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文档简介
1、二次函数的图象和性质,高一数学 毕京祥,教学目标 知识与技能目标 1能通过配方把二次函数 化成,的形式,从而确定 开口方向、对称轴和顶点坐标; 2会利用对称性画出二次函数的图象 3、会用公式确定,对称轴和顶点坐标。,过程与方法目标 通过思考(新问题转化为旧知识,)探究,归纳,尝试等过程,让学生从中学会探索新知的方式方法。 情感态度价值观目标 经历求二次函数的对称轴和顶点坐标的探究过程,渗透配方法和数形结合的思想方法。,重点和难点 教学重点: 用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴 教学难点: 配方法的推导过程,(一)二次函数的定义,一般地,如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a0),那么
2、y叫做x 的二次函数.,解:根据题意,得,(二)二次函数的几种表达式:,、,、,、,(顶点式),(一般式),(交点式),例2、已知抛物线yax2bxc(a0) 与x轴的两个交点的横坐标是 -1、3,与 y轴交点的纵坐标是 :,(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对 称轴和顶点坐标.,(1)确定抛物线的解析式;,开口向上; 对称轴直线x=1; 顶点坐标(1,-2),当a0时开口向上,并向上无限延伸;当a0时开口向下,无限延伸.,(h,k),直线,直线,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,(三)二次
3、函数的图像与性质,(四)研究二次函数的一般方法: (1)配方 (2)求函数的图象与x轴的交点 (3)列表描点作图 (4)函数图象的对称性质 (5)函数的增减性,最值,例3.研究函数 的图像与性质.,所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y = x2 经一系列变换得到的,具体地说:先将y = x2 的图像向左移动4个单位,再向下移动2个单位得到 的图像,解:(1)配方得,(2)函数与x轴的交点是:,(6,0)和( 2,0),(0,6),函数与y轴的交点:,(4) 函数f(x)在(, 4上是减函数,在4, + ) 上是增函数.,(5)函数f(x)在x=4时,取得最小值2,记为ymin=2. 它的图
4、象顶点为(4,2),(3)函数图像的对称性质:,函数的对称轴是x=4。 如果一个函数f(x)满足: f(a+x) = f(ax),那么函数f(x)关于x=a对称.,解:(1)因为抛物线的对称轴是x=2, 所以 ,解得m=2,m10, 抛物线的开口向上.,(2)原函数整理得y=x24x+3=(x2)21. 所以当x=2时,ymin=1. 单调增区间为2, +), 单调减区间为(, 2.,例4. 已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数),x1,1, (1)若函数f(x)为偶函数,且f(1)=1,求a,b的值; (2)若函数f(x)为奇函数,且f( )= ,求f(x)的值域。,解: (1)因为
5、函数f(x)=ax2+bx为偶函数,所以b=0, 又f(1)=1,所以a=1. f(x)=x2.,(2)函数f(x)为奇函数,则a=0,b=1, 所以f(x)=x, x1,1, 所以值域是1,1.,例5. 已知函数f(x)=x24x+1,不计算函数值, 比较f(1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。,解: f(x)=x24x+1=(x2)23, 对称轴是x=2,在区间2, +)上是增函数. f(1)=f(23)=f(2+3)=f(5), f(1)=f(21)=f(2+1)=f(3), 所以f(1)f(4)f(1)=f(5).,例6. 已知二次函数y=x2mx+m2, (1)证明:无论m为何
6、值时,函数的图象与x轴总有两个交点; (2)m为何值时,这两个交点之间的距离最小。,解:(1)=m24m+8=(m2)2+40, 所以无论m为何值时,函数的图象与x轴总有两个交点;,(2)设方程的两个解分别为x1,x2,则x1+x2=m,x1x2=m2,,(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=m24m+8=(m2)2+4.,所以当m=2时,|x1x2|最小,最小值是2.,能力训练,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则在下列各不等式中成立的个数是_,1,-1,0,x,y,abc b 2a+b=0 =b2-4ac 0, ,1.已知 的图象如图所示,则a、b、c满足( ) (A) a0,b0 (C) a0,c0; (D) a0,D,反馈练习:,2、下列各图中能表示函数 y=ax+b和 在同一坐标系中的图象大致是(),D,总结: 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的系数a,b,c,与抛物线的关系,a决定开口方向:a时开口向上, a时开口向下,a、b同时决定对称轴位置:a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b时对称轴是y轴,c决定抛物线与y轴的交
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