高一 三角函数的图像与性质知识点及习题

1、 三角函数的图象与性质基础梳理1“五点法”描图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1)2.三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象 值域1,11,1R对称性对称轴： xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴： xk(kZ)；对称中心：(k，0) (kZ) 对称中心：_ (kZ) 周期2_2单调性单调增区间_2k，2k(kZ)_；单调减区间2k，2k (kZ) _单调增区间2k，2k (kZ) _；单调减区间

2、2k，2k(kZ)_单调增区间_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan(x)的最小正周期为 .4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；由于正余弦函数的值域都是1,1，因此对于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，yco

3、s x的上确界，1叫做ysin x，ycos x的下确界.(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x) (0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分

4、下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)ysin；(2)ysin.练习题:1函数ycos，xR()A是奇函数 B既不是奇函数也不是偶函数 C是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数ytan的定义域为()A. B. C. D.3函数ysin(2x)的图象的对称轴方程可能是( )Ax Bx Cx Dx4ysin的图象的一个对称中心是()A(，0) B. C. D.5下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是 ()A.(0，)B. C. D.6已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)|f()|对任意xR恒成立，且f()f()，则f

5、(x)的单调递增区间是( )Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ) Dk，k(kZ) 【解析】当xR时，f(x)|f()|恒成立，f()sin()1可得2k或2k，kZf()sin()sinf()sin(2)sin sin0 2k由2k2x2k 得xk，k(kZ)，选C.7.函数f(x)cosxR的最小正周期为_ _8.y23cos的最大值为_，此时x_ _.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求下列函数的定义域：(1)y.要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象.在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0,2内，满足sin xco

6、s x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.(2)求函数的定义域.利用数轴可得图 函数的定义域是x|0x0，0,0)的部分图象如图所示求f(x)的解析式； 【解析】(1)由图可知A2，则4 .又f()2sin()2sin()0 sin()00，0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令x0，x)确定.例3已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，2)(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐

7、标缩小到原来的，纵坐标不变，得到yg(x)的图象，求函数yg(x)的解析式【解析】(1)由函数图象的最低点为M(，2)，得A2，由x轴上相邻两个交点间的距离为，得，即T，2.又点M(，2)在图象上，得2sin(2)2，即sin()1，故2k，kZ，2k， 又(0，)，.综上可得f(x)2sin(2x)(2)将f(x)2sin(2x)的图象向右平移个单位，得到f1(x)2sin2(x)，即f1(x)2sin2x的图象，然后将f1(x)2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到g(x)2sin(22x)，即g(x)2sin4x.题型三三角函数的单调性与周期性例4写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin； (2)y|tan x|.解(1)ysin，它的增区间是ysin的减区间，它的减区间是ysin的增区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的减区间为，kZ；增区间为，kZ.最小正周期T.(2)观察图象可知，y|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.最小正周期：T.探究提高(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x) (其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0)时，所列不等式的方向与ysin