Jabj* n = arctg ann = 1, 2, 3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和 -谐波分析法频谱图11* n1、 * * *11 02灼0孑04灼0灼o2技o技周期信号的频谱三个特点： 离散性、谐 波性、收敛性例1 :求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：x(t)*A 4tA非对称周期方波的周期方波解：信号的基频271傅里叶系数奇函数：a。= an =_0Tt的偶函数bn =2rx(t)sinn tdt4Asin n 0tdt 二T 002A1 cos n塑 n为奇数0

4、n为偶数n次谐波的幅值和相角bT bn 卜4AJI(n = 1,3,5,)最后得傅立叶级数名师推荐精心整理学习必备4Acos(n 0t ) n2(n = 1,3,5,)An i4Afl 4A 4A n3 5 IIr3 033 3 05 3 03312n频谱图幅频谱图相频谱图二、周期信号傅里叶级数的复指数形式欧拉公式 2 t丄+ 丄e = cos豹 t j sn t121 e-j t ej t2cos t 二 sin t= i傅立叶级数的复指数形式QOVj0 tX(t)=送Cnen=(n= 0, 1, 2, 3,)复数傅里叶系数 的表达式-2rx(t)dtTa jbn2T t其中an, bn的计

5、算公式与三角函数形式相 同，只是n包括全部整数。般Cn是个复数。因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数, 因此#an a-nb-n bn即：实部相等，虚部相反，Cn与C-n共轭Cn的复指数形式Cn =Cn共轭性还可以表示为Cn =C- n = - $nn即：Cn与C-n模相等，相角相反。傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。它与三角函数形式的关系对于n0a： ( bn)2An22（等于三角名师推荐精心整理学习必备函数模的一半）* n = arctg an（与三角函数形式中的相角相等）忙n _ - arctg n _ arctg n anan用Cn画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图：|Cn|-，相

6、频谱图：n - vpage break 2-3非周期信号与连续频谱分两类：a. 准周期信号定义：由没有公共周期（频率）的周期 信号组成频谱特性：离散性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比（或周期 比）不是有理数b. 瞬变非周期信号几种瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换一、 傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（ 2.22）借助（2.16）演变成:x(t)的傅里叶变换X( 3 )旳1X(t) C 1j x(t)ejtdt2 兀-oO定义x(t)的傅里叶变换X(3 )X( )x(t)e j 也X( 3 )的傅里叶反变换X(t)：x(t)二Xf )ej tdcO傅里叶变换的频谱意义：一

7、个非周期信 号可以分解为角频率连续变化的无数 谐波X( )ej 方的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函名师推荐精心整理学习必备数。对应关系：1 21 X(3 )djwtr1 jn Oote 二 Lcn Je:2 -X()描述了 x(t)的频率结构X()的指X(3 )= |Xf 層以频率f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p), 得X ( f )二! x(t )e_ s f tdt cdx(t)=X(f )ejftdfodX( f )的指数形式X(f) = |x(f)|ej(f)频谱图幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图相位频谱图实频谱图Re(厂 fo)（对上式，再用频移性质）(四) 正弦函数和余弦函数的频谱cos 2 ft(f fo)fo).12二朮 e2 ft 丨 FT 2J1/2 a|1/2-f