1-1数值分析.ppt

1、数值分析,第一章 绪论,1 数值分析研究的对象,2 误差来源与种类,3 误差的基本概念,4 数值计算中需要注意的问题,1 数值分析研究的对象,数值分析也称为计算方法，它是研究各种数学问题是指方法的设计、分析、有关数学理论和具体实现的一门学科，属于计算数学的范畴.,随着计算机技术的发展，科学与工程计算的应用范围已经扩大到许多学科领域，形成一些边缘学科，例如计算物理，计算化学，计算力学.,目前，实验，理论，计算已成为人类进行科学活动的三大方法.,为了解某科学与工程实际问题，首先是依据物理、力学规律建立问题的数学模型，这些模型一般是代数方程、微分方程等.,科学计算的一个重要方面就是要研究解这些数学问

2、题的数值计算方法，然后通过计算软件在计算机上计算出实际需要的结果.,所以，数值分析除了具有数学的抽象与严谨的特点外，还有应用广泛，与实际联系紧密的应用性强的特点，它是一门既有理论，又有应用，并且和计算机密切结合的课程.,研究的内容,1 非线性方程的数值方法；,2 线性代数问题的数值方法；,3 数值逼近；,4 数值积分；,5 微分方程的数值解法.,2 误差来源与种类,解决实际问题的过程：,实际问题,数学模型,数值计算方法,计算结果,程序设计,一个物理量的真实值与计算出的值往往不相等，称其差为误差. 引起误差的原因是多方面的.,实际问题与计算结果存在着以下几种误差.,(1) 模型误差,用计算机解决

3、科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化得到的，因而是近似的，我们把数学模型与实际问题之间的这种误差成为模型误差.,(2) 参数误差,数学模型中包含有一些物理量，如时间，温度等等，大多都是由观察、测量得到的，由于受到测量工具的限制。测量的数据只能是近似的,成测量值与真实值之间的误差为参数误差.,(3) 截断误差,在求解某个数学问题时，用有限的过程代替无线过程所产生的误差称为截断误差，而这种误差是由于计算方法本身引起的，因此也称为方法误差.,例,用f(x)的Taylor展开计算f(x)的函数值.,设有,解,当我们用近似公式来代替f(x)进行计算时，,若 较小时，有,则

4、数值方法的截断误差为,(4) 舍入误差,有了求解数学问题的计算公式后，用计算机进行数值计算时，由于计算机字长的位数有限，只能用有限位数进行计算. 且当两数进行算术运算时，其结果也要进行舍入，这种由舍入产生的误差称为舍入误差.,在上述讨论的误差来源中，前两种误差是客观存在的，后两种误差是由计算方法引起的. 本课程是研究数学问题的数值方法，因此只涉及到后两种误差.,3 误差的基本概念,(1) 绝对误差和相对误差,定义,设某量的准确值为x, 是x的近似值，,如果 称 为 的绝对误差限.,显然,常记为,定义,设某量的准确值为x, 是x的近似值，,如果 称 为 的相对误差限.,相对误差和相对误差限都是无

5、量纲的数，通常用百分数表示.,例,设,估计近似数 的绝对误差限及相对误差限.,解,显然,相对误差为,数值运算的误差估计,设 是x和y的近似值，,为对应的绝对误差限，则x和y的四则运算的,绝对误差限为,(2) 有效数字,定义,设x为准确值， 是x的近似值，且,为0,1,9中一个数字. 如果,误差满足 即 误差不超过,某位的半个单位. 称该位到 的第一位非零数字为 的有效数字，即 有n位有效数字.,注,当 是x的 按四舍五入原则得到的近似,数，则 具有n位有效数字 .,这两个数字写法是有区别的:,有4位有效数字；,仅有1位有效数字.,有效数字和相对误差之间的关系,定理1,设x的近似数为,如果 具有

6、n位有效数字,则 的相对误差限为,其中,证明,因此有,因此，有效数字越多，相对误差限越小.,定理2,设x的近似数为,如果 的相对误差满足,则 至少具有n位有效数字.,证明,所以 至少具有n位有效数字.,例,要使 的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字？,解,由定理1可知,所以只要取n=4,就有,即对 的近似值取4位有效数字即可.,(3) 条件数与病态问题,定义,设f为 上的实值函数, 对于给定的x,为前向误差. 若存在x*使得f(x*)=y*, 则称,例 设y*=1.4为 的近似值，计算前向, 后向误差,计算y=f(x). 若y*是y的近似值，则称,为后向误差.,定义,前向误差和后

7、向误差之间的关系,对于前向误差和后向误差，其相对误差,之比的绝对值称为计算函数f(x)的条件数,近似计算公式为,例 计算f(x)=tan(x)的条件数 (x*=1.57),当条件数较大时，可能会出现前向误差很大的情况，通常称这类问题为病态问题.,4 数值计算中需要注意的问题,(1) 避免两个相近的数相减,例,设x=18.496,y=18.493,取四位有效数字计算,x-y的近似值，并估计其相对误差.,解,取,则有,!,为避免上述情况的发生，最好利用恒等式改变,计算方法，减少有效数字的损失. 例如对数，,分子(或分母)有理化等等.,在无恒等式可用的情况下,可以选用Taylor展开,式.,(2) 防止大数“吃掉”小数,例,求方程 的根,其中,解,显然方程的根是,如果用8位数字计算机计算，利用二次方程求根公式,那么有,所以,可以看出 的误差太大，原因是在做加减法,小数1被大数 吃掉了！,利用根间的关系 求出,(3) 简化计算步骤，减少运算次数,同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但能节省计算时间，还能减少舍入误差. 这是数值计算中必须遵守的原则，也是数值分析中要研究的重要内容.,例 计算 的值,只要8次乘法运算就可以了.,例 计算多项式的值,秦九韶算法：,(4) 避免误差的积累与传