江苏苏州第五中学高中数学2.3平面向量的基本定理及坐标表示学案新人教A必修4

2.3 向量的坐标表示一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议平面向量的基本定理及其意义了解结合直角坐标系理解向量的基本定理与正交分解平面向量的正交分解及其坐标表示理解用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算了解用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求)理解二、 预习指导1. 预习目标(1)了解把平面上的任意一向量分解成两个给定方向的分向量的过程，了解平面向量基本定理；(2)阅读课本, 了解怎样用坐标(x，y)表示平面向量，学会利用坐标来进行平面向量的运算，学习通过向量的坐标运算来判断两个向量是否共线,会用向量的坐标运算解决几何问题2. 预习提纲(1)平面向量基本定理.阅读教材P7071内容，理解以下内容：平面向量基本定理；基底；向量的分解思考讨论：平面向量定理中“有且只有”的含义是什么？在表示向量时，基底惟一吗？基底有什么特征？(2)平面向量的坐标表示.阅读教材P7276内容，理解以下内容：向量的坐标表示；平面向量的坐标运算；向量平行的坐标表示.思考讨论：相等向量的坐标有什么特点？以(x,y)为坐标的向量有多少个？3. 典型例题(1) 平面向量基本定理由平面向量共线定理可知，任意一个向量可用一个与它共线的非零向量来线形表示，而且这种表示是唯一的；平面向量基本定理是向量共线定理的推广，平面内任一向量可以用两个不共线的向量来表示例1 在平行四边形中，设，试用表示分析：解答本题首先借助三角形或多边形法则，利用向量加减法，用表示来求或建立的方程，解方程组求解解：如图，方法一(转化思想) 设AC、BD交与点O，则有，； ,方法二(方程思想)设，则有且，即，即，点评：本题类型是用基向量表示未知向量，一般有两种方法，一是充分利用向量线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解，二是采用方程思想，即直接用表示，然后把看作未知量，利用方程思想求解 (2) 平面向量的坐标运算与前面研究的向量的“形”的角度比，向量的坐标运算主要从“数”的角度进行考察，学习中始终要注意数形结合的思想.例2 已知，求实数x、y，使分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可解：由题意有=又=3且=5解之得 x=7 且y=4.点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法例3 已知A(-1，2)，B(2，8)，= ，= -，求点C、D和向量的坐标分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之解：设C、D的坐标为、，由题意得，=(3，6)， 又= ，=， =即=(1,2) ，=(1,2)且，且 且 ，且 点C、D和向量 的坐标分别为(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)点评：本题涉及到方程思想，对运算能力要求较高 例4 已知当实数为何值时与平行？分析：本题可用平面向量基本定理和平行向量坐标表示两种方法求解，两种方法的本质一样，从本题看，研究两向量平行时，若坐标已知，用坐标法更简单解：法一：当与平行时，存在唯一的实数使=()，即=，即，与不共线，由平面向量基本定理可知，得，则法二：要使与平行，则求得点评：此类问题要充分利用向量共线条件及向量共线定理、向量相等条件，建立方程与方程组，从而求解参数例5 用向量的坐标运算方法，求证：A(3,-4)，B(-9,2)，C(-1,-2)三点共线分析：此题考察向量共线的坐标表示，进而证明三点共线证明：证法一：由(-9，2)- (3，-4)(-12，6)，(-1，-2)-(-9，2)(8，-4)，-，/又因为有向线段，有公共端点B，A、B、C三点共线证法二：(-12，6)，(8，-4)，且(-12)(-4)-680,/，又因为有向线段，有公共端点B，A、B、C三点共线例6 已知，及,试问:(1)t为何值时,P在第二象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能求出相应的t；若不能,请说明理由.分析:利用向量相等建立向量的坐标之间的关系,再由条件求出.解：(1)因为，若P在第二象限,则；(2)若四边形OABP为平行四边形,则,而无解,所以四边形OABP不能构成平行四边形点评：此类题目关键是正确进行坐标运算，充分转化条件，即向量相等的条件，得出P点横纵坐标关系4. 自我检测(1)在ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若，则用基底，表示= (2)，不共线，要使，能作为平面内所有向量的一组基底，则实数的取值范围是 (3)已知=(3，-1)，=(-1，2)，则-3-2= (4)已知=(2，1)，=(x，-4)，当2与-平行时，x (5)已知向量(5，2)，=(x2+y2，xy)，且，求x，y的值三、课后巩固练习A组1如果，是平面内所有向量的一组基底，给出下列命题： (1)若实数m，n使mn，则mn0； (2)空间任一向量可以表示12，其中1，2为实数； (3)对实数m，n，mn不一定在此平面上；(4)对平面中的某一向量，存在两对以上实数m，n，使mn.则以上命题为真命题的是 2在梯形ABCD中，DC/AB，DAAB，下列各对向量其中，能作为表示它们所在平面的所有向量基底的可以是_(填序号)3中, 为中线AD上一点,G为重心,若,则 4已知，不共线，实数x，y满足向量等式3x(10y)(4y+7)2x，则x_，y_5已知向量不共线，要使，能成为平面内所有向量的一组基底，则实数的取值范围是6.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或，其中，则= 7两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x= ，y= 8给出下面几种说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应于惟一的坐标；一个坐标对应于惟一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应，其中正确的说法有_9已知=(6,1)，=(x,y)，=(-2, -3),则=_10点P在平面上作匀速成直线运动，速度=(2，5)，当t=0，P在(-6,-2)处，当t=5时，点P坐标为 11下列几组点中，三点共线的是 (0，0)，(1，1)，(3，1)； (-1，-1)，(1，1)，(3，3)； (-1，2)，(1，4)，(3，5)； (2，0)，(0，-1)，(3，2).12已知正方形PQRS的对角线的交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且，=(4，0)则向量_13若=(-3，-4)，-=(5，2)，则向量_，|=_14已知向量，若与平行，则实数的值是_15若向量，满足，平行于轴，则= .16已知向量，若点、能构成三角形，则实数的取值范围为 17已知向量，若不超过5，则实数的取值范围 是 18和=(3,-4)平行的单位向量是_.19. 已知向量=（1,0），=（1,1），则与2+同向的单位向量的坐标表示为_.B组20设是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值.21以向量，为边作平行四边形OADB，对角线OD与AB交于C，又 ，试用，为基底表示，22如图，AOB=120，AOC=30，OA=OB=1，OC=，设=，=，试用，表示CBAO23如图，设，用，表示为 24在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，用，表示25在中，已知是边上一点，若，求的值26(1)已知平面上ABC的顶点A(3，1)，B(5，2)，C(-1，6)，求向量，2-3的坐标表示(2)直线l1平行于x轴，且过(0，4)点，直线l2平行于y轴，且过(-1，0)点点A在直线l1上，点B在直线l2上，且向量(-4，-3)，试求点A、点B的坐标27已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标28设=(，)，=(，)，且/，求的值29在平面直角坐标系中，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是 30已知A、B、C三点的坐标分别为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，求证：/31设向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线 32已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，当为何值时，(1)点P在第一、三象限的角平分线上？(2)点P到两坐标轴的距离相等？C组33.是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的 心34如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线 ，于不同的两点，若，则的值为. 35设两个向量和其中为实数.若求的取值范围. 36已知向量与向量的对应关系用表求（1）设，求向量与的坐标；（2）证明：对任意的向量及常数，恒有成立；（3）求使为常数）的向量的坐标.知识点题号注意点平面向量的基本定理及其意义注意平面向量共线定理的坐标计算，正确使用平面向量的基本定理平面向量的坐标表示及其运算用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求)四、 学习心得五、 拓展视野定比分点向量公式的应用 课本例4证明了一个公式:，这个公式在向量中称为定比分点向量公式这个公式为我们解决一些数学问题提供了方便，更能为我们开拓解题思路，提高解题分析的能力l 1定比分点向量公式l 一般地，设、为直线l上的两点，点是l上不同于、的任一点，在平面上任取一点O，若存在一个实数，使，则我们把它称为定比分点向量公式，叫做点分有向线段所成的比2定比分点向量公式的应用l 例 如图(1)，设，点C在直线AB上，且求证：(1)； (2)设，用t表示； (3)如图(2)，利用(1)求ABC的重心的向量公式ABDCGF图(2)OACBO图(1)分析：确定分点和的