不等式选讲经典习题

知识网络1绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式 【例1】设函数f(x)|x1|x2|.(1)解不等式f(x)3；(2)若f(x)a对xR恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)|x1|x2|所以当x1时，32x3，解得x0；当1x2时，f(x)3无解；当x2时，2x33，解得x3.所以不等式f(x)3的解集为(，0)(3，).(2)因为f(x)所以f(x)min1.因为f(x)a恒成立，所以a1，即实数a的取值范围是(，1).【变式训练1】设函数f(x).(1)当a5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知|x1|x2|50，如图，在同一坐标系中作出函数y|x1|x2|和y5的图象，知定义域为(，23，).(2)由题设知，当xR时，恒有|x1|x2|a0，即|x1|x2|a，又由(1)知|x1|x2|3，所以a3，即a3.题型二解绝对值三角不等式【例2】已知函数f(x)|x1|x2|，若不等式|ab|ab|a|f(x)对a0，a、bR恒成立，求实数x的范围.【解析】由|ab|ab|a|f(x)且a0得f(x).又因为2，则有2f(x).解不等式|x1|x2|2得x.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【解析】(，0)2.题型三利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围.【解析】(1)当a1时，f(x)|x1|x1|.由f(x)3得|x1|x1|3，当x1时，不等式化为1x1x3，即2x3，不等式组的解集为(，；当1x1时，不等式化为1xx13，不可能成立，不等式组的解集为；当x1时，不等式化为x1x13，即2x3，不等式组的解集为，).综上得f(x)3的解集为(，).(2)若a1，f(x)2|x1|不满足题设条件.若a1，f(x)f(x)的最小值为1a.由题意有1a2，即a1.若a1，f(x)f(x)的最小值为a1，由题意有a12，故a3.综上可知a的取值范围为(，13，).【变式训练3】关于实数x的不等式|x(a1)2|(a1)2与x23(a1)x2(3a1)0 (aR)的解集分别为A，B.求使AB的a的取值范围.【解析】由不等式|x(a1)2|(a1)2(a1)2x(a1)2(a1)2，解得2axa21，于是Ax|2axa21.由不等式x23(a1)x2(3a1)0(x2)x(3a1)0，当3a12，即a时，Bx|2x3a1，因为AB，所以必有解得1a3；当3a12，即a时，Bx|3a1x2，因为AB，所以解得a1.综上使AB的a的取值范围是a1或1a3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，a的解集是(a，a)；a的解集是(，a)(a，)，它可以推广到复合型绝对值不等式c，c的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，如x11x3x1x1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如c和c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.2不等式的证明(一)典例精析题型一用综合法证明不等式【例1】 若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg c.【证明】 由a，b，c为正数，得lg lg ；lg lg ；lg lg .而a，b，c不全相等，所以lg lg lg lg lg lg lg lg(abc)lg alg blg c.即lg lg lg lg alg blg c.【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2b21，c2d21.求证：|acbd|1.【证明】因为a，b，c，d都是实数，所以|acbd|ac|bd|.又因为a2b21，c2d21，所以|acbd|1.题型二用作差法证明不等式 【例2】 设a，b，c为ABC的三边，求证：a2b2c22(abbcca).【证明】a2b2c22(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2 (ab)2c2(bc)2a2(ca)2b2.而在ABC中，c，所以(ab)2c2，即(ab)2c20.同理(ac)2b20，(bc)2a20，所以a2b2c22(abbcca)0.故a2b2c22(abbcca).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证：(ab)2.【证明】因为(ab)20，所以不等式(ab)2成立.题型三用分析法证明不等式 【例3】已知a、b、cR，且abc1.求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).【证明】因为a、b、cR，且abc1，所以要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab).因为(ab)(bc)20，(bc)(ca)20，(ca)(ab)20，三式相乘得式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当mn0时，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数；当a0时，f(x)在(1，1上单调递增，在1，)单调递减.(2)证明：要证(1m)n(1n)m，只需证nln(1m)mln(1n)，只需证.设g(x)(x0)，则g(x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)单调递减，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是减函数，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.3不等式的证明(二)典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式 【例1】已知a，bR，且ab1，求证：(a2)2(b2)2.【证明】 方法一：(放缩法)因为ab1，所以左边(a2)2(b2)222(ab)42右边.方法二：(反证法)假设(a2)2(b2)2，则 a2b24(ab)8.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212.所以(a)20，这与(a)20矛盾.故假设不成立，所以(a2)2(b2)2.【点拨】 根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用重要不等式a2 b22()2来证明比较好，它可以将具备a2b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件ab1，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0，a1，a2，an1，an满足a0an0，且有a02a1a20，a12a2a30，an22an1an0，求证：a1，a2，an10.【证明】由题设a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假设a1，a2，an1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2，an1中第一个出现的正数. 即a10，a20，ar10，ar0，则有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.这与题设an0矛盾.由此证得a1，a2，an10成立.题型二用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设an，nN*，求证：an.【证明】 方法一：(放缩法)，即n.所以12nan13(2n1).所以an，即an.方法二：(数学归纳法)当n1时，a1，而12，所以原不等式成立.假设nk (k1)时，不等式成立，即ak.则当nk1时，ak1，所以ak1.而(k1)，.所以ak1.故当nk1时，不等式也成立.综合知当nN*，都有an.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列，Sn为其前n项和，计算得S1，S2，S3，S4，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想Sn(nN).证明：当n1时，S1，等式成立.假设当nk(k1)时等式成立，即Sk.则Sk1Sk.即当nk1时，等式也成立.综合得，对任何nN，等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.(1)求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于a，如果ba，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 20.30)【解析】(1)依题意得a1a(1)bab，a2a1b(ab)b()2a(1)b，a3a2b()3a()2(1)b，由此猜测an()na()n1()n21b()na4()n1b(nN).下面用数学归纳法证明：当n1时，a1ab，猜测成立.假设nk(k2)时猜测成立，即ak()ka4()k1b成立.那么当nk1时，ak1akbb()k1a4()k11b，即当nk1时，猜测仍成立.由知，对任意nN，猜测成立.(2)当ba时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于a，所以()na4()n1aa，整理得()n5，两边取对数得nlg lg 5，所以n7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y(v0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y，当且仅当v，即v40时，上式等号成立，所以ymax11.1(千辆/时).(2)由条件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如，n；(2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如；(4)利用常用结论，如， ；(程度大)；() (程度小).3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.4柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，an都为正实数，证明：a1a2an.【证明】方法一：由柯西不等式，有()(a2a3ana1)()2(a1a2an)2.不等式两边约去正数因式a1a2an即得所证不等式.方法二：不妨设a1a2an，则aaa，.由排序不等式有aaaaaaaa1a2an，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a22a1，a32a2，a12an，将这n个不等式相加得a2a3ana12(a1a2an)，整理即得所证不等式.【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知abc1，且a、b、c是正数，求证：9.【证明】左边2(abc)()(ab)(bc)(ca)()(111)29，(或左边(ab)(bc)(ca)()332229)所以9.题型二用柯西不等式求最值【例2】 若实数x，y，z满足x2y3z2，求x2y2z2的最小值.【解析】 由柯西不等式得，(122232)(x2y2z2)(x2y3z)24(当且仅当1kx,2ky,3kz时等号成立，结合x2y3z2，解得x，y，z)，所以14(x2y2z2)4.所以x2y2z2.故x2y2z2的最小值为.【点拨】 根据柯西不等式，要求x2y2z2的最小值，就要给x2y2z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x2y3z的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x22y23z2，求3x2yz的最小值.【解析】因为(x22y23z2)32()2()2(3xyz)2(3x2yz)2，所以(3x2yz)212，即23x2yz2，当且仅当x，y，z时，3x2yz取最小值，最小值为2.题型三不等式综合证明与运用【例3】 设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn.【证明】(1)当x1时，1xx2xn，由排序原理：顺序和反序和得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn，1为序列1，x，