高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案（含解析）新人教A版选修2-1

1、24.2抛物线的简单几何性质提出问题问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对问题3：抛物线y22px有对称性吗？提示：有，关于x轴对称 导入新知抛物线的简单几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下化解疑难1抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线无对称中心，无渐近线标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线2p的几何意义：焦点到准线的距离它的大小，影响抛物线开口大小.

2、抛物线方程及其几何性质例1已知A，B是抛物线y22px(p0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程解如图所示设A(x0，y0)，由题意可知B(x0，y0)，又F是AOB的垂心，则AFOB，kAFkOB1，即1，yx0，又y2px0，x02p.因此直线AB的方程为x.类题通法根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论活学活用已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求

3、此抛物线的标准方程解：由题意，可设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F，直线l：x，A，B两点坐标分别为，|AB|2|p|.OAB的面积为4，2|p|4，p2.抛物线方程为y24x.直线与抛物线的位置关系例2若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，求证：OAOB.证明：由消去y，得x212x160.直线yx4与抛物线相交于不同两点A，B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216.x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.类题通法将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通

4、过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解活学活用过点(3,2)的直线与抛物线y24x只有一个公共点，求此直线方程解：显然，直线斜率k存在，设其方程为y2k(x3)，由消去x，整理得ky24y812k0.(1)当k0时，方程化为4y80，即y2，此时过(3,2)的直线方程为y2，满足条件(2)当k0时，方程应有两个相等实根由即得k或k1.所以直线方程为y2(x3)或y2(x3)，即x3y90或xy10.故所求直线有三条，其方程分别为：y2，x3y90，xy10.抛物线中的最值问题例3在抛物线y22x上求一点P，使P

5、到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解法一：设P(x0，y0)是y22x上任一点，则点P到直线l的距离d，当y01时，dmin，P.法二：设与抛物线相切且与直线xy30平行的直线方程为xym0，由得y22y2m0，(2)242m0，m.平行直线的方程为xy0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin，此时点P的坐标为.类题通法解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法活学活用点P在抛物线2

6、y2x上，点Q在圆(x2)2y21上，求|PQ|的最小值解：圆(x2)2y21的圆心为M(2,0)，设P(2y，y1)，则|PM|2(2y2)2y4y7y442，|PM|，|PQ|min|PM|min11.典例已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p.证明(1)过焦点F的直线AB的方程为yk或x.当直线AB的方程为ykx时，由消去x，得ky22pykp20.AB与抛物线有两个交点，k0.由根与系数的关系得y1y2p2.又y2px1，y2px2，x1x2.当直线AB的方程为x时

7、，x1x2，y1p，y2p，y1y2p2.(2)由抛物线的焦半径可知：|AF|x1，|BF|x2，|AB|AF|BF|x1x2p.多维探究解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算1若本例中，AB是经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦，其弦长为6，求抛物线方程解：直线l的方程可写为yx.因|AB|AF|BF|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得22px，即x23px0.x1x23p，代入式，得3p6p，p.抛物线的标准方程是y23x.2在本例

8、条件下，试求的值解：设直线AB：yk或x.当直线AB的方程为yk时，由消去y，得k2x2p(k22)x0.AB与抛物线有两个交点，k0.x1x2，x1x2.又|AF|x1，|BF|x2，|AF|BF|x1x2p.|AF|BF|x1x2(x1x2)(x1x2)(x1x2p)(|AF|BF|)，即|AF|BF|AF|BF|，.当直线AB的方程为x时，x1x2，y1p，y2p.|AF|BF|p.3在本例条件下，若M是AB的中点，过点A，B，M向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1.试证：(1)以AB为直径的圆与准线l相切；(2)AM1B90；(3)A1FB190.证明：如图(1)|MM1

9、|(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|.以AB为直径的圆与准线l相切(2)由(1)知，以AB为直径的圆与准线l相切于点M1，则AM1B90.(3)如图：|AA1|AF|，|BB1|BF|，AA1FAFA1，BB1FBFB1.又AA1x轴，BB1x轴，AA1FA1FO，BB1FB1FO.AFA1A1FO，BFB1B1FO.A1FOB1FO90，即A1FB190.随堂即时演练1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，)B6，)C(3，) D3，)解析：选D抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，抛物线上的

10、点到准线的距离的取值范围为3，)2直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A2或1 B1C2 D3解析：选C由得k2x2(4k8)x40.由(4k8)216k20，得k1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，解得k2或k1(舍去)3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|_.解析：|AB|x1x2p628.答案：84线段AB是抛物线y2x的一条焦点弦，且|AB|4，则线段AB的中点C到直线x0的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|x1x2p4，x1x2

11、4，中点C(x0，y0)到直线x0的距离为x0.答案：5已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长|AB|3，求m的值解：由得4x24(m1)xm20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x21m，x1x2，|AB| .由|AB|3 ，即 3 ，解得m4.课时达标检测一、选择题1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211xBy211xCy222x Dy222x解析：选C在方程2x4y110中，令y0，得x，抛物线的焦点为F，即，p11，抛物线的方程是y222x.2过点(2,4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共

12、点，这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：选B设A(x，y)，则y24x，(x，y)，(1x，y)，xx2y24.由可解得x1，y2.4设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则| |的值为()A1 B2C3 D4解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2

13、，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33，则| | |x3(x1x2x3)3. 5.(全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.二、填空题6顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的方程是_解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py或x

14、22py(p0)由顶点到准线的距离为4知p8，故所求抛物线的方程为x216y或x216y.答案：x216y或x216y7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为1.答案：8过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方

15、程为yx，与x22py联立得A，B两点的横坐标为xAp，xBp，故Ap，p，Bp，p.所以|AF|p，|BF|2p，所以.答案：三、解答题9正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又因为|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.因为x10，x20,2p0，所以x1x2，由此可得|y1|y2|，即点A，B关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.所以|AB|2y14p.10.已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由