第一节一元二次方程概念

1、学习好资料欢迎下载第一节一元二次方程【教科书重点】1.理解并掌握一元二次方程的定义.2.正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数【提分必旨】1. 一兀二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数是 2,这样的整式方程叫做一元二 次方程.2. 一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式为：ax2 bx c 0 a 0 .其中，ax2叫二次项，bx叫一次项, a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.【例题讲解】例1指出下列方程中哪些一元一次方程.(1) 6x2 2 5x(2)x2 0(3) 3x2 7y2(4) 6x 34x2x12(5) 35x2(6) 3x 5

2、2x 1 6x例2把下更方程化成一元二次方程的一般形成，再写出二次项、一次项、常规项(1) 5x22 3x(2). 2 6x215x0(3)3y y 17 y 25 j 2(4) m .mm . m m 275m2(5) 5a 14 a 3例3卜列关于x的方程疋否疋兀二次方程？为什么？右疋元二次万程，请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项；(1) 13x(3) a 1 x 6ax 3a 6nx(2) mx274x m02 2(4) k 1 x kx k 9例4已知关于x的方程a 2 x2 ax x2 1是一元二次方程，求a的取值范围.【课堂练习】、选择题.1. 2x23 5x化成一般形式后，

3、二次项系数、一次项系数、常项分别为（(A) 2, -5, -3( B) 2, -3, -5(C) 2, 5, -3(D) 2, -5, 32. 若方程m21 x2 x m 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（(A) m 0(B) m 15(C)(D) m 1 且 m 13. 下列方程中是一元二次方程的有（ 9x2 7x83yy 1 y 3y 1 x2 2y 6 0.10-2xx（A）(B)(C)（D）4. 一元二次方程4x1 2x5x21化成一般式ax2bx c 1 a 0 后，a, b, c 的值为（）(A) 3,-10, -4(B)3,-12,-2(C) 8, -10, -2(D)

4、 8,-12, 45. 一兀二次方程2x2x 1化成一般式后,二次项系数为 1，一次项系数为-1，则m的值为（(B)(C) -2(D) 2、填空题.1.关于的方程2my nym 0中，二次项系数、一次项系数与常数项的和2.方程q是关于x的次方程，其一般形式为3. 已知关于x的方程3k 1 x2 2x k 0,当k时，方程为一元二交方程，当k时,方程为一元二次方程.4. 若关于x的方程2x2 mx 1 m有一个根为-1，则m 一5. 一元二次方程ax2 bx c 0有两个解为1和-1,则有a b c ，且有a b c .三、解答题.1.判断下列方程是不是一元二 常数项：-次方程，是一元二次方程的

5、，指出它的二次项、一次项和2(1) 3 2x x 02(2) 3y y 12y 1(3),2 1 x 3 xax 2关于x的一元二次方程，求a的取值范围.(5) 2 x2 35 2 x 2x x 12. 把下列关于x的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数、一次项系数及3.已知方程x常数项:(1)abx2cxd ab 0(2)mn x2m n mn(3)2p3 x2kx 2x21(4)3 ax 4x22 ax a1(5)2kx22k2xs k 0k 0【课后作业】1、 若方程（m 1）x2,mx 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是（）（A） m 1（ B） m 0（ C）

6、 m 0且 m 1（D） m 为任意数2、 下列方程是一元二次方程的是（）1 2 2（A）x 1（ B）2x 3y 1（ C）ax bx c 0（ D）5x 2x 3x3、判断下列方程是不是一元二次方程？如果是一元二次方程，指出他的二次项系数，一次项系数，常数项各是多少？（1）（x 5）（x 5） 8（2）（x 2）（x 3） x（x 2） 5（3） x2 xy 2y2 0 （x,y 均为未知数）；（4） x（x2 2x 2） 5x1 1（5）冷 1 5（ 6）mx2 6x 7 0（ x 为未知数）x x(7)4、关于x的一元二次方程（2 m）x2m（3 x） 1的二次项系数是多少？ 一次项系

7、数是多少？常数项是多少？对m的限制是什么?5、当a满足什么条件时，方程（a2 1）x2（a 1）x 4a 20是一元二次方程？当a为何值时，上述方程是一元一次方程？当 x=0时，求a的值.26关于x的方程(k 1)xk 1 (k 1)x 5 0如是果一元二次方程，那么k满足什么条件?如果是一元一次方程，k又满足什么条件？7、(思考题)(1)如图1,在梯形ABC冲，AB/ CD AB b , CD a , E为AD边上的任 意一点，EF/ AB,且EF交BC于点F,某学生在研究这一问题时，发现如下事实：当Di1时，有ef当D| 2时，有EFa 2b当3时，有EFAEa oh DE丁 当-k时，参

8、照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明;(2) 现有一块直角梯形田地 ABCD (如图2所示)，其中AB/ CD AD AB , AB 310 米，DC 170米，AD 70米.若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地 均为直角梯形，且它们的面积相等.请你给出具体分割方案.DC图2第二章一元二次方程的解法教科书最重点一元二次方程的解法是以降次为目的，以因式分解法、公式法等主法为手段，从而把一 元二次方程转化为一元一次方程求解.1. 能用直接开平方法解一元二次方程.2. 会用配方法解一元二次方程.另外，配方法也是本节的难点.3. 会用配方法推导出ax2 bx c

9、0 a 0的求根公式，并能熟练地掌握公式法解一元二 次方程.4. 能熟练运用因式分解法解一元二次方程，理解其解法的关键是将一元二次方程分解降 次为一元二次方程.5. 会用较简便的方法解无理数系数和字母系数的一元二次方程.提分必背1. 一元二次方程常用解法.直接开平方法适用于解形如x2 n或形如不完全的二次方程：ax2 c 0的方程.配方法用于推导一元二次方程的求根公式.公式法：一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的求根公式为：x b 4ac b2 4ac 0 . 2a因式分解法当方程变形为一边是0,而另一边易于分角为两个一次因式的乘积时使用.例1和直接开平方法解下列方程：（1）5x2 12

10、5 0（2）169 x 3 2289（ 3）y23610（4）1_3m20例2用配方法解方程：(2)3y2 5y 6 0（1）x2 12x 150例3用公式法解方程:(1) 3x2 6x 2(2) p2 32.3p(3) 7y2 11y(4) 9n2 5n 2例4用因式分解法解下列方程：1 2 2（1） X290（ 2） y2 4y 4504(3) 8x210x 30例5用直接开平方法解下列方程:(1)2 3x 1(2)、一 2 2x 7 2.128例6用配方法解方程：2y210y 3.例7用因式分解法解下列方程：（1）、.7x2o(2) 6x23.3x 2、&x6(3)x 5 22 x 5

11、1(4) x23x 22 x2 3x 80例8(1)用公式法解方程:例9用适当的方法解下列方程：(1)y2 迈 32,2 y2(2) 2m m 12 m222m(3) 6x x 2 x 2 x 3(4)y2 33y 3 2y 2y 3y 13 p22.3p 4 x 2 x2 2x13(5) 81 2x 5 2144 x 3例10解下列关于x的方程：(1) x2 3a2 4ax 2a 1 2 px2 px22 px pq 0(2)m2n x 2nx m n m n 0(4)2 m2 2 2 2n x 4mnx m n课堂练习、选择题.(A) 2.3(B)2.3(C)2. 3（D）无实根22. x

12、 7x 180的根是（).(A) x 9(B) x2（C）为9，为2（D）为9， X2223.方程2x796的解为（).4.当x的值为（）时，代数式2x 12x25的值为5.(A) x110(B)x 2(C)x19，x-i2(D)x|9， x221. 3x2 36 0 的根()5. xx 60中有一个公共解是（)2 22x 30, x 4x 30 , x2(B) x 2(C) x 1(D)x 26.如果关于x的方程3x22a 15 2 3a 1 x有一个根为-2，则a的值为（(B)(C) 2(D)27.已知2是关于x的方程2a0的一个解，则2a1的值是（）(A) 3(B) 4填空题.1.方程x

13、240的解是（）.2.方程x2349的解是（).3.方程4 x6215的解是（).4.方程5x2x 79x7的解是5.方程x26x8 0的解是（).方程x26x9 0的解是（).方程x26x10 0的解是（)(C) 56. 一元二次方程x2 4x 6 0有(D) 6个实数根，因为b2 4ac 07.关于y的方程2y2 3py 2p 0有一个根是y 2，关于x的方程x2 3 p的解为三、解答题.1. 解下列方程:2(1) 25x3240(2) 121 x 61962(3) 3y 4y 10(4) x2 2、.2x(5) 2z2 3、“2z 402(6) 8x21 5x2(7) 3y26 y 16

14、 0(8) . 5x2 .10.25 x2(9)m 62 m 612(10) 25 y 224 3y 12.解方程：2x2 7 8x3.解下列关于x的方程：(1),2x2 3ax -2a202(2) x 3mx(3) x28ax 4a20(4) ax22a b x b a a 02 2(5) x 4bx 4b4.解下列方程：(1)22x 31 x 2 x 22 2 2(2) y2 7y3 y2 7y 10(3)2 2 22x 3x4 2x 3x 55. 已知x2 3xy 4y20 y 0，求乞的值.x y7.6. 解关于x的方程：bx2 a 2b x a b.（需要分类讨论）12 0，求m2

15、n2的值.第三章一元二次方程的应用教科书最重点1. 列方程解应用题的一般思路和步骤2. 列一元二次方程解有关数与数之间关系的应用题3. 列一元二次方程解有关面积、体积方面的应用题4. 列一元二次方程解有关增长率的应用题.5. 列一元二次方程解有关盈利、亏损方面的问题 .提分必背1. 列方程解应用题的一般步骤审题.设未知数.列代数式列方程（组）解方程（组）检验.答题.2. 列方程必须满足的三个条件.方程两边表示同类量.方程两边的同类量单位一致.方程两边的数值相等.3. 设未知数，列方程设未知数时，可直接设未知数，也可间接设未知数；可设一个未数，也可设多个示知数，一般设几个未知数，就需列几个方程.

16、4. 几个基本量的等量关系.数量的和、差、倍、分.速度X时间=距离.工作效率X工作时间=工作量.增长量=基数X增长率.混合物质量X含纯净物百分比=纯净物质量.几何中面积公式或体积公式.两位数=十位数字X 10+个位数字.5. 表示特殊等量关系的关键词语.如口：“多”“少”、“快”、“慢”“提前”、“超过”、“早到”、“迟到”、“是几倍”、“增加几倍”“降低到”等等.例1 三个连续奇数，两两相乘所得的乘积的和是 503.求这三个数.例2 有一块长25cm宽15cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角截取四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面符号为231平方厘米的无盖的盒子，求这个盒子的

17、容积.例 3 有一生产线，生产成本逐年下降，原来每件产品成本是1600元，两个月后，降至900元，问成本月平均降低百分之几？例4已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的边长和面积.例5 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4,且个位数字与十位数的平方和比这 两位数小4,求这两位数.例6 一个长方形桌面，长1.4m、宽0.8m，台布面积是桌面面积的2.5倍，如果铺在上面 各边垂下的和度相等，求台布的长和宽.例 7 制造某种产品，原来每件的成本是 500元，由于连续两次降低成本，使本成降低了 180元，问平均每次降低的面分率是多少?例8 某人把500元存入银行，定期一年到期后取出 300元

18、.将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变到期如果全部取出，正好是 275元.这笔存款的年利 率是多少？（不计利息锐）例9 三个连续正整数的最大数的立方与最小数的立方的差比中间数的40倍大16,求这三个数.例10某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元.为了扩大销售 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施 .经调查发现，如果每件衬衫每降阶一 元，商场每天可多售出2件.（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多?例11直角三角形周长为2 ,6，斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的三

19、边长例12 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是18,如果十位数字与个位数字调换 后，所得两位数乘以原来的两位数就得 1855.求原来的两位数.例13 已知：甲乙两人分别从正方表广场 ABCD的顶点B、C同时发出.甲由C向D运动， 乙由B向C运动.甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分.若正方形广场的周长为40千 米，问几分钟后，两个相距 2.10千米？例14 某科技公司研制成功一种新产口，决定要银行贷款 200万元资金，用于生产这种产 品.签定的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的 8%.该产口投放市场后，由 于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈

20、余 72万元.若该公司在 生产期间每年比上一年资金增长的面分数相同，试求这个百分数 .课堂练习1. 两数之差等于4,它们的积是117,则这两个数是（）(A) 9 或 13(B)-9或-13(C) 9和13或和-13（D）以上都不对2. 三个连续整数的平方和是245,则最大的一个整数为（）.（A）10（ B）9（ C）-9（ D）-103. 某工厂一月份产值是5万元，三月份产值为11.25万元，则每月平均增长的百分率为 （ ）%.(A)10(B)50(C) 20(D)254. 某校计划在一块长8米、宽6米的矩形草坪的中央划出百积为16平方米的矩形栽花,使这个矩形四周留地的宽度一样，则这个宽度应为

21、（(C)于7 717(d)-r5.有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，且其十位数字比个位数字小 2,则这个两位数是（）.(A)48(B)24(C) 84(D) 426.某商场一月份营业额为200万元,第一季度的营业额共1000万元,若每月的平均增长率为x,则由题意列方程应是（(A) 200 1 x 21000(B) 200 2002x 1000(C) 200 200 3x 1000(D) 200 11210007. 某厂一月份生产产品a件，二月份比一月份增加2倍，三月份是二月份的2倍，则三 个月的产品总件数为（）.（A） 5a（ B） 7a（ C） 9a（ D） 10a二、填空题.1. 两个

22、连续奇数的积为399.则这两个奇数为 和.2. 某工厂的产品品种两年内由原来的16种增加到25种，若年平均增长率为 x,则x为.3. 矩形操场的长和比宽多15米，面积为 2200平方米.若设长为x米，可列方程为 ;若设宽 x米，可列方程为 .4. 有一个两位数，它的个位数字比十位数大3,把个位数字与十位数字对调所得的新数与两位数的积是1300,则这两位数为 .5. 一个直角三角形的三边长是三个连续正整数，则这个直角三角形的面积为 平方单位6. 某饲料厂今年一月份生产饲料 500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份平均每月增长的百分率为x，列方程则为 .7. 某工厂2000年年产量为a af

23、 0元，如果每年递增10%，则2001年年产量是，2002年年产量是，这三年的总产量是 .8. 某药品连续两次降价10%后的价格为m元，该药品的原价为 元.三、解答题.1.两个数的和为60,它们的积为884,求这两个数.2. 五个连续偶数中，第一个和第五个数的乘积是308，求这五个偶数.3. 现有长方形纸片一张，长19cm、宽15cm.则该纸片需要减去边长是多少，长方形才能 做成底面积为77 cm2的无盖长方形纸盒.4. 某家场的粮食产量在两年内从 6000吨增加到7260吨，求平均增长的百分率为多少?5. 在长40cm、宽20cm的矩形钢板中央挖出一个面积为 300cm2的矩形方孔，并使剩下 的柜架四边一样宽，求这个宽度.6. 一批上衣原价每件240元，由于滞销连续两次降价后每件售价为19