隐函数及由参数方程所确定的函数

1、第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数 导数相关变化率,一. 隐函数的导数,在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值 时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方 程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作 y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey0都确定了y是x的隐函数, 对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一 个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我 们用下面的例题说 明隐函数的求导方法,解:将题设方程两边都对x求导,得到,例1 求由方程 xy

2、+ex-ey=0 所确定的隐函数的导数 dy/dx,方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的 复合函数, 例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的复合函数,对x求导应按 复合函数求导方法做,例2 求由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数的导数. 解: 对两边都对x求导,我们得到,对于隐含数还有一种求导数的方法 对 数 求 导 法,对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取 导数,比用通常方法计算简单,例3 求幂指数函数 y = uv(u0) 的导数，其中u, v是x的函 数,且都在点x处可导. 分析: 先取对数,例如,解,例5,解,例6 试用比较简单的方法求下列

3、函数的导数,分析:1 可把右式展开后求导,也可利用乘积求导.后者方便,2 可把右式展开后求导,也可用复合函数求导.后者方便,3 用商的求导公式,也可先化简后求导的方法,后者方便,4 可用复合函数求导或对数性质把函数变形后再求导.后者好,5 (1)可用商的求导方法(2)用乘积求导方法(3)可化简后再求导,方法和5一样,用商和乘积的方法不如用对数的方法化 简后求导,同样的问题采用好的方法,不但计算方便而且正确.通过上述研究我们知道初等函数的导数仍然是初等函数.而隐函数,参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方法得到它的导数,例7 设f(x) x(x-1)(x-2)(x-3).(x-10

4、0) 求 f (0)分析: 本题利用乘积求导方法比较麻烦,不如采用导数定义求方便,例8 求幂指函数 y=xx 的导数,用性质,用对数,利用上式可求得,隐函数的二阶求导就是在隐函数的一阶求导的基础上, 在等式两边再对x求导一次,下面举例说明,例9 求由方程 x-y+1/2siny=0 所确定的隐函数y的二 阶导数 y,解: 方程两边对x求导,得到,上述方程再对x求导,得到,二 由参数式方程所确定的函数的导数,应用复合函数及反函数的求导公式,得到,具有单调性，y 为 x 的函数有时由上面的方程消去t,得到 的y=f(x)比 较复杂,有时还写不出来.它的反函数存在，并 设上面函数,都可导,由它构成的

5、复合函数.我们,分析: 当t=2时,所求切线的切点的坐标为(6a/5,12a/5)切线的 斜率是 yx ，因为,在参数方程的一阶导数的基础上,我们来讨论参数式的 二阶导数的求法. 设函数的参数式为x=(t), y=(t,则它们的二阶导数,参数式的二阶求导,例12 求函数 的二阶导数,在求参数方程的导数时,不要同函数的求导混淆起来.要求 采用 形式,三.相关变化率,设 x= x(t)及 y = y(t) 都是可导函数，而变量x与y之 间存在某种关系，从而变化率 dx/dt 与 dy/dt 之间也 存在一定关 系。 两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题是研究这两个变化率之间的关系，以便 从其中一个变化率求出另一个变化率,通 过举例说明,例5 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率 为140m/min.当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增 加率是多少? 解: 设气球上升ts